Probabilités • Succession d’épreuves indépendantes
S’entraîner
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matT_2106_07_02C
France métropolitaine, juin 2021 Exercice 2
Le test est-il efficace ?
Intérêt du sujet • On étudie ici l’efficacité d’un test supposé détecter les pièces défectueuses dans la production d’une chaîne de fabrication. Cela permet de définir la notion de valeur prédictive positive d’un test, en lien avec le pourcentage de « faux positifs ». On considère ensuite un échantillon de 20 pièces et une variable aléatoire associée.
Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 5 % des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.
Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles : « positif » ou bien « négatif ».
On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.
On note p(E) la probabilité d’un événement E.
On considère les événements suivants :
D : « la pièce est défectueuse » ;
T : « la pièce présente un test positif » ;
et désignent respectivement les événements contraires de D et T.
Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :
la probabilité qu’une pièce présente un test positif sachant qu’elle est défectueuse est égale à 0,98 ;
la probabilité qu’une pièce présente un test négatif sachant qu’elle n’est pas défectueuse est égale à 0,97.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
▶ 1. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
▶ 2. a) Déterminer la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne soit défectueuse et présente un test positif.
b) Démontrer que : p(T) = 0,0775.
▶ 3. On appelle valeur prédictive positive du test la probabilité qu’une pièce soit défectueuse sachant que le test est positif. On considère que, pour être efficace, un test doit avoir une valeur prédictive positive supérieure à 0,95.
Calculer la valeur prédictive positive de ce test et préciser s’il est efficace.
Partie B
On choisit un échantillon de 20 pièces dans la production de la chaîne, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.
On rappelle que p(D) = 0,05.
▶ 1. Justifier que X suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.
▶ 2. Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse.
On donnera un résultat arrondi au centième.
▶ 3. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et interpréter le résultat obtenu.
Les clés du sujet
Partie A
▶ 1. Avant d’élaborer l’arbre, il faut traduire toutes les données de l’énoncé en termes de probabilités.
Sur les branches de premier niveau, on indique des probabilités simples. Les branches de deuxième niveau portent des probabilités conditionnelles, conditionnées par l’événement « dont elles sont issues ».
▶ 2. a) On demande la probabilité de l’intersection de deux événements.
▶ 3. Il faut calculer une probabilité conditionnelle ; utilisez la définition.
Partie B
▶ 2. Déterminez l’événement contraire de celui sur lequel porte la question.
▶ 3. L’espérance d’une variable aléatoire peut être interprétée comme la moyenne des valeurs prises par cette variable aléatoire sur un grand nombre de répétitions de l’expérience.
Partie A
▶ 1. Traduire un énoncé par un arbre pondéré
La phrase « on estime que 5 % des pièces produites sont défectueuses » peut être traduite par . On en déduit .
La situation peut être représentée par l’arbre suivant :
▶ 2. a) Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements
La probabilité cherchée est p(D ∩ T).
.
La probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne soit défectueuse et présente un test positif est égale à 0,049.
à noter
Les pièces défectueuses détectées par le test représentent 4,9 % de l’ensemble des pièces produites.
b) Calculer la probabilité d’un événement
Les événements D et forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :
.
a été calculé à la question précédente.
.
On en déduit :
à noter
7,75 % des pièces testées présentent un test positif.
▶ 3. Calculer la valeur prédictive positive d’un test
D’après l’énoncé, la valeur prédictive positive du test est
Par définition d’une probabilité conditionnelle :
à noter
Un peu plus de 63 % des pièces présentant un test positif sont réellement défectueuses. Il y a donc près de 37 % de « faux positifs ».
, donc on considère que ce test n’est pas efficace.
Partie B
▶ 1. Justifier qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres
On assimile le choix des 20 pièces de l’échantillon à un tirage avec remise, ce qui assure l’indépendance des épreuves successives.
On peut donc considérer que l’expérience est la répétition de 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, dont le succès est « la pièce est défectueuse » et a une probabilité égale à 0,05.
Donc suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,05.
▶ 2. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale
L’événement « l’échantillon contient au moins une pièce défectueuse » est {X ≥ 1}.
L’événement contraire est {X = 0} (l’échantillon ne contient aucune pièce défectueuse). Sa probabilité est égale à
Donc la probabilité que l’échantillon contienne au moins une pièce défectueuse est , c’est-à-dire .
En arrondissant au centième : .
La probabilité que l’échantillon contienne au moins une pièce défectueuse est environ 0,64.
▶ 3. Calculer et interpréter l’espérance d’une variable aléatoire
L’espérance E(X) de la variable aléatoire X qui suit la loi B(20 ; 0,05) est :
soit .
Cela signifie que, sur un grand nombre d’échantillons de 20 pièces, il y a en moyenne une pièce défectueuse par échantillon.