Le skieur

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Sujet zéro


Sujet zéro • Série professionnelle

Exercice 5 • 7 points

Le skieur

Dans une station de montagne, une remontée mécanique permet de remonter une forte pente.

Le point de départ D et le point d’arrivée A sont distants de 125 m.

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1. Démontrer que lorsqu’un skieur atteint l’arrivée il s’est élevé de 75 m par rapport au départ.

2. Lorsqu’on a parcouru 42 m, on atteint le point M.

Que peut-on dire des droites (MP) et (AH) ?

3. Calculer la longueur MP.

Les clés du sujet

Points du programme

Théorème de Pythagore • Propriétés liant perpendiculaires et parallèles • Théorème de Thalès.

Nos coups de pouce

1. Le triangle ADH est rectangle en H. Quel théorème peux-tu utiliser pour calculer une longueur connaissant les deux autres ?

3. Utilise le théorème de Thalès.

Corrigé

Corrigé

1. ADH est rectangle en H, donc, d’après le théorème de Pythagore, on a :

AH2 + DH2 = AD2

D’après les données de l’exercice, on sait que le segment [AD] mesure 125 mètres et que le segment [DH] mesure 100 mètres. Les longueurs sont exprimées dans la même unité. On peut alors écrire :

AH2 + 1002 = 1252

AH2 + 10 000 = 15 625

AH2 = 15 625 – 10 000 = 5 625

AH = 5 625 = 75 m

Donc le skieur s’est bien élevé de 75 m.

2. Les droites (MP) et (AH) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (DH).

On peut utiliser la propriété « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles. »

Donc les droites (MP) et (AH) sont parallèles.

3. Les droites (MA) et (PH) sont sécantes en D et (MP)//(AH).

On a par conséquent une configuration de Thalès.

D’après le théorème de Thalès, on peut écrire l’égalité suivante :

DMDA=DPDH=MPAH

On remplace les longueurs par les valeurs connues :

42125=DP100=MP75

Conseil

Pour calculer une longueur manquante, utilise le produit en croix.

On isole la longueur recherchée, ici MP.

On a : MP=42×75125=25,2 m

Lorsque le skieur arrive au point M, il s’est donc élevé de 25,2 mètres.