Le module de skateboard

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2015

Exercice 4 • 6 points

Le module de skateboard

matT_1506_07_00C_01

Une municipalité a décidé d’installer un module de skateboard dans un parc de la commune.

Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD′D, DD′C′C et OAB′B sont des rectangles.

Le plan de face (OBD) est muni d’un repère orthonormé (O ; I, J).

L’unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit DD′ = 10, sa longueur OD est de 20 mètres.

Le but du problème est de déterminer l’aire des différentes surfaces à peindre.

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d’une photo par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 20] par :

f(x) = (x + 1) ln(x + 1) − 3x +7.

On note f′ la fonction dérivée de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O ; I, J).

matT_1506_07_00C_02

Partie A

1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 20], on a f′(x) = ln(x + 1) − 2.

2. En déduire les variations de f sur l’intervalle [0 ; 20] et dresser son tableau de variations.

3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0.

La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point B.

4. On admet que la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 20] par 645038-Eqn20 a pour dérivée la fonction g′ définie sur l’intervalle [0 ; 20] par g′(x) = (x + 1) ln(x + 1).

Déterminer une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20].

Partie B

Les trois questions de cette partie sont indépendantes.

1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.

Proposition 1 : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.

Proposition 2 : L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu’en C.

2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m2 par litre.

Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.

3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.

matT_1506_07_00C_03

Afin de déterminer une valeur approchée de l’aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O ; I, J) du plan de face, les points Bk (; f(k)) pour k variant de 0 à 20. Ainsi, B0 = B.

On décide d’approcher l’arc de la courbe C allant de Bk à Bk+1 par le segment [BkBk+1]. Ainsi l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type Bk Bk+1 B′k+1 B′k (voir figure).

a) Montrer que pour tout entier k variant de 0 à 19, 645038-Eqn21.

b) Compléter l’algorithme suivant pour qu’il affiche une estimation de l’aire de la partie roulante.

Variables

S réel

K entier

Fonction

f définie par f(x= (x + 1) ln(x + 1) − 3x + 7

Traitement

S prend pour valeur 0

Pour K variant de …… à ……

S prend pour valeur …………………..

Fin Pour

Sortie

Afficher …..

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Intégration • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Primitives E7b • E11a • E11b • E11c Partie A, 4.

Dérivation E6b • E6c • E6e • E6f Partie A, 1., 2. et 3.

Fonction logarithme népérien E9a • E9d • E9e Partie A, 1., 2. et 3.

Intégrales et aires E13 • E14 Partie B, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

1. Inspirez-vous du travail fait partie A, question 3. pour déterminer l’inclinaison de la piste au point C. Concluez.

2. Calculez les aires de deux rectangles auxquelles vous ajouterez les deux aires restantes, aires à déterminer à l’aide d’un calcul d’intégrale.

Corrigé

Corrigé

partie a

1. Déterminer la dérivée d’une fonction

Notez bien

Pour toutes fonctions 645038-Eqn286 dérivables sur un intervalle 645038-Eqn287 le produit 645038-Eqn288 est dérivable sur 645038-Eqn289 et 645038-Eqn290

La fonction 645038-Eqn291 est dérivable sur 645038-Eqn292 comme composée, produit et somme de fonctions usuelles dérivables. La dérivée de la fonction 645038-Eqn293 est donc définie sur 645038-Eqn294 et donnée par :

645038-Eqn295

2. Dresser le tableau de variations d’une fonction

Notez bien

Pour tous réels 645038-Eqn296 et 645038-Eqn297

645038-Eqn298

Pour tout réel 645038-Eqn299 de l’intervalle 645038-Eqn300 nous avons :

645038-Eqn301

À noter que 645038-Eqn302 (arrondi au centième).

Pour tout réel 645038-Eqn303 est strictement négatif.

La fonction 645038-Eqn304 est alors strictement décroissante sur l’intervalle645038-Eqn305

Pour tout réel 645038-Eqn306 est strictement positif.

La fonction 645038-Eqn307 est alors strictement croissante sur l’intervalle645038-Eqn308

Notez bien

645038-Eqn309.

Comme 645038-Eqn310,

645038-Eqn311 et

645038-Eqn312

nous avons par conséquent le tableau de variations complet suivant :

matT_1506_07_00C_12

3. Calculer le coefficient directeur d’une tangente

Notez bien

645038-Eqn313.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction 645038-Eqn314 au point d’abscisse 0 est le nombre dérivé de 645038-Eqn315 en 0. Or, d’après partie A, question 1., nous avons : 645038-Eqn316

Le coefficient directeur de la tangente à C au point B est ainsi 645038-Eqn317

4. Déterminer une primitive d’une fonction

La fonction 645038-Eqn318 étant dérivable sur l’intervalle 645038-Eqn319 elle est continue sur cet intervalle et elle y admet ainsi des primitives. Notons 645038-Eqn320 une primitive de 645038-Eqn321 sur cet intervalle.

D’après l’énoncé, la fonction 645038-Eqn322 a pour dérivée sur 645038-Eqn323 la fonction 645038-Eqn324 Autrement dit, la fonction 645038-Eqn325 est sur 645038-Eqn326 une primitive de la fonction 645038-Eqn327

Une primitive de la fonction affine 645038-Eqn328 sur 645038-Eqn329 est la fonction polynôme de degré 2 : 645038-Eqn330

Ainsi, la fonction 645038-Eqn331 définie par 645038-Eqn332 est une primitive de la fonction 645038-Eqn333 sur 645038-Eqn334

partie b

1. Étudier l’exactitude de deux propositions

D’après le tableau de variations de la question 2. de la partie A, la hauteur associée au point le plus haut de la piste est :

645038-Eqn335 m

et la hauteur associée au point le plus bas de la piste est

645038-Eqn336 m.

Par conséquent la différence de hauteur entre le point le plus haut de la piste et le point le plus bas de la piste est :

645038-Eqn337 m.

Cette différence est donc au moins égale à 8 m. La proposition 1 est donc exacte.

D’après la question 3. de la partie A, l’inclinaison du module de skateboard au point B est égale à 2.

Déterminons l’inclinaison du module de skateboard au point C. Pour cela, calculons 645038-Eqn338.

Nous avons : 645038-Eqn339.

Par conséquent, l’inclinaison de la piste est presque deux fois plus importante en B qu’en C.

La proposition 2 est donc exacte.

2. Déterminer un minimum

La face 645038-Eqn340 est un rectangle donc :

645038-Eqn341.

La face 645038-Eqn342 est un rectangle donc :

645038-Eqn343.

La fonction 645038-Eqn344 est dérivable donc continue sur [0 ; 20]. Son minimum sur [0 ; 20] est positif (partie A, 2.) donc 645038-Eqn345 est positive sur [0 ; 20].

L’aire A du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de 645038-Eqn346 et les droites d’équations 645038-Eqn347 et 645038-Eqn348 est donc donnée en unités d’aire par :

645038-Eqn349.

Nous avons :

645038-Eqn350

645038-Eqn351.

Par conséquent : 645038-Eqn352.

L’aire des quatre faces latérales est donc égale à :

645038-Eqn353

La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 645038-Eqn354 par litre.

Or 645038-Eqn355 et 645038-Eqn356.

Il faudra donc au minimum 645038-Eqn357 litres de peinture pour peindre les quatre surfaces latérales du module.

3. a) Calculer une distance

Dans le repère orthonormé (O ; I, J), nous avons, pour tout 645038-Eqn358 variant de 0 à 19 :

645038-Eqn359

b) Compléter un algorithme

Pour déterminer une estimation de l’aire de la partie roulante, il faut calculer les aires des rectangles 645038-Eqn360 et les ajouter les unes aux autres lorsque 645038-Eqn361 varie de 0 à 19.

L’aire d’un rectangle du type 645038-Eqn362 est donnée par :

645038-Eqn363

Les parties Traitement et Sortie se complètent donc comme suit :

Traitement

S prend la valeur 0

Pour K variant de 0 à 19

S prend la valeur 645038-Eqn364

Fin Pour

Sortie

Afficher S