Fonction logarithme népérien
matT_1506_07_07C
Ens. spécifique
16
CORRIGE
France métropolitaine • Juin 2015
Exercice 4 • 6 points
Le module de skateboard
Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune.
Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD′D, DD′C′C et OAB′B sont des rectangles.
Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O I, J).
L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit DD′ = 10, sa longueur OD est de 20 mètres.
Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction f définie sur l'intervalle [0 20] par :
f(x) = (x + 1) ln(x + 1) − 3x +7.
On note f′ la fonction dérivée de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O I, J).
Partie A
▶ 1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0 20], on a f′(x) = ln(x + 1) − 2.
▶ 2. En déduire les variations de f sur l'intervalle [0 20] et dresser son tableau de variations.
▶ 3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 0.
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B.
▶ 4. On admet que la fonction g définie sur l'intervalle [0 20] par 
a pour dérivée la fonction g′ définie sur l'intervalle [0 20] par g′(x) = (x + 1) ln(x + 1).
Déterminer une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0 20].
Partie B
Les trois questions de cette partie sont indépendantes.
▶ 1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
Proposition 1 : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
Proposition 2 : L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu'en C.
▶ 2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m2 par litre.
Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
▶ 3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O I, J) du plan de face, les points Bk (k f(k)) pour k variant de 0 à 20. Ainsi, B0 = B.
On décide d'approcher l'arc de la courbe C allant de Bk à Bk+1 par le segment [BkBk+1]. Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type Bk Bk+1 B′k+1 B′k (voir figure).
a) Montrer que pour tout entier k variant de 0 à 19, 
.
b) Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.
| Variables | S réel K entier | |
| Fonction | f définie par f(x) = (x + 1) ln(x + 1) − 3x + 7 | |
| Traitement | S prend pour valeur 0 Pour K variant de …… à …… | |
| S prend pour valeur ………………….. | ||
| Fin Pour | ||
| Sortie | Afficher ….. | |
Les clés du sujet
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Fonction logarithme népérien • Intégration • Algorithmique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Primitives E7b • E11a • E11b • E11c → Partie A, 4.
Dérivation E6b • E6c • E6e • E6f → Partie A, 1., 2. et 3.
Fonction logarithme népérien E9a • E9d • E9e → Partie A, 1., 2. et 3.
Intégrales et aires E13 • E14 → Partie B, 2.
Nos coups de pouce
Partie B
▶ 1. Inspirez-vous du travail fait partie A, question 3. pour déterminer l'inclinaison de la piste au point C. Concluez.
▶ 2. Calculez les aires de deux rectangles auxquelles vous ajouterez les deux aires restantes, aires à déterminer à l'aide d'un calcul d'intégrale.
Corrigé
partie a
▶ 1. Déterminer la dérivée d'une fonction
Notez bien
Pour toutes fonctions 
dérivables sur un intervalle 
le produit 
est dérivable sur 
et 
La fonction 
est dérivable sur 
comme composée, produit et somme de fonctions usuelles dérivables. La dérivée de la fonction 
est donc définie sur 
et donnée par :
▶ 2. Dresser le tableau de variations d'une fonction
Notez bien
Pour tous réels 
et 
Pour tout réel 
de l'intervalle 
nous avons :
À noter que 
(arrondi au centième).
Pour tout réel 
est strictement négatif.
La fonction 
est alors strictement décroissante sur l'intervalle
Pour tout réel 
est strictement positif.
La fonction 
est alors strictement croissante sur l'intervalle
Notez bien
.
Comme 
,
et
nous avons par conséquent le tableau de variations complet suivant :
▶ 3. Calculer le coefficient directeur d'une tangente
Notez bien
.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction 
au point d'abscisse 0 est le nombre dérivé de 
en 0. Or, d'après partie A, question 1., nous avons : 
Le coefficient directeur de la tangente à C au point B est ainsi 
▶ 4. Déterminer une primitive d'une fonction
La fonction 
étant dérivable sur l'intervalle 
elle est continue sur cet intervalle et elle y admet ainsi des primitives. Notons 
une primitive de 
sur cet intervalle.
D'après l'énoncé, la fonction 
a pour dérivée sur 
la fonction 
Autrement dit, la fonction 
est sur 
une primitive de la fonction 
Une primitive de la fonction affine 
sur 
est la fonction polynôme de degré 2 : 
Ainsi, la fonction 
définie par 
est une primitive de la fonction 
sur 
partie b
▶ 1. Étudier l'exactitude de deux propositions
D'après le tableau de variations de la question 2. de la partie A, la hauteur associée au point le plus haut de la piste est :
m
et la hauteur associée au point le plus bas de la piste est
m.
Par conséquent la différence de hauteur entre le point le plus haut de la piste et le point le plus bas de la piste est :
m.
Cette différence est donc au moins égale à 8 m. La proposition 1 est donc exacte.
D'après la question 3. de la partie A, l'inclinaison du module de skateboard au point B est égale à 2.
Déterminons l'inclinaison du module de skateboard au point C. Pour cela, calculons 
.
Nous avons : 
.
Par conséquent, l'inclinaison de la piste est presque deux fois plus importante en B qu'en C.
La proposition 2 est donc exacte.
▶ 2. Déterminer un minimum
La face 
est un rectangle donc :
.
La face 
est un rectangle donc :
.
La fonction 
est dérivable donc continue sur [0 20]. Son minimum sur [0 20] est positif (partie A, 2.) donc 
est positive sur [0 20].
L'aire A du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de 
et les droites d'équations 
et 
est donc donnée en unités d'aire par :
.
Nous avons :
.
Par conséquent : 
.
L'aire des quatre faces latérales est donc égale à :
La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 
par litre.
Or 
et 
.
Il faudra donc au minimum 
litres de peinture pour peindre les quatre surfaces latérales du module.
▶ 3. a) Calculer une distance
Dans le repère orthonormé (O I, J), nous avons, pour tout 
variant de 0 à 19 :
b) Compléter un algorithme
Pour déterminer une estimation de l'aire de la partie roulante, il faut calculer les aires des rectangles 
et les ajouter les unes aux autres lorsque 
varie de 0 à 19.
L'aire d'un rectangle du type 
est donnée par :
Les parties Traitement et Sortie se complètent donc comme suit :
| Traitement | S prend la valeur 0 Pour K variant de 0 à 19 S prend la valeur Fin Pour |
| Sortie | Afficher S |
