Le rugby, sport de contact et d’évitement

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Moyen-Orient
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Le rugby, sport de contact et d’évitement
 
 

Temps, mouvement et évolution

Corrigé

11

Comprendre

pchT_1305_09_01C

 

Liban • Mai 2013

Exercice 2 • 8 points

Le rugby est un sport d’équipe qui s’est développé dans les pays anglo-saxons à la fin du xixe siècle.

Pour simplifier l’étude, les joueurs et le ballon seront supposés ponctuels.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

1. Le rugby, sport de contact

Document 1

Le plaquage

Il y a « plaquage » lorsqu’un joueur porteur du ballon, sur ses pieds dans le champ de jeu, est simultanément tenu par un ou plusieurs adversaires, qu’il est mis au sol et/ou que le ballon touche le sol. Ce joueur est appelé « joueur plaqué ».

Un joueur A de masse mA = 115 kg et animé d’une vitesse vA = 5,0 m . s−1 est plaqué par un joueur B de masse mB = 110 kg et de vitesse négligeable.

1 Dans quel référentiel les vitesses sont-elles définies ?

2 On suppose que l’ensemble des deux joueurs est un système isolé.

Exprimer, en justifiant le raisonnement, la vitesse des deux joueurs liés après l’impact puis calculer sa valeur.

2. Le rugby, sport d’évitement

Document 2

La chandelle

Au rugby, une « chandelle » désigne un coup de pied permettant d’envoyer le ballon en hauteur par-dessus la ligne de défense adverse. L’objectif pour l’auteur de cette action est d’être au point de chute pour récupérer le ballon derrière le rideau défensif.

On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le champ de pesanteur terrestre est considéré uniforme, de valeur g = 9,81 N . kg−1.

On négligera toutes les actions dues à l’air.

Le joueur A est animé d’un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse v1.

Afin d’éviter un plaquage, il réalise une chandelle au-dessus de son adversaire.

On définit un repère (O,i,j) :

  • origine : position initiale du ballon ;
  • vecteur unitaire

    i

    de même direction et de même sens que

    v1

     ;

  • vecteur unitaire

    j

    vertical et vers le haut.

À l’instant t = 0 s, le vecteur vitesse du ballon fait un angle α égal à 60° avec l’axe Ox et sa valeur est v0 = 10,0 m . s−1.

Le graphique ci-dessous représente la trajectoire du ballon dans le repère choisi.


 

1 Étude du mouvement du ballon

1. Établir les coordonnées ax et ay du vecteur accélération du point M représentant le ballon.

2. Montrer que les équations horaires du mouvement du point M sont :

x(t) = (V0 cos α)t et y(t) = – 12g t2 + (V0 sin α)t

3. En déduire l’équation de la trajectoire du point M :

y(x)=g2(v0cos2α)2x2+(tanα)x

4. Le tableau de l’annexe rassemble les représentations graphiques de l’évolution dans le temps des grandeurs x, y, vx et vy, coordonnées des vecteurs position et vitesse du point M. Dans ce tableau, écrire sous chaque courbe l’expression de la grandeur qui lui correspond et justifier.

2 Une « chandelle » réussie

1. Déterminer par le calcul le temps dont dispose le joueur pour récupérer le ballon avant que celui-ci ne touche le sol.

Vérifier la valeur obtenue en faisant clairement apparaître la réponse sur l’un des graphes du tableau de l’annexe.

2. Déterminer de deux manières différentes la valeur de la vitesse v1 du joueur pour que la chandelle soit réussie.

Annexe

 

Équation :

Justification :

Équation :

Justification :

Équation :

Justification :

Équation :

Justification :

 
Tableau rassemblant les représentations graphiques de l’évolution dans le temps des grandeurs x, y, vx et vy.

Notions et compétences en jeu

Savoir écrire les équations horaires d’un mouvement • Connaître les lois de Newton • Savoir exploiter des graphiques.

Les conseils du correcteur

Partie 1

2 Pensez à la conservation de la quantité de mouvement.

Partie 2

11. et 2. Dans les exercices d’équations horaires, le piège est de ne pas démontrer les relations.

22. Utilisez les équations pour une méthode et le « bon sens » pour la seconde.

Corrigé

1. Le rugby, sport de contact

1 Déterminer un référentiel d’étude

Les deux vitesses des joueurs étant non nulles, on peut supposer que l’on se trouve dans un référentiel terrestre lié à un point immobile par rapport à la surface de la Terre, par exemple un des poteaux.

2 Déterminer les vitesses à partir de la 1re loi de Newton

Considérons le système isolé et appliquons la 1re loi de Newton :

fext=dpdt=0

 

Info

Ici, il serait mieux de parler de système pseudo-isolé car des forces s’appliquent sur ce système.

Sa dérivée étant nulle, la quantité de mouvement du système est conservée.

On a alors pA+pB=pA+pB p sont les quantités de mouvement avant plaquage et p les quantités de mouvement après plaquage.

Soit mA×vA+mB×vB=mA×vA+mB×vB

 

Attention

Faites une véritable démonstration : à partir d’une loi de Newton (1re ou 2e), écrivez une relation vectorielle puis algébrique.

De plus, les deux joueurs restent liés après l’impact donc  vA=vB et vB est négligeable.

D’où mA×vA+mB×0=(mA+mB)×vA et vA=vB=mAmA+mBvA.

Soit vA=vB=mAmA+mBvA=115115+110×5=2,6 ms1.

2. Le rugby, sport d’evitement

11. Établir les coordonnées du vecteur accélération

On définit le ballon comme le système. Les actions de l’air sont négligées, seul le poids s’exerce sur le système. Appliquons alors la seconde loi de Newton :

fext=dpdt=P. Or P=mg donc  dpdt=mg.

La masse du ballon étant constante dpdt=dmvdt=mdvdt donc dvdt=g.

Par définition, a=dvdt donc a=g. Par projection sur les axes du repère, on obtient :

 

Attention

Faites toute la démonstration, il ne faut pas se contenter d’écrire

a=g

.

 

{ax= 0ay= g

2. Déterminer les équations horaires du mouvement

Par définition, a=dvdt. Par intégration, on écrit les équations horaires de la vitesse :

{vx=C1vy= gt+C2

Or v(O)=V0 a pour composantes {v0x=V0cosαv0y=V0sinα.

Donc C1=V0cosα et  C2=V0sinα.

Et {vx=V0cosαvy=gt+V0sinα.

De plus, le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.

Après intégration, on obtient :

{x=V0 cosα+C3y= 12gt2+V0sinαt+C4.

Or à t = 0, le ballon est à l’origine du repère donc C3 = C4 = 0.

On retrouve bien les équations demandées.

3. Déterminer l’équation de la trajectoire

De la première relation, on tire t=xV0cosα que l’on substitue dans la seconde relation :

y=12g(xV0cosα)2+V0sinα×xV0cosαy=g2V02cos2αx2+tanαx

4. Exploiter un graphique


 

Équation : vx=V0cosα

Justification :

La courbe est une fonction constante. La vitesse horizontale est la seule des quatre grandeurs à rester constante.


 

Équation : x=V0cosαt

Justification :

Seule la grandeur x est linéaire en fonction du temps. On constate aussi que son coefficient directeur est bien 5 m/s (v0 cos 60).


 

Équation : vy=gt+V0sinα

Justification :

La courbe est une fonction affine décroissante au cours du temps. Elle correspond à la vitesse verticale.


 

Équation : y=12gt2+V0sinαt

Justification :

La courbe est une parabole. Elle représente une relation du second degré en t.

21. Exploiter un graphique et utiliser les équations horaires

Si le ballon touche le sol alors y = 0 ou 0=12 gt2+V0sinαt

Soit 12gt+V0sin60=0

et  t=2×V0×sin60g=2×10×sin609,81=1,76s.

Sur le dernier graphique, le point d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses correspond à cette valeur.


 

2. Déterminer la vitesse du joueur pour que la chandelle soit réussie

1re méthode

Le joueur doit avoir la même vitesse horizontale que le ballon puisque c’est lui qui le lance et le récupère. Donc v1 est égale à 5,0 m . s–1.

2e méthode

On connait le temps de vol du ballon. Or x=V0cosαt, la distance horizontale parcourue par le ballon est x=10×cos60×1,76=8,8m.

Or pour récupérer ce ballon, le joueur doit aussi parcourir cette distance dans le même temps. Il doit se déplacer avec une vitesse v1=DT=8,81,76=5,0ms1.