Partie 1. Étude énergétique

▶ 1. Comprendre quelques lignes de programmation Python

Les lignes 15, 16, 17 et 18 définissent respectivement la norme du vecteur vitesse (appelée aussi la valeur de la vitesse), l'énergie cinétique, l'énergie potentielle de pesanteur et l'énergie mécanique. En effet, on peut reconnaître les relations v = $\sqrt[]{v_x^2+v_y^2}$, E_c = $\frac{1}{2}$ mv², E_pp = mgz et E_m = E_c + E_pp écrites ici en langage Python.

▶ 2. Exploitation de la figure 3

a) Identifier les grandeurs d'un graphique

L'énoncé précise que la figure 3 correspond à la partie ascendante du mouvement. On en déduit que l'altitude augmente au cours du temps pendant ce mouvement. Étant donné que l'énergie potentielle de pesanteur vérifie la relation E_pp = mgz où z est l'altitude et que le produit mg est positif, la courbe de l'énergie potentielle de pesanteur est forcément croissante. Elle correspond donc à la série 3 qui est la seule croissante.

De plus, on constate que les trois séries n'ont que des valeurs positives. Or l'énergie mécanique est la somme des énergies cinétique et potentielle de pesanteur donc elle est forcément supérieure aux deux autres. L'énergie mécanique correspond donc à la série 1.

Par élimination la série 2 correspond à l'énergie cinétique. On constate d'ailleurs que ses valeurs décroissent, ce qui est attendu car, lors de la phase ascendante, la valeur de la vitesse diminue.

b) Justifier l'aspect non négligeable d'une force

Le poids du sac est la seule force à distance à considérer ici pour le système composé du sac de maïs. À partir de l'instant où il est lâché, le sac ne touche plus que l'air et n'est donc soumis qu'aux actions de l'air en plus de son poids.

Or l'énergie mécanique décroît lors du mouvement (série 1 de la figure 3) et cette décroissance ne peut pas être due au poids car c'est une force conservative. On peut donc en conclure que les effets des actions de l'air sur le sac de maïs sont suffisamment forts pour être observés sur cette courbe donc ils ne peuvent pas être négligés.

c) Estimer une vitesse à partir d'un graphique

D'après la figure 3, l'énergie cinétique initiale est E_c(0) = 17,6 J. Or elle est égale à E_c(0) = $\frac{1}{2}$ m v₀² donc v₀ = $\sqrt[]{\frac{2E_c\left(0\right)}{m}}$ = 8,94 m · s^–1_.

d) Estimer une hauteur à partir d'un graphique

D'après la figure 3, l'énergie potentielle de pesanteur initiale est E_pp(0) = mgH = 3,8 J.

D'où H = $\frac{E_{\text{pp}}(0)}{mg}=\frac{\mathrm{3,8}}{\mathrm{0,44}\times \mathrm{9,81}}$ = 0,88 m = 88 cm.

Partie 2. Étude du mouvement du sac après le lancer

▶ 1. Déterminer les coordonnées littérales de l'accélération

On étudie le mouvement du centre de masse G du sac évoluant dans un champ de pesanteur terrestre $\overrightarrow{g}$. Prenons alors un référentiel terrestre pour étudier ce mouvement.

Dressons le bilan des forces qui s'appliquent sur la balle.

Il y a le poids de la balle : force à distance, donc appliquée à G, avec $\overrightarrow{P}$ = m$\overrightarrow{g}$ donc c'est une force verticale, descendante et de valeur mg.

$\overrightarrow{P}$ est l'unique force appliquée au sac puisque le joueur ne le touche plus une fois lancé et que l'énoncé nous demande de ne pas prendre en considération les forces de frottement. On supposera aussi négligeable la poussée d'Archimède sur le sac.

En supposant le référentiel comme étant galiléen, on peut écrire la relation déduite de la seconde loi de Newton : Σ$\overrightarrow{f}$ = $\overrightarrow{P}$ = m$\overrightarrow{a}$ d'où $m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}$ donc $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{g}$.

Le vecteur champ de pesanteur étant vertical descendant, ses composantes sont $\overrightarrow{g}\left(\begin{array}{c}0\\ -g\end{array}\right)$ puisque l'axe vertical Oz représenté sur le sujet est ascendant.

On en déduit les composantes de l'accélération : $\overrightarrow{a}\left(\begin{array}{c}{a}_x=0\\ a_z=-g\end{array}\right)$.

▶ 2. Déterminer les équations horaires de position en chute libre

Comme l'accélération est la dérivée de la vitesse, nous pouvons retrouver les composantes de la vitesse du système par intégration des relations précédentes.

$\left\{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_z=-g\end{array}\right.$ donne, par intégration :

$\left\{\begin{array}{l}{V}_x= C_1\\ V_z=-gt+ C_2\end{array}\right.$ dans lesquelles C₁ et C₂ sont des constantes.

Pour déterminer C₁ et C₂, nous utilisons le fait qu'à t = 0, la vitesse était égale à $\overrightarrow{v_0}$ = $\left\{\begin{array}{l}{v}_0 \cos \text{α}\\ v_0 \sin \text{α}\end{array}\right.$.

Par identification, cela implique que : C₁ = v₀ cos α et C₂ = v₀ sin α.

D'où les équations horaires de la vitesse : $\overrightarrow{V}\left(\begin{array}{c}{V}_x=v_0 \cos \text{α}\\ V_z=-g t+ v_0 \sin \text{α}\end{array}\right)$.

Une seconde intégration nous permet d'obtenir les équations horaires de la position du système puisque la vitesse est la dérivée de la position :

$\frac{\text{d}\overrightarrow{\text{OM}}}{\text{d}t}=\overrightarrow{V}$ donc $\overrightarrow{\text{OM}}=\left\{\begin{array}{l}x=v_0 \cos \text{α} t+ C_3 \\ z=-\frac{1}{2}g t^2+ v_0 \sin \text{α} t+C_4\end{array}\right.$

Pour déterminer les constantes C₃ et C₄, on utilise la position à l'instant initial : $\left\{\begin{array}{l}x(0)=0\\ z(0)=H\end{array}\right.$. Par identification, C₃ = 0 et C₄ = H.

Les équations horaires de la position sont alors entièrement déterminées :

$\overrightarrow{\text{OM}}=\left(\begin{array}{c}x(t)=v_0 \cos \text{α} t\\ z(t)=-\frac{1}{2}g t^2+ v_0 \sin \text{α} t+H\end{array}\right)$.

▶ 3. Déterminer l'équation d'une trajectoire

À partir des équations horaires précédentes, on peut exprimer la variable temps en fonction de l'abscisse x : t = $\frac{x(t)}{V_0\cos \text{α}}$.

En remplaçant le temps dans la seconde équation, on trouve alors :

z(x) = $-\frac{1}{2}g{\left(\frac{x(t)}{V_0\cos \text{α}}\right)}^2+v_0\sin \text{α}\frac{x(t)}{V_0\cos \text{α}}+H$.

Il s'agit bien de la relation z(x) = – $\frac{g{x}^2(t)}{v_0{}^2{\cos }^2\text{α}}$ + x(t) tanα + H qui est une trajectoire parabolique, ici caractérisée par son équation du second degré entre les variables d'espace.

▶ 4. Déterminer des paramètres expérimentaux

Le joueur peut modifier trois paramètres initiaux : l'altitude initiale H du lancer, la valeur v₀ de la vitesse et l'angle α avec lequel il lance.

▶ 5. Calculer la position de chute d'un système

Pour connaître le nombre de points marqués, il faut déterminer la position de chute du sac.

Pour cela, posons z = 0 dans l'équation de la trajectoire et déterminons l'abscisse de ce point de chute :

z(x) = − 0,0842 x² + 0,625 x + 0,880 = 0

La résolution de cette équation conduit aux deux solutions : x₁ = $\frac{-0625+\sqrt[]{\text{Δ}}}{2\times (-\mathrm{0,0842})}$ et x₂ = $\frac{-0625-\sqrt[]{\text{Δ}}}{2\times (-\mathrm{0,0842})}$ avec Δ = 0,625² – 4 × (– 0,0842) × 0,88 = 0,687.

On a alors x₁ = –1,2 m et x₂ = 8,63 m. Seule la solution x₂ est intéressante pour notre question car le sac est lancé vers les abscisses ­positives : le sac retombe au sol au point ­d'abscisse x = 8,63 m.

Le sac retombe donc sur la planche avant le trou car son abscisse au sol est comprise entre 8 m et 8,91 m. donc le joueur marque 1 point. Il ne marque pas 3 points car il fallait faire entre 8,91 m et 9,07 m pour tomber dans le trou.

▶ 6. Modifier un paramètre pour optimiser un lancer

Pour déterminer une valeur possible de la vitesse initiale, supposons que le centre de masse du sac tombe parfaitement au centre du trou : son abscisse de chute devra alors être égale à 8,99 m. Appelons C ce point.

Contrairement à la question précédente, l'équation de la trajectoire n'est pas entièrement connue. En effet, comme le montre l'équation ­littérale de cette trajectoire (question 3 ci-avant), le coefficient du terme en x² dépend de la valeur v₀ ici inconnue.

Les coefficients des deux autres termes (le terme en x et le terme constant) sont eux, par contre, inchangés par rapport à ceux donnés dans la question 4 ci-dessus puisque leur écriture littérale ne dépend pas de v₀ qui est le seul paramètre modifié entre les deux expériences.

Nous pouvons donc en déduire par identification entre les coefficients de l'équation littérale donnée en question 3 et ceux de l'équation numérique donnée en question 4 :

H = 0,88 m (ce qui confirme notre réponse à la question 2. d de la partie 1)

tan(α) = 0,625 d'où α = tan^–1(0,625) = 32°.

De plus, nous connaissons les coordonnées du point C(8,99 ; 0), qui doit forcément appartenir à cette trajectoire et, donc, vérifier l'équation littérale.

Reprenons l'équation de la trajectoire $z(x)=–\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2 {\cos }^2(\text{α})} +x\tan (\text{α})+H$ en remplaçant toutes les valeurs connues (α, H, x(C) = 8,99, z(C) = 0 et g = 9,81) :

$–\frac{1}{2}\mathrm{9,81} \frac{{\mathrm{8,99}}^2}{v_0^2 {\cos }^2(32°)} +\mathrm{0,625}\times \mathrm{8,99}+\mathrm{0,880}=0$.

Ceci donne la relation numérique : $-\frac{\mathrm{551,21}}{v_0²}$ + 6,4988 = 0

et nous permet de conclure sur la valeur de la vitesse initiale : v₀ = $\sqrt[]{\frac{\mathrm{551,21}}{\mathrm{6,4988}}}$ =9,21 m · s^–1.

La valeur obtenue est cohérente car légèrement supérieure à celle du premier lancer qui était effectivement un peu trop court (retombé sur la planche, mais devant le trou) : en maintenant l'angle et la hauteur initiale, le lanceur devait lancer légèrement plus fort.