Annale corrigée Exercice

Le jeu du Cornhole

Sujet spécimen 2021 n° 1 • exercice 1

Le jeu du Cornhole

1 h 40

10 points

Intérêt du sujet • La mécanique permet d'étudier tous les mouvements, même les plus farfelus ou ludiques ! Ce « jeu du maïs » est original, mais l'exercice revient à traiter un problème qui est un grand classique du bac…

 

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Ph © Cavan Images / Getty Images

Le Cornhole, contraction des mots anglais « corn » et « hole » voulant dire « maïs » et « trou », est un jeu de plein air pratiqué entre autres aux États-Unis et au Canada.

Les règles de ce jeu sont assez simples. Chaque joueur est muni de quatre petits sacs contenant du maïs qu'il doit lancer en direction d'une planche inclinée par rapport à l'horizontale, munie d'un trou circulaire et située environ à 8 mètres du joueur. À chaque fois qu'un sac retombe sur la planche, le joueur marque un point ; si le sac passe par le trou circulaire, le joueur marque trois points. Le premier joueur qui marque 21 points gagne la partie.

Extrait du site internet www.quora.com

On étudie dans cet exercice les aspects énergétiques du lancer du sac puis le mouvement du centre de masse du sac dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Données

Intensité de la pesanteur terrestre : g = 9,81 m · s−2.

Masse du sac : m = 440 g.

Un joueur se place à une distance d de la planche afin de réaliser un lancer de son sac de maïs. La situation est représentée sur la figure 1. Afin de simplifier l'étude, la planche est considérée quasi-horizontale. Dans le repère d'espace (Ox, Oz) muni des vecteurs unitaires i et k, le sac de maïs est lancé, depuis une hauteur initiale H, avec une vitesse initiale dont le vecteur v0 est incliné d'un angle α par rapport à l'horizontale. On s'intéresse au mouvement du centre de masse G du sac. L'axe (Oz) du repère d'espace est vertical.

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Figure 1. Schéma représentant la situation du lancer du sac

Partie 1. Étude énergétique 40 min

Le mouvement complet du sac est filmé puis étudié à l'aide d'un logiciel de pointage. Les données de la partie ascendante du mouvement sont traitées à l'aide d'un programme écrit en langage Python (extrait en figure 2) qui permet de représenter l'évolution au cours du temps des énergies cinétique (Ec), potentielle de pesanteur (Epp) et mécanique (Em) du sac (figure 3).

Tableau de 1 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : 12345678910111213141516171819; #importation des bibliothèques utiliséesimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# valeurs experimentalesz=np.array([0.869,0.996,1.17,1.3,1.41,1.51,1.6,1.67,1.75,1.82,1.86,1.92,1.94,1.94,1.97,1.96,1.96])t=np.array([0,0.033,0.067,0.1,0.133,0.167,0.2,0.233,0.267,0.3,0.333,0.367,0.4,0.433,0.467,0.5,0.533])vx=np.array([7.61,7.66,7.712,7.517,7.595,7.578,7.334,7.39,7.329,7.184,7.239,7.116,7.065,7.119,6.997,7.006,6.997])vz=np.array([4.8,4.484,4.158,3.797,3.219,2.787,2.515,2.314,2.008,1.827,1.447,0.9539,0.7198,0.3329,0.1782,-0.02958,-0.4165])#Calcul des énergiesm=0.440g=9.81    ? = (vx**2 + vz**2)**(1/2)? = 0.5*m*v**2? = m*g*z? = 0.5*m*v**2 + m*g*z;

Figure 2. Extrait du programme écrit en langage Python

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Figure 3. Évolution des énergies cinétique, potentielle de pesanteur et mécanique du sac au cours du temps, obtenue à l'aide du programme écrit en langage Python

▶ 1. Identifier les grandeurs calculées dans l'extrait du programme écrit en langage Python (figure 2) aux lignes 15, 16, 17 et 18. (0,75 point)

▶ 2. Exploitation de la figure 3

a) En justifiant votre choix, attribuer à chaque série l'énergie qui lui correspond. (1 point)

b) Expliquer en quoi les résultats expérimentaux permettent de considérer que l'action de l'air sur le sac n'est pas négligeable devant le poids du sac. (0,75 point)

c) Estimer la valeur de la vitesse initiale v0 du centre de masse du sac. (0,75 point)

d) Estimer la valeur de l'altitude initiale H du centre de masse du sac. Commenter. (0,5 point)

Partie 2. Étude du mouvement du sac après le lancer 1 heure

On souhaite étudier la chute du sac au cours du temps. La situation est toujours représentée sur la figure 1. Les frottements ne seront pas pris en compte dans cette partie.

On souhaite établir les expressions littérales des grandeurs accélération, vitesse et position du sac lors de son mouvement, ainsi que les caractéristiques (vitesse initiale et direction initiale) nécessaires à la réussite d'un lancer valant trois points.

Les dimensions de la planche sont précisées sur la figure 4.

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Figure 4. Dimensions de la planche de Cornhole

▶ 1. Déterminer les expressions littérales des coordonnées ax et az du vecteur accélération a  du centre de masse du sac suivant les axes Ox et Oz. (1 point)

 2. En déduire les expressions littérales des équations horaires x(t) et z(t) de la position du centre de masse du sac au cours du mouvement. (1,5 point)

▶ 3. Montrer que l'équation littérale de la trajectoire du centre de masse du sac dans le repère d'espace (Ox, Oz) est :

z(x)=12gx2v02 cos2(α) +x tan(α)+H

Qualifier cette trajectoire. (0,5 point)

▶ 4. Indiquer les paramètres initiaux de lancement sur lesquels le joueur peut avoir une influence et qui jouent un rôle pour la réussite d'un lancer à trois points. (0,75 point)

Le joueur effectue un premier lancer. L'équation de la ­trajectoire du centre de masse du sac a pour expression numérique : z(x) = − 0,0842 x2 + 0,625 x + 0,880 avec x et z en m.

La distance d qui sépare l'origine O du repère d'espace et le bord de la planche est égale à d = 8,0 m.

5. Déterminer le nombre de point(s) marqué(s) par le joueur pour ce lancer. (1 point)

▶ 6. Le joueur effectue un second lancer en conservant le même angle de tir α, la même hauteur initiale H mais en modifiant la valeur de la vitesse initiale par rapport au premier lancer.

Déterminer une valeur possible de la nouvelle vitesse initiale v0, afin que le sac tombe directement dans le trou. Commenter la valeur obtenue. (1,5 point)

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

 

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

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Les conseils du correcteur

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Partie 1. Étude énergétique; ▶ 2. a) Commencez par identifier les séries 2 et 3 en remarquant que l'une croît et l'autre décroît.b) Utilisez l'évolution de l'énergie mécanique pour conclure à la présence d'au moins une force en plus du poids.; Ligne 2 : Partie 2. Étude du mouvement du sac après le lancer; Pour cette partie, si vous n'êtes pas à l'aise avec la mécanique, relisez attentivement votre cours sur le ­mouvement dans un champ uniforme.▶ 1. Faites le bilan des forces appliquées au sac, puis appliquez la seconde loi de Newton en négligeant ­frottement et poussée d'Archimède.▶ 5. Il faut déterminer le point de chute du sac donc : posez z = 0 et trouvez l'abscisse x correspondante.▶ 6. À partir de l'équation donnée à la question 4 de la partie 2, déterminez les valeurs de H et α.Déterminez le point de chute pour obtenir trois points et remplacez les valeurs de ses coordonnées dans l'équation littérale donnée en question 3 de la partie 2. Dans cette équation il n'y a qu'une seule grandeur inconnue : v0. Isolez-la pour trouver sa valeur.;

Partie 1. Étude énergétique

▶ 1. Comprendre quelques lignes de programmation Python

Les lignes 15, 16, 17 et 18 définissent respectivement la norme du vecteur vitesse (appelée aussi la valeur de la vitesse), l'énergie cinétique, l'énergie potentielle de pesanteur et l'énergie mécanique. En effet, on peut reconnaître les relations v = vx2+vy2 , Ec = 12 mv², Epp = mgz et Em = Ec + Epp écrites ici en langage Python.

 2. Exploitation de la figure 3

a) Identifier les grandeurs d'un graphique

L'énoncé précise que la figure 3 correspond à la partie ascendante du mouvement. On en déduit que l'altitude augmente au cours du temps pendant ce mouvement. Étant donné que l'énergie potentielle de pesanteur vérifie la relation Epp = mgzz est l'altitude et que le produit mg est positif, la courbe de l'énergie potentielle de pesanteur est forcément croissante. Elle correspond donc à la série 3 qui est la seule croissante.

De plus, on constate que les trois séries n'ont que des valeurs positives. Or l'énergie mécanique est la somme des énergies cinétique et potentielle de pesanteur donc elle est forcément supérieure aux deux autres. L'énergie mécanique correspond donc à la série 1.

Par élimination la série 2 correspond à l'énergie cinétique. On constate d'ailleurs que ses valeurs décroissent, ce qui est attendu car, lors de la phase ascendante, la valeur de la vitesse diminue.

b) Justifier l'aspect non négligeable d'une force

Le poids du sac est la seule force à distance à considérer ici pour le système composé du sac de maïs. À partir de l'instant où il est lâché, le sac ne touche plus que l'air et n'est donc soumis qu'aux actions de l'air en plus de son poids.

Or l'énergie mécanique décroît lors du mouvement (série 1 de la figure 3) et cette décroissance ne peut pas être due au poids car c'est une force conservative. On peut donc en conclure que les effets des actions de l'air sur le sac de maïs sont suffisamment forts pour être observés sur cette courbe donc ils ne peuvent pas être négligés.

c) Estimer une vitesse à partir d'un graphique

D'après la figure 3, l'énergie cinétique initiale est Ec(0) = 17,6 J. Or elle est égale à Ec(0) = 12 m v02 donc v0 = 2Ec0m  = 8,94 m · s–1.

d) Estimer une hauteur à partir d'un graphique

à noter

Si vous estimez l'énergie potentielle à 3,7 J, vous trouverez H = 86 cm et cela est tout aussi correct (et accepté).

D'après la figure 3, l'énergie potentielle de pesanteur initiale est Epp(0) = mgH = 3,8 J.

D'où H = Epp(0)mg=3,80,44×9,81 = 0,88 m = 88 cm.

Partie 2. Étude du mouvement du sac après le lancer

 1. Déterminer les coordonnées littérales de l'accélération

attention

La seconde loi de Newton que l'on va appliquer n'est valable que dans un référentiel galiléen donc il faut bien préciser que vous faites votre étude dans un tel référentiel.

On étudie le mouvement du centre de masse G du sac évoluant dans un champ de pesanteur terrestre g. Prenons alors un référentiel terrestre pour étudier ce mouvement.

Dressons le bilan des forces qui s'appliquent sur la balle.

Il y a le poids de la balle : force à distance, donc appliquée à G, avec P = mg donc c'est une force verticale, descendante et de valeur mg.

P est l'unique force appliquée au sac puisque le joueur ne le touche plus une fois lancé et que l'énoncé nous demande de ne pas prendre en considération les forces de frottement. On supposera aussi négligeable la poussée d'Archimède sur le sac.

 Le conseil de méthode

Il y a ici une imprécision dans l'énoncé car il n'est pas précisé de ne pas tenir compte de la poussée d'Archimède or, pour trouver les équations attendues dans les questions suivantes, il faut le faire. Un meilleur énoncé aurait pu préciser que l'on négligeait les « actions dues à l'air » ce qui correspond aux forces de frottement mais aussi à la poussée d'Archimède !

En supposant le référentiel comme étant galiléen, on peut écrire la relation déduite de la seconde loi de Newton : Σf = P = ma d'où ma=mg donc a = g.

à noter

Il s'agit d'un cas de chute libre, c'est-à-dire que le système n'est soumis qu'à son poids. On trouve forcément ces valeurs pour les deux composantes de l'accélération en chute libre.

Le vecteur champ de pesanteur étant vertical descendant, ses composantes sont g0g puisque l'axe vertical Oz représenté sur le sujet est ascendant.

On en déduit les composantes de l'accélération : aax=0az=g.

 2. Déterminer les équations horaires de position en chute libre

Comme l'accélération est la dérivée de la vitesse, nous pouvons retrouver les composantes de la vitesse du système par intégration des relations précédentes.

ax=0az=g donne, par intégration :

Vx= C1Vz=gt+ C2 dans lesquelles C1 et C2 sont des constantes.

Pour déterminer C1 et C2, nous utilisons le fait qu'à t = 0, la vitesse était égale à v0 = v0 cosαv0 sinα.

Par identification, cela implique que : C1 = v0 cos α et C2 = v0 sin α.

D'où les équations horaires de la vitesse : VVx=v0 cosαVz=g t+ v0 sinα.

Une seconde intégration nous permet d'obtenir les équations horaires de la position du système puisque la vitesse est la dérivée de la position :

dOMdt= V donc OM=x=v0 cosα t+ C3 z=12g t2+ v0 sinα t+C4

Pour déterminer les constantes C3 et C4, on utilise la position à l'instant initial : x(0)=0z(0)=H. Par identification, C3 = 0 et C4 = H.

Les équations horaires de la position sont alors entièrement déterminées :

OM=x(t)=v0 cosα tz(t)=12g t2+ v0 sinα t+H.

 3. Déterminer l'équation d'une trajectoire

À partir des équations horaires précédentes, on peut exprimer la variable temps en fonction de l'abscisse x : t = x(t)V0cosα.

En remplaçant le temps dans la seconde équation, on trouve alors :

z(x) = 12gx(t)V0cosα2+v0sinαx(t)V0cosα+H.

à noter

Ces questions 1, 2 et 3 sont parmi les questions les plus classiques au bac. Retenez leur résolution.

Il s'agit bien de la relation z(x) = – gx2(t)v02cos2α + x(t) tanα + H qui est une trajectoire parabolique, ici caractérisée par son équation du second degré entre les variables d'espace.

 4. Déterminer des paramètres expérimentaux

Le joueur peut modifier trois paramètres initiaux : l'altitude initiale H du lancer, la valeur v0 de la vitesse et l'angle α avec lequel il lance.

 5. Calculer la position de chute d'un système

Pour connaître le nombre de points marqués, il faut déterminer la position de chute du sac.

Pour cela, posons z = 0 dans l'équation de la trajectoire et déterminons l'abscisse de ce point de chute :

z(x) = − 0,0842 x2 + 0,625 x + 0,880 = 0

à noter

Notez qu'on ne considère ici qu'un tir direct : il peut y avoir un rebond ou un glissement du sac après impact sur la planche, mais ni l'énoncé, ni notre étude ne permettent de trancher sur ce point.

La résolution de cette équation conduit aux deux solutions : x1 = 0625+Δ2×(0,0842) et x2 = 0625Δ2×(0,0842) avec Δ = 0,625² – 4 × (– 0,0842) × 0,88 = 0,687.

On a alors x1 = –1,2 m et x2 = 8,63 m. Seule la solution x2 est intéressante pour notre question car le sac est lancé vers les abscisses ­positives : le sac retombe au sol au point ­d'abscisse x = 8,63 m.

Le sac retombe donc sur la planche avant le trou car son abscisse au sol est comprise entre 8 m et 8,91 m. donc le joueur marque 1 point. Il ne marque pas 3 points car il fallait faire entre 8,91 m et 9,07 m pour tomber dans le trou.

 6. Modifier un paramètre pour optimiser un lancer

Pour déterminer une valeur possible de la vitesse initiale, supposons que le centre de masse du sac tombe parfaitement au centre du trou : son abscisse de chute devra alors être égale à 8,99 m. Appelons C ce point.

 Le conseil de méthode

La question précise de déterminer une valeur possible (et non « la valeur » ou encore « les valeurs »). Il vaut donc mieux choisir la plus simple. Ici celle de la chute au centre du trou.

Contrairement à la question précédente, l'équation de la trajectoire n'est pas entièrement connue. En effet, comme le montre l'équation ­littérale de cette trajectoire (question 3 ci-avant), le coefficient du terme en x2 dépend de la valeur v0 ici inconnue.

Les coefficients des deux autres termes (le terme en x et le terme constant) sont eux, par contre, inchangés par rapport à ceux donnés dans la question 4 ci-dessus puisque leur écriture littérale ne dépend pas de v0 qui est le seul paramètre modifié entre les deux expériences.

Nous pouvons donc en déduire par identification entre les coefficients de l'équation littérale donnée en question 3 et ceux de l'équation numérique donnée en question 4 :

H = 0,88 m (ce qui confirme notre réponse à la question 2. d de la partie 1)

tan(α) = 0,625 d'où α = tan–1(0,625) = 32°.

De plus, nous connaissons les coordonnées du point C(8,99 ; 0), qui doit forcément appartenir à cette trajectoire et, donc, vérifier l'équation littérale.

Reprenons l'équation de la trajectoire z(x)=12gx2v02 cos2(α) +xtan(α)+H en remplaçant toutes les valeurs connues (α, H, x(C) = 8,99, z(C) = 0 et g = 9,81) :

129,81 8,992v02 cos2(32°) +0,625×8,99+0,880=0.

Ceci donne la relation numérique : 551,21v0² + 6,4988 = 0

et nous permet de conclure sur la valeur de la vitesse initiale : v0 = 551,216,4988 =9,21 m · s–1.

La valeur obtenue est cohérente car légèrement supérieure à celle du premier lancer qui était effectivement un peu trop court (retombé sur la planche, mais devant le trou) : en maintenant l'angle et la hauteur initiale, le lanceur devait lancer légèrement plus fort.

 Le conseil de méthode

Les calculs numériques ici sont « risqués », il est facile de faire une erreur. La valeur finale trouvée est, en revanche, très cohérente avec la réponse à la question 2. c) de la partie 1 et permet de renforcer sa certitude de ne pas avoir fait d'erreur de calcul (ou autre). Il fallait notamment trouver une valeur supérieure à 8,9 m · s–1.

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