Troisième Mathématiques Utiliser le calcul littéral

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Utiliser le calcul littéral

mat3_1806_07_08C

France métropolitaine • Juin 2018

Le hand spinner

Exercice 7

15 min

17 points

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Le hand spinner est une sorte de toupie plate qui tourne sur elle-même.

On donne au hand spinner une vitesse de rotation initiale au temps t = 0, puis, au cours du temps, sa vitesse de rotation diminue jusqu'à l'arrêt complet du hand spinner. Sa vitesse de rotation est alors égale à 0. Grâce à un appareil de mesure, on a relevé la vitesse de rotation exprimée en nombre de tours par seconde.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté cette vitesse en fonction du temps exprimé en secondes :

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D'après www.sciencesetavenir.fr

▶ 1. Le temps et la vitesse de rotation du hand spinner sont-ils proportionnels ? Justifier.

▶ 2. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :

a) Quelle est la vitesse de rotation initiale du hand spinner (en nombre de tours par seconde) ?

b) Quelle est la vitesse de rotation du hand spinner (en nombre de tours par seconde) au bout de 1 minute et 20 secondes ?

c) Au bout de combien de temps le hand spinner va-t-il s'arrêter ?

▶ 3. Pour calculer la vitesse de rotation du hand spinner en fonction du temps t, notée V(t), on utilise la fonction suivante :

V(t) = − 0,214 × t + V_initiale.

t est le temps (exprimé en s) qui s'est écoulé depuis le début de rotation du hand spinner.

V_initiale est la vitesse de rotation à laquelle on a lancé le hand spinner au départ.

a) On lance le hand spinner à une vitesse initiale de 20 tours par seconde. Sa vitesse de rotation est donc donnée par la formule : V(t) = − 0,214 × t + 20. Calculer sa vitesse de rotation au bout de 30 s.

b) Au bout de combien de temps le hand spinner va-t-il s'arrêter ? Justifier par un calcul.

c) Est-il vrai que, d'une manière générale, si l'on fait tourner le hand spinner deux fois plus vite au départ, il tournera deux fois plus longtemps ? Justifier.

Les clés du sujet

L'intérêt du sujet

Cet exercice te permet de travailler tes compétences en lecture de courbe et en calcul littéral à travers l'étude d'une toupie qui était à la mode il y a encore quelques années.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 4 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Reconnaître une situation de proportionnalité graphiquement; Rappelle-toi qu'une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par une droite passant par l'origine du repère.; Ligne 2 : ▶ 2. Lire une courbe; a) Lis la valeur de la courbe au temps t = 0 s.b) Convertis 1 min 20 s en secondes, puis lis sur la courbe la valeur correspondant à ce temps.c) Le hand spinner s'arrête lorsque sa vitesse de rotation est nulle.; Ligne 3 : ▶ 3. a) Substituer dans une expression littérale; Remplace t par 30 dans la formule et calcule la vitesse de rotation.Attention ! La multiplication est prioritaire.; Ligne 4 : c) Calculer avec une expression littérale; Exprime le temps d'arrêt du hand spinner en fonction de la vitesse initiale Vinitiale.;

▶ 1. Le temps et la vitesse de rotation ne sont pas proportionnels car la droite ne passe pas par l'origine.

▶ 2. a) La vitesse initiale de rotation du hand spinner est de $20 tours par seconde$ .

b) 1 min 20 s = 80 s.

attention !

Sur l'axe des abscisses, 1 carreau correspond à 4 s.

La vitesse de rotation du hand spinner est de $3 tours par seconde$ .

c) Le hand spinner s'arrête au bout de $94 s$ .

▶ 3. a) $V (30) = - 0,214 \times 30 + 20 = 13,58$ tours par seconde.

La vitesse de rotation du hand spinner, au bout de 30 s, est de $13,58 tours par seconde$ .

b) Il s'agit de résoudre l'équation :

- 0,214x + 20 = 0

- 0,214x = - 20

$x = \frac{- 20}{- 0,214} \approx 93,5$

Le hand spinner s'arrête au bout d'environ $93,5 s$ .

c) Si la vitesse au départ est V_initiale, d'après la question précédente, le hand spinner s'arrête au bout de x secondes avec :

- 0,214x + V_initiale = 0.

Soit $x = \frac{V_{initiale}}{0,214}$ .

Si on double la vitesse au départ, elle vaut $2 \times V_{initiale}$ , et le hand spinner s'arrête au bout de : $x_{double} = \frac{2 \times V_{initiale}}{0,214} = 2 \times x$ .

Le hand spinner mettra bien 2 fois plus de temps pour s'arrêter.

Le hand spinner

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attention !

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