Le module de skateboard

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2015

Exercice 4 • 6 points

Le module de skateboard

matT_1506_07_00C_01

Une municipalité a décidé d’installer un module de skateboard dans un parc de la commune.

Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD′D, DD′C′C et OAB′B sont des rectangles.

Le plan de face (OBD) est muni d’un repère orthonormé (O ; I, J).

L’unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit DD′ = 10, sa longueur OD est de 20 mètres.

Le but du problème est de déterminer l’aire des différentes surfaces à peindre.

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d’une photo par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 20] par :

f(x) = (x + 1) ln(x + 1) − 3x +7.

On note f′ la fonction dérivée de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O ; I, J).

matT_1506_07_00C_02

Partie A

1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 20], on a f′(x) = ln(x + 1) − 2.

2. En déduire les variations de f sur l’intervalle [0 ; 20] et dresser son tableau de variations.

3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0.

La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point B.

4. On admet que la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 20] par 645038-Eqn20 a pour dérivée la fonction g′ définie sur l’intervalle [0 ; 20] par g′(x) = (x + 1) ln(x + 1).

Déterminer une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20].

Partie B

Les trois questions de cette partie sont indépendantes.

1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.

Proposition 1 : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.

Proposition 2 : L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu’en C.

2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m2 par litre.

Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.

3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.

matT_1506_07_00C_03

Afin de déterminer une valeur approchée de l’aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O ; I, J) du plan de face, les points Bk (; f(k)) pour k variant de 0 à 20. Ainsi, B0 = B.

On décide d’approcher l’arc de la courbe C allant de Bk à Bk+1 par le segment [BkBk+1]. Ainsi l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type Bk Bk+1 B′k+1 B′k (voir figure).

a) Montrer que pour tout entier k variant de 0 à 19, 645038-Eqn21.

b) Compléter l’algorithme suivant pour qu’il affiche une estimation de l’aire de la partie roulante.

Variables

S réel

K entier

Fonction

f définie par f(x= (x + 1) ln(x + 1) − 3x + 7

Traitement

S prend pour valeur 0

Pour K variant de …… à ……

S prend pour valeur …………………..

Fin Pour

Sortie

Afficher …..

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Intégration • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Primitives E7b • E11a • E11b • E11c Partie A, 4.

Dérivation E6b • E6c • E6e • E6f Partie A, 1., 2. et 3.

Fonction logarithme népérien E9a • E9d • E9e Partie A, 1., 2. et 3.

Intégrales et aires E13 • E14 Partie B, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

1. Inspirez-vous du travail fait partie A, question 3. pour déterminer l’inclinaison de la piste au point C. Concluez.

2. Calculez les aires de deux rectangles auxquelles vous ajouterez les deux aires restantes, aires à déterminer à l’aide d’un calcul d’intégrale.