Le stand de tir

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Le stand de tir

Probabilités et statistiques • Lois à densité

Corrigé

34

Ens. spécifique

matT_1200_00_12C

Sujet inédit

Exercice • 6 points

Partie A

Sur un stand, on propose la cible
ci-contre. Les rayons des cercles sont
1 dm, 2 dm et 3 dm. La probabilité
de rater la cible est égale à 0,1.

La probabilité d’atteindre une zone de la cible est proportionnelle à l’aire de cette zone.

>1. Déterminer la probabilité d’atteindre la zone orange, d’atteindre la zone jaune, d’atteindre la zone rouge. (1 point)

>2. On appelle la variable aléatoire donnant le score du joueur. Déterminer la loi de  et calculer son espérance. (0,5 point)

>3. Un joueur lance deux fléchettes successives de manière indépendante. On appelle la variable aléatoire donnant son score. Déterminer la loi et l’espérance de la variable aléatoire . (1 point)

Partie B

>1. Soit la fonction définie sur par si x appartient à [0 ; 3] et sinon.

Étudier la continuité de sur . (0,5 point)

Calculer . Interpréter le résultat comme une aire. (0,5 point)

>2. Un joueur lance une fléchette sur une cible circulaire de centre O et de rayon 3 dm. On admet que le joueur atteint la cible à chaque lancer, et que la probabilité d’atteindre une couronne circulaire donnée ou un disque de centre O donné est proportionnelle à l’aire de cette couronne ou de ce disque.

On appelle la variable aléatoire égale à la distance en dm entre le centre O de la cible et le point atteint par la fléchette.

Montrer que la variable aléatoire suit la loi de densité . (1 point)

>3. Déterminer la probabilité que le joueur atteigne un point situé à moins de 1,5 dm du point O. (0,5 point)

>4. Déterminer la probabilité que le joueur atteigne un point situé à plus de 2 dm et moins de 2,5 dm du point O. (0,5 point)

>5. Déterminer la probabilité que le joueur atteigne un point situé à moins de 2 dm du point O sachant que sa fléchette est arrivée à plus de 10 cm de O. (0.5 point)

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes en jeu

Continuité • Primitives usuelles • Aire d’un domaine plan • Loi de probabilité • Loi à densité.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Utilisez la proportionnalité entre les aires des différentes zones et les probabilités de les atteindre. Exploitez également la somme des probabilités d’atteindre les différentes zones.

>  2. Pensez que le joueur peut rater la cible.

>  3. Déterminez d’abord les valeurs possibles de .

Partie B

>  2. Montrez que .

>  5. Il s’agit d’une probabilité conditionnelle.

Corrigé

Partie A

>1. Calcul de pO, pJ et pR

On note , , les probabilités d’atteindre respectivement les zones orange, jaune, rouge de la cible.

La zone orange a une aire égale à , la zone jaune a une aire égale à , soit , et la zone rouge a une aire égale à , soit .

Si on appelle le coefficient de proportionnalité entre les probabilités d’atteindre les zones et les aires de ces zones :

D’autre part, , car la probabilité de rater la cible est 0,1, donc la probabilité de l’atteindre est .

Donc , soit , d’où .

On en déduit :

>2. Loi et espérance de X

Le score du joueur peut être 0, 3, 5 ou 7.

(probabilité que le joueur rate la cible)

.

La loi de peut être résumée par le tableau suivant :



0


3


5


7



0,1


0,5


0,3


0,1