Probabilités et statistiques • Lois à densité
Corrigé
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Ens. spécifique
matT_1200_00_12C
Sujet inédit
Exercice • 6 points
Partie A
Sur un stand, on propose la cible
ci-contre. Les rayons des cercles sont
1 dm, 2 dm et 3 dm. La probabilité
de rater la cible est égale à 0,1.
La probabilité d’atteindre une zone de la cible est proportionnelle à l’aire de cette zone.
la variable aléatoire donnant le score du joueur. Déterminer la loi de
et calculer son espérance. (0,5 point)
la variable aléatoire donnant son score. Déterminer la loi et l’espérance de la variable aléatoire
. (1 point)
Partie B
la fonction définie sur
par
si x appartient à [0 ; 3] et
sinon.
Étudier la continuité de sur
. (0,5 point)
Calculer . Interpréter le résultat comme une aire. (0,5 point)
On appelle la variable aléatoire égale à la distance en dm entre le centre O de la cible et le point atteint par la fléchette.
Montrer que la variable aléatoire suit la loi de densité
. (1 point)
Durée conseillée : 50 min.
Les thèmes en jeu
Continuité • Primitives usuelles • Aire d’un domaine plan • Loi de probabilité • Loi à densité.
Les conseils du correcteur
Partie A
.
Partie B
Partie A
> 1. Calcul de pO, pJ et pR
On note ,
,
les probabilités d’atteindre respectivement les zones orange, jaune, rouge de la cible.
La zone orange a une aire égale à , la zone jaune a une aire égale à
, soit
, et la zone rouge a une aire égale à
, soit
.
Si on appelle le coefficient de proportionnalité entre les probabilités d’atteindre les zones et les aires de ces zones :
D’autre part, , car la probabilité de rater la cible est 0,1, donc la probabilité de l’atteindre est
.
On en déduit :