Le livret bancaire de Monsieur X.

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Le livret bancaire de Monsieur X.

Analyse • Suites numériques

Corrigé

11

Ens. spécifique

matT_1200_00_02C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Monsieur X. a placé 2 000 € le 31 décembre 2002 sur son livret bancaire, à intérêts composés au taux annuel de 3,5 % (ce qui signifie que, chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts).

À partir de l’année suivante, il prévoit de placer, chaque 31 décembre, 700 € supplémentaires sur ce livret.

On désigne par le capital, exprimé en euros, disponible le 1er janvier de l’année (2003 +), où est un entier naturel.

Ainsi, .

>1.a) Calculer le capital disponible le 1er janvier 2004. (0,5 point)

b) Établir, pour tout entier naturel , une relation entre et . (1 point)

>2. Pour tout entier naturel , on pose

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on déterminera la raison. (1 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel  :

(0,5 point)

d) Calculer le capital disponible le 1er janvier 2008 (on arrondira le résultat à l’euro près). (0,5 point)

>3. Le premier janvier 2008, Monsieur X. retire le capital disponible pour financer un voyage dont le coût (supposé fixe) est de 6 000 €. Il paie cette somme en 4 mensualités, qui sont 4 termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 800 €.

Calculer le montant de chacune de ces 4 mensualités. (1 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Suites arithmétiques ou géométriques.

Les conseils du correcteur

>  1. Augmenter une quantité de 3,5 % revient à la multiplier par 1,035.

>  2. a) Montrez que la raison de la suite géométrique est 1,035.

d), donc le capital disponible au 1er janvier 2008 est .

>  3. Vérifiez que le capital est supérieur à 6 000 €.

Corrigé

On désigne par le capital, exprimé en euros, disponible le 1er janvier de l’année (2003 +), où est un entier naturel. Ainsi, .

>1.a) Capital disponible le 1er janvier 2004

Le capital disponible le 1er janvier 2004 est .

Notez bien

Le capital disponible une année donnée est le capital de l’année précédente augmenté de 3,5 %, auquel on ajoute 700 €

.

Au 1er janvier 2004, le capital disponible est 2 770 €.

b) Relation entre Cn+1 et Cn

Soit un entier naturel. Par le même raisonnement qu’à la question précédente :

>2. Pour tout entier naturel ,

a) Nature de la suite (un)

Pour tout entier naturel  :

Donc la suite est une suite géométrique de raison 1,035.

b) Expression de un en fonction de n

D’après la formule donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique en fonction de son premier terme et de sa raison, pour tout entier naturel  :

.

Or . Donc :

c) Expression de Cn en fonction de n

On en déduit que, pour tout entier naturel  :

d) Capital disponible le 1er janvier 2008

, donc le capital disponible le 1er janvier 2008 est .

>3. Montant des quatre mensualités

Sur ces 6 129 €, monsieur X. utilise 6 000 € pour financer son voyage.

Notez bien

La différence de deux termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison est égale à .

Les quatre mensualités sont quatre termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 800 €, donc si on note le montant en euros de la première mensualité, le montant en euros de la deuxième est , celui de la troisième est et celui de la quatrième est .

Le total des quatre mensualités est 6000 €, donc :

Monsieur X. finance son voyage en quatre mensualités de montants respectifs 300 €, 1100 €, 1900 € et 2700 €.

Remarque : on vérifie que .