Le rugby, sport de contact et d’évitement

Les deux vitesses des joueurs étant non nulles, on peut supposer que l’on se trouve dans un référentiel terrestre lié à un point immobile par rapport à la surface de la Terre, par exemple un des poteaux.

Considérons le système isolé et appliquons la 1^re loi de Newton :

${\displaystyle \sum \overrightarrow{f_{\text{ext}}}}=\overrightarrow{\frac{\text{d}p}{\text{d}t}}=\overrightarrow{0}$

Sa dérivée étant nulle, la quantité de mouvement du système est conservée.

On a alors $\overrightarrow{p_{\text{A}}}+\overrightarrow{p_{\text{B}}}=\overrightarrow{{p^{\prime }}_{\text{A}}^{}}+\overrightarrow{{p^{\prime }}_{\text{B}}}$ où $\overrightarrow{p}$ sont les quantités de mouvement avant plaquage et $\overrightarrow{{p^{\prime }}_{}}$ les quantités de mouvement après plaquage.

Soit $m_{\text{A}}\times \overrightarrow{v_{\text{A}}}+m_{\text{B}}\times \overrightarrow{v_{\text{B}}}=m_{\text{A}}\times \overrightarrow{{v^{\prime }}_{\text{A}}}+m_{\text{B}}\times \overrightarrow{{v^{\prime }}_{\text{B}}}$

De plus, les deux joueurs restent liés après l’impact donc  $\overrightarrow{{v^{\prime }}_{\text{A}}}=\overrightarrow{{v^{\prime }}_{\text{B}}}$ et $\overrightarrow{v_{\text{B}}}$ est négligeable.

D’où $m_{\text{A}}\times \overrightarrow{v_{\text{A}}}+m_{\text{B}}\times \overrightarrow{0}=(m_{\text{A}}+m_{\text{B}})\times \overrightarrow{{v^{\prime }}_{\text{A}}}$ et $\overrightarrow{{v^{\prime }}_{\text{A}}}=\overrightarrow{{v^{\prime }}_{\text{B}}}=\frac{m_{\text{A}}}{m_{\text{A}}+m_{\text{B}}}\overrightarrow{v_{\text{A}}}$.

Soit ${v^{\prime }}_{\text{A}}={v^{\prime }}_{\text{B}}=\frac{m_{\text{A}}}{m_{\text{A}}+m_{\text{B}}}{v}_{\text{A}}=\frac{115}{115+110}\times 5=\mathrm{2,6} \text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

On définit le ballon comme le système. Les actions de l’air sont négligées, seul le poids s’exerce sur le système. Appliquons alors la seconde loi de Newton :

${\displaystyle \sum \overrightarrow{f_{\text{ext}}}}=\frac{\overrightarrow{\text{d}p}}{\text{d}t}=\overrightarrow{P}.$ Or $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ donc  $\frac{\overrightarrow{\text{d}p}}{\text{d}t}=m\overrightarrow{g}.$

La masse du ballon étant constante $\frac{\text{d}\overrightarrow{p}}{\text{d}t}=\frac{\text{d}m\overrightarrow{v}}{\text{d}t}=m\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}$ donc $\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}=\overrightarrow{g}$.

Par définition, $\overrightarrow{a}=\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}$ donc $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}$. Par projection sur les axes du repère, on obtient :

$\{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_y=-g\end{array}$

Par définition, $\overrightarrow{a}=\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}$. Par intégration, on écrit les équations horaires de la vitesse :

$\{\begin{array}{l}{v}_x=C_{\text{1}}\\ v_y=-gt+C_{\text{2}}\end{array}$

$\text{Or }\overrightarrow{v(\text{O})}=\overrightarrow{V_0}$ a pour composantes $\{\begin{array}{l}{v}_{0x}=V_0\text{cos}\alpha \\ v_{0y}=V_0\text{sin}\alpha \end{array}$.

Donc $C_{\text{1}}=V_0\text{cos}\alpha$ et  $C_{\text{2}}=V_0\text{sin}\alpha$.

Et $\{\begin{array}{l}{v}_x=V_0\text{cos}\alpha \\ v_y=-gt+V_0\text{sin}\alpha \end{array}$.

De plus, le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.

Après intégration, on obtient :

$\{\begin{array}{l}x=V_0\text{ cos}\alpha +C_{\text{3}}\\ y=-\frac{1}{2}g{t}^2+V_0\text{sin}\alpha t+C_{\text{4}}\end{array}$.

Or à t = 0, le ballon est à l’origine du repère donc C₃ = C₄ = 0.

On retrouve bien les équations demandées.

De la première relation, on tire $t=\frac{x}{V_0\cos \alpha }$ que l’on substitue dans la seconde relation :

Équation : $v_x=V_0\cos \alpha$

Justification :

La courbe est une fonction constante. La vitesse horizontale est la seule des quatre grandeurs à rester constante.

Équation : $x=V_0\cos \alpha t$

Justification :

Seule la grandeur x est linéaire en fonction du temps. On constate aussi que son coefficient directeur est bien 5 m/s (v₀ cos 60).

Équation : $v_y=-gt+V_0\sin \alpha$

Justification :

La courbe est une fonction affine décroissante au cours du temps. Elle correspond à la vitesse verticale.

Équation : $y=-\frac{1}{2}g{t}^2+V_0\sin \alpha t$

Justification :

La courbe est une parabole. Elle représente une relation du second degré en t.

Si le ballon touche le sol alors y = 0 ou $0=–\frac{1}{2}g{t}^2+V_0\sin \alpha t$

Soit $-\frac{1}{2}gt+V_0\sin 60=0$

et  $t=\frac{2\times V_0\times \sin 60}{g}=\frac{2\times 10\times \sin 60}{\mathrm{9,81}}=\mathrm{1,76}\text{s}.$

Sur le dernier graphique, le point d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses correspond à cette valeur.

1^re méthode

Le joueur doit avoir la même vitesse horizontale que le ballon puisque c’est lui qui le lance et le récupère. Donc v₁ est égale à 5,0 m . s^–1.

2^e méthode

On connait le temps de vol du ballon. Or $x=V_0\cos \alpha t$, la distance horizontale parcourue par le ballon est $x=10\times \cos 60\times \mathrm{1,76}=\mathrm{8,8}\text{m}$.

Or pour récupérer ce ballon, le joueur doit aussi parcourir cette distance dans le même temps. Il doit se déplacer avec une vitesse $v_1=\frac{D}{T}=\frac{\mathrm{8,8}}{\mathrm{1,76}}=\mathrm{5,0}\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.