Partie 1. Stratobus amarré au niveau du sol

▶ 1. Calculer une poussée d’Archimède

On calcule la poussée d’Archimède subie par Stratobus lorsqu’il est proche du sol : F_A, sol = ρ_{air au sol} × V_stratobus × g_sol avec ρ_{air au sol} déterminé graphiquement à l’aide du document 2.

Ainsi, F_A, sol = 1,25 × 5,0 × 10⁴ × 9,81 = 6,1 × 10⁵ N.

Stratobus subit une poussée de la part de l’air F_A, sol = 6,1 × 10⁵ N.

▶ 2. a) Raisonner sur le poids apparent d’un corps

On calcule le poids de Stratobus à une altitude nulle :

P_{stratobus au sol} = m_stratobus × g_sol = 4,3 × 10⁴ × 9,81 = 4,2 × 10⁵ N.

P_{stratobus au sol} < F_A,sol donc le poids apparent de Stratobus est orienté vers le haut.

D’après la 2^e loi de Newton, s’il n’est soumis à aucune autre force, Stratobus va se déplacer vers le haut. Pour qu’il ne s’élève pas dans les airs une fois gonflé, il faut retenir Stratobus avec des amarres.

b) Appliquer le principe d’inertie

Dans le référentiel terrestre, si Stratobus est immobile, les forces qu’il subit (poids, poussée d’Archimède et force des amarres) se compensent.

Ainsi : $\overrightarrow{P_{\text{Stratobus}\text{au}\text{sol}}}+\overrightarrow{F_{\text{A,}\text{sol}}}+\overrightarrow{F_{\text{amarres}}}=\overrightarrow{0}$.

En projetant les vecteurs sur l’axe vertical, orienté vers le haut, on obtient :

− P_{stratobus au sol} + F_A,sol – F_amarres = 0

et ainsi : F_amarres = F_A,sol – P_{stratobus au sol} = 6,1 × 10⁵ – 4,2 × 10⁵ = 1,9 × 10⁵ N.

Pour maintenir Stratobus juste au-dessus du sol, les amarres devront exercer une force d’intensité F_amarres = 1,9 × 10⁵ N.

Partie 2. Stratobus en vol stationnaire à 20 km d’altitude

▶ 1. Extraire les informations d’un graphique

Stratobus sera à 20 km d’altitude. On lit graphiquement :

sur la courbe verte : la pression P_20 km = 5 × 10³ Pa,

sur la courbe orange : la masse volumique ρ_{air, 20 km} = 0,09 kg · m^–3,

sur la courbe rouge : la température T_20 km = 216 K.

▶ 2. Passer des kelvins aux degrés Celsius

Il faut faire la conversion de la température :

T(°C) = T(K) – 273,15 = 216 – 273,15 = – 57,15 °C.

À 20 km d’altitude, l’atmosphère est à une température : T(°C) = – 57 °C.

▶ 3. Manipuler la relation entre masse, volume et masse volumique

On calcule la masse m_air d’air déplacé par Stratobus, sachant qu’il déplace un volume d’air égal à son propre volume : V_{air déplacé} = V_stratobus.

On a donc : m_air = V_stratobus × ρ_{air, 20 km}.

Le volume du Stratobus est V_stratobus = 5,0 × 10⁴ m³ (d’après le document 1) et ρ_{air, 20 km} = 0,09 kg · m^–3 (d’après la question 2. a), donc :

m_air = 5,0 × 10⁴ × 0,09 = 4,5 × 10³ kg = 4,5 t (car 1 t = 1 000 kg).

L’air déplacé par Stratobus a bien une masse m_air = $\mathrm{4,5}$ t à 20 km d’altitude.

▶ 4. Connaître la formule de la poussée d’Archimède

L’expression de la poussée d’Archimède F_A subie par Stratobus en fonction de la masse d’air déplacée est : F_A = ρ_{air, 20 km} × V_stratobus × g_20 km.

D’après la question 3, m_air = V_stratobus × ρ_{air, 20 km} donc : F_A = m_air × g_20 km.

À 20 km d’altitude, g_20 km = 9,75 m · s^–2 donc :

F_A = 4,5 × 10³ × 9,75 = 44 × 10³ N soit 44 kN.

Stratobus subit une poussée d’Archimède F_A = 44 kN.

▶ 5. Appliquer le principe d’inertie et représenter des forces

Stratobus n’est soumis qu’à 2 forces : son poids et la poussée d’Archimède.

Il est en position stationnaire donc, d’après le principe d’inertie, ces deux forces se compen­sent : $\overrightarrow{F_{\text{A}}}=-\overrightarrow{P_{\text{stratobus}}}$ et F_A = P_stratobus = 44 kN.

À l’échelle de 1 cm pour 22 kN, ces deux vecteurs sont représentés par des flèches de 2,0 cm (schéma ci-dessous).

▶ 6. Exprimer le poids en fonction de variables imposées

D’après l’énoncé, m_stratobus = $m_{{\text{H}}_2}$ + m_fonc + m_u donc on peut écrire :

P_stratobus = ($m_{{\text{H}}_2}$ + m_fonc + m_u) × g.

▶ 7. Calculer une masse

D’après la réponse à la question 6, on peut calculer la masse de l’équipement de fonctionnement : $m_{\text{fonc}}=\frac{P_{\text{stratobus}}}{g}-m_{{\text{H}}_2}-m_{\text{u}}$.

D’après le document 3, à 20 km d’altitude g = 9,75 m · s^–2 ;

D’après la question 5, P_stratobus = 44 kN ;

D’après l’énoncé, $m_{{\text{H}}_2}$ = 350 kg et m_u = 300 kg.

On obtient : $m_{\text{fonc}}=\frac{44\times {10}^3}{\mathrm{9,75}}-350-300=\mathrm{3,9}\times {10}^3$ kg.

L’équipement de fonctionnement a une masse m_fonc = 3,9 t.