Une municipalité a décidé d’installer un module de skateboard dans un parc de la commune.

Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD′D, DD′C′C et OAB′B sont des rectangles.

Le plan de face (OBD) est muni d’un repère orthonormé (O ; I, J).

L’unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit DD′ = 10, sa longueur OD est de 20 mètres.

Le but du problème est de déterminer l’aire des différentes surfaces à peindre.

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d’une photo par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 20] par :

f(x) = (x + 1) ln(x + 1) − 3x +7.

On note f′ la fonction dérivée de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O ; I, J).

Partie A

▶ 1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 20], on a f′(x) = ln(x + 1) − 2.

▶ 2. En déduire les variations de f sur l’intervalle [0 ; 20] et dresser son tableau de variations.

▶ 3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0.

La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point B.

▶ 4. On admet que la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 20] par a pour dérivée la fonction g′ définie sur l’intervalle [0 ; 20] par g′(x) = (x + 1) ln(x + 1).

Déterminer une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20].

Partie B

Les trois questions de cette partie sont indépendantes.

▶ 1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.

Proposition 1 : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.

Proposition 2 : L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu’en C.

▶ 2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m2 par litre.

Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.

▶ 3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.

Afin de déterminer une valeur approchée de l’aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O ; I, J) du plan de face, les points Bk (k ; f(k)) pour k variant de 0 à 20. Ainsi, B0 = B.

On décide d’approcher l’arc de la courbe C allant de Bk à Bk+1 par le segment [BkBk+1]. Ainsi l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type Bk Bk+1 B′k+1 B′k (voir figure).

a) Montrer que pour tout entier k variant de 0 à 19, .

b) Compléter l’algorithme suivant pour qu’il affiche une estimation de l’aire de la partie roulante.