Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Le rugby, sport de contact et d'évitement

Temps, mouvement et évolution

Corrigé

Comprendre

pchT_1305_09_01C

Liban • Mai 2013

Exercice 2 • 8 points

Le rugby est un sport d'équipe qui s'est développé dans les pays anglo-saxons à la fin du xix^esiècle.

Pour simplifier l'étude, les joueurs et le ballon seront supposés ponctuels.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

1. Le rugby, sport de contact

Document 1

Le plaquage

Il y a « plaquage » lorsqu'un joueur porteur du ballon, sur ses pieds dans le champ de jeu, est simultanément tenu par un ou plusieurs adversaires, qu'il est mis au sol et/ou que le ballon touche le sol. Ce joueur est appelé « joueur plaqué ».

D'après https://www.francerugby.fr/

Un joueur A de masse m_A = 115 kg et animé d'une vitesse v_A = 5,0 m . s⁻¹ est plaqué par un joueur B de masse m_B = 110 kg et de vitesse négligeable.

1 Dans quel référentiel les vitesses sont-elles définies ?

2 On suppose que l'ensemble des deux joueurs est un système isolé.

Exprimer, en justifiant le raisonnement, la vitesse des deux joueurs liés après l'impact puis calculer sa valeur.

2. Le rugby, sport d'évitement

Document 2

La chandelle

Au rugby, une « chandelle » désigne un coup de pied permettant d'envoyer le ballon en hauteur par-dessus la ligne de défense adverse. L'objectif pour l'auteur de cette action est d'être au point de chute pour récupérer le ballon derrière le rideau défensif.

D'après https://www.francerugby.fr/

On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le champ de pesanteur terrestre est considéré uniforme, de valeur g = 9,81 N . kg⁻¹.

On négligera toutes les actions dues à l'air.

Le joueur A est animé d'un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse $\vec{v_{1}}$ .

Afin d'éviter un plaquage, il réalise une chandelle au-dessus de son adversaire.

On définit un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ :

origine : position initiale du ballon
vecteur unitaire
$\vec{i}$

de même direction et de même sens que

$\vec{v_{1}}$
vecteur unitaire
$\vec{j}$

vertical et vers le haut.

À l'instant t = 0 s, le vecteur vitesse du ballon fait un angle α égal à 60&deg avec l'axe Ox et sa valeur est v₀ = 10,0 m . s⁻¹.

Le graphique ci-dessous représente la trajectoire du ballon dans le repère choisi.

1 Étude du mouvement du ballon

1. Établir les coordonnées a_x et a_y du vecteur accélération du point M représentant le ballon.

2. Montrer que les équations horaires du mouvement du point M sont :

x(t) = (V₀ cos α)t et y(t) = – $\frac{1}{2}$ g t² + (V₀ sin α)t

3. En déduire l'équation de la trajectoire du point M :

$y (x) = - \frac{g}{2 {(v_{0} \cos^{2} α)}^{2}} x^{2} + (\tan α) x$

4. Le tableau de l'annexe rassemble les représentations graphiques de l'évolution dans le temps des grandeurs x, y, v_x et v_y, coordonnées des vecteurs position et vitesse du point M. Dans ce tableau, écrire sous chaque courbe l'expression de la grandeur qui lui correspond et justifier.

2 Une « chandelle » réussie

1. Déterminer par le calcul le temps dont dispose le joueur pour récupérer le ballon avant que celui-ci ne touche le sol.

Vérifier la valeur obtenue en faisant clairement apparaître la réponse sur l'un des graphes du tableau de l'annexe.

2. Déterminer de deux manières différentes la valeur de la vitesse v₁ du joueur pour que la chandelle soit réussie.

Annexe


Équation : Justification :	Équation : Justification :

Équation : Justification :	Équation : Justification :

Tableau rassemblant les représentations graphiques de l'évolution dans le temps des grandeurs x, y, v_x et v_y.

Notions et compétences en jeu

Savoir écrire les équations horaires d'un mouvement • Connaître les lois de Newton • Savoir exploiter des graphiques.

Les conseils du correcteur

Partie 1

2 Pensez à la conservation de la quantité de mouvement.

Partie 2

1 1. et 2. Dans les exercices d'équations horaires, le piège est de ne pas démontrer les relations.

2 2. Utilisez les équations pour une méthode et le « bon sens » pour la seconde.

1. Le rugby, sport de contact

1 Déterminer un référentiel d'étude

Les deux vitesses des joueurs étant non nulles, on peut supposer que l'on se trouve dans un référentiel terrestre lié à un point immobile par rapport à la surface de la Terre, par exemple un des poteaux.

2 Déterminer les vitesses à partir de la 1^re loi de Newton

Considérons le système isolé et appliquons la 1^re loi de Newton :

$\sum \vec{f_{ext}} = \vec{\frac{d p}{d t}} = \vec{0}$

Info

Ici, il serait mieux de parler de système pseudo-isolé car des forces s'appliquent sur ce système.

Sa dérivée étant nulle, la quantité de mouvement du système est conservée.

On a alors $\vec{p_{A}} + \vec{p_{B}} = \vec{{p^{'}}_{A}^{}} + \vec{{p^{'}}_{B}}$ où $\vec{p}$ sont les quantités de mouvement avant plaquage et $\vec{{p^{'}}_{}}$ les quantités de mouvement après plaquage.

Soit $m_{A} \times \vec{v_{A}} + m_{B} \times \vec{v_{B}} = m_{A} \times \vec{{v^{'}}_{A}} + m_{B} \times \vec{{v^{'}}_{B}}$

Attention

Faites une véritable démonstration : à partir d'une loi de Newton (1^re ou 2^e), écrivez une relation vectorielle puis algébrique.

De plus, les deux joueurs restent liés après l'impact donc $\vec{{v^{'}}_{A}} = \vec{{v^{'}}_{B}}$ et $\vec{v_{B}}$ est négligeable.

D'où $m_{A} \times \vec{v_{A}} + m_{B} \times \vec{0} = (m_{A} + m_{B}) \times \vec{{v^{'}}_{A}}$ et $\vec{{v^{'}}_{A}} = \vec{{v^{'}}_{B}} = \frac{m_{A}}{m_{A} + m_{B}} \vec{v_{A}}$ .

Soit ${v^{'}}_{A} = {v^{'}}_{B} = \frac{m_{A}}{m_{A} + m_{B}} v_{A} = \frac{115}{115 + 110} \times 5 = 2,6 m \cdot s^{- 1}$ .

2. Le rugby, sport d'evitement

11. Établir les coordonnées du vecteur accélération

On définit le ballon comme le système. Les actions de l'air sont négligées, seul le poids s'exerce sur le système. Appliquons alors la seconde loi de Newton :

$\sum \vec{f_{ext}} = \frac{\vec{d p}}{d t} = \vec{P} .$ Or $\vec{P} = m \vec{g}$ donc $\frac{\vec{d p}}{d t} = m \vec{g} .$

La masse du ballon étant constante $\frac{d \vec{p}}{d t} = \frac{d m \vec{v}}{d t} = m \frac{d \vec{v}}{d t}$ donc $\frac{d \vec{v}}{d t} = \vec{g}$ .

Par définition, $\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{d t}$ donc $\vec{a} = \vec{g}$ . Par projection sur les axes du repère, on obtient :

Attention

Faites toute la démonstration, il ne faut pas se contenter d'écrire

$\vec{a} = \vec{g}$

${\begin{cases} a_{x} = 0 \\ a_{y} = - g \end{cases}$

2. Déterminer les équations horaires du mouvement

Par définition, $\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{d t}$ . Par intégration, on écrit les équations horaires de la vitesse :

${\begin{cases} v_{x} = C_{1} \\ v_{y} = - g t + C_{2} \end{cases}$

$Or \vec{v (O)} = \vec{V_{0}}$ a pour composantes ${\begin{cases} v_{0 x} = V_{0} cos α \\ v_{0 y} = V_{0} sin α \end{cases}$ .

Donc $C_{1} = V_{0} cos α$ et $C_{2} = V_{0} sin α$ .

Et ${\begin{cases} v_{x} = V_{0} cos α \\ v_{y} = - g t + V_{0} sin α \end{cases}$ .

De plus, le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.

Après intégration, on obtient :

${\begin{cases} x = V_{0} cos α + C_{3} \\ y = - \frac{1}{2} g t^{2} + V_{0} sin α t + C_{4} \end{cases}$ .

Or à t = 0, le ballon est à l'origine du repère donc C₃ = C₄ = 0.

On retrouve bien les équations demandées.

3. Déterminer l'équation de la trajectoire

De la première relation, on tire $t = \frac{x}{V_{0} \cos α}$ que l'on substitue dans la seconde relation :

$\begin{matrix} y = - \frac{1}{2} g {(\frac{x}{V_{0} \cos α})}^{2} + V_{0} \sin α \times \frac{x}{V_{0} \cos α} \\ y = - \frac{g}{2 V_{0}^{2} \cos^{2} α} x^{2} + \tan α x \end{matrix}$

4. Exploiter un graphique

Équation : $v_{x} = V_{0} \cos α$

Justification :

La courbe est une fonction constante. La vitesse horizontale est la seule des quatre grandeurs à rester constante.

Équation : $x = V_{0} \cos α t$

Justification :

Seule la grandeur x est linéaire en fonction du temps. On constate aussi que son coefficient directeur est bien 5 m/s (v₀ cos 60).

Équation : $v_{y} = - g t + V_{0} \sin α$

Justification :

La courbe est une fonction affine décroissante au cours du temps. Elle correspond à la vitesse verticale.

Équation : $y = - \frac{1}{2} g t^{2} + V_{0} \sin α t$

Justification :

La courbe est une parabole. Elle représente une relation du second degré en t.

21. Exploiter un graphique et utiliser les équations horaires

Si le ballon touche le sol alors y = 0 ou $0 = - \frac{1}{2} g t^{2} + V_{0} \sin α t$

Soit $- \frac{1}{2} g t + V_{0} \sin 60 = 0$

et $t = \frac{2 \times V_{0} \times \sin 60}{g} = \frac{2 \times 10 \times \sin 60}{9,81} = 1,76 s .$

Sur le dernier graphique, le point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses correspond à cette valeur.

2. Déterminer la vitesse du joueur pour que la chandelle soit réussie

1^re méthode

Le joueur doit avoir la même vitesse horizontale que le ballon puisque c'est lui qui le lance et le récupère. Donc v₁ est égale à 5,0 m . s^–1.

2^e méthode

On connait le temps de vol du ballon. Or $x = V_{0} \cos α t$ , la distance horizontale parcourue par le ballon est $x = 10 \times \cos 60 \times 1,76 = 8,8 m$ .

Or pour récupérer ce ballon, le joueur doit aussi parcourir cette distance dans le même temps. Il doit se déplacer avec une vitesse $v_{1} = \frac{D}{T} = \frac{8,8}{1,76} = 5,0 m \cdot s^{- 1}$ .

Le rugby, sport de contact et d'évitement

1. Le rugby, sport de contact

2. Le rugby, sport d'évitement

1 Étude du mouvement du ballon

2 Une « chandelle » réussie

Annexe

Notions et compétences en jeu

Les conseils du correcteur

1. Le rugby, sport de contact

1 Déterminer un référentiel d'étude

2 Déterminer les vitesses à partir de la 1re loi de Newton

2. Le rugby, sport d'evitement

11. Établir les coordonnées du vecteur accélération

2. Déterminer les équations horaires du mouvement

3. Déterminer l'équation de la trajectoire

y=− 12g(xV0cos α)2+V0sin α×xV0cos αy=− g2V02cos2 αx2+tan αx

4. Exploiter un graphique

21. Exploiter un graphique et utiliser les équations horaires

2. Déterminer la vitesse du joueur pour que la chandelle soit réussie

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2 Déterminer les vitesses à partir de la 1^re loi de Newton

$\begin{matrix} y = - \frac{1}{2} g {(\frac{x}{V_{0} \cos α})}^{2} + V_{0} \sin α \times \frac{x}{V_{0} \cos α} \\ y = - \frac{g}{2 V_{0}^{2} \cos^{2} α} x^{2} + \tan α x \end{matrix}$

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