Le traitement des déchets

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Le traitement des déchets

Analyse • Suites numériques

Corrigé

9

Ens. spécifique

matT_1200_00_00C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Une entreprise du secteur «  Bâtiments et Travaux Publics  » doit réduire la quantité de déchets qu’elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s’engage, à terme, à rejeter moins de 30  000  tonnes de déchets par an. En 2007, l’entreprise rejetait 40  000 tonnes de déchets. Depuis cette date, l’entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu’elle rejette de 5  % par rapport à la quantité rejetée l’année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités.

Pour tout entier naturel , on note la quantité, en tonnes, de déchets pour l’année On a donc

>1.a)  Calculer et . (0,25 point)

b)  Justifier que l’algorithme suivant permet de calculer , avec entier naturel quelconque. (0,75 point)

Entrée : n un entier naturel.

Initialisation :affecter à r la valeur 40 000

affecter à i la valeur 0.

Traitement :Tant que

affecter à la valeur

affecter à i la valeur .

Fin tant que

Sortie :Afficher r.

>2.  Soit la suite définie pour tout entier naturel par

a)  Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 point)

b)  Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de (0,5 point)

En déduire que, pour tout entier naturel , on a  : (0,5 point)

c)  La quantité de déchets rejetée diminue-t-elle d’une année sur l’autre  ? Justifier. (0,75  point)

d)  Déterminer la limite de la suite quand tend vers l’infini. (0,5  point)

e)  Calculer une estimation, en tonnes et à une tonne près, de la quantité de rejets en 2011. (0,5 point)

>3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

À partir de quelle année, le contexte restant le même, l’entreprise réussira-t-elle à respecter son engagement  ? (0,75 point)

Durée conseillée  : 45  min.

Les thèmes en jeu

Suites arithmétiques ou géométriques • Algorithmique.

Les conseils du correcteur

>    1.  Diminuer une quantité de 5  % revient à la multiplier par 0,95.

Montrez que, pour tout entier naturel , .

>    2.  a)  Montrez que la raison de la suite géométrique est 0,95.

c)  Étudiez le sens de variation de la suite .

e), donc la quantité, en tonnes, de déchets en 2011 est .
Utilisez la formule démontrée à la question 2. b).

>    3.  Cherchez un entier naturel tel que . Vous pouvez utiliser la fonction ln.

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