Corrigé

▶ 1. ADH est rectangle en H, donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :

AH2 + DH2 = AD2

D'après les données de l'exercice, on sait que le segment [AD] mesure 125 mètres et que le segment [DH] mesure 100 mètres. Les longueurs sont exprimées dans la même unité. On peut alors écrire :

AH2 + 1002 = 1252

AH2 + 10 000 = 15 625

AH2 = 15 625 – 10 000 = 5 625

AH = $\sqrt{5625}$ = 75 m

Donc le skieur s'est bien élevé de 75 m.

▶ 2. Les droites (MP) et (AH) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (DH).

On peut utiliser la propriété « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles. »

Donc les droites (MP) et (AH) sont parallèles.

▶ 3. Les droites (MA) et (PH) sont sécantes en D et (MP)//(AH).

On a par conséquent une configuration de Thalès.

D'après le théorème de Thalès, on peut écrire l'égalité suivante :

$\frac{\text{DM}}{\text{DA}}=\frac{\text{DP}}{\text{DH}}=\frac{\text{MP}}{\text{AH}}$

On remplace les longueurs par les valeurs connues :

$\frac{42}{125}=\frac{\text{DP}}{100}=\frac{\text{MP}}{75}$

On isole la longueur recherchée, ici MP.

On a : $\text{MP}=\frac{42\times 75}{125}=\boxed{\mathrm{25,2}\text{ m}}$

Lorsque le skieur arrive au point M, il s'est donc élevé de 25,2 mètres.