Une entreprise du secteur &laquo   B&acirc timents et Travaux Publics  &raquo doit r&eacute duire la quantit&eacute de d&eacute chets qu&rsquo elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s&rsquo engage, &agrave terme, &agrave rejeter moins de 30  000  tonnes de d&eacute chets par an. En 2007, l&rsquo entreprise rejetait 40  000 tonnes de d&eacute chets. Depuis cette date, l&rsquo entreprise r&eacute duit chaque ann&eacute e la quantit&eacute de d&eacute chets qu&rsquo elle rejette de 5  % par rapport &agrave la quantit&eacute rejet&eacute e l&rsquo ann&eacute e pr&eacute c&eacute dente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux d&eacute chets par an en raison du d&eacute veloppement de nouvelles activit&eacute s.

Pour tout entier naturel , on note la quantit&eacute , en tonnes, de d&eacute chets pour l&rsquo ann&eacute e On a donc

&gt   1.  a)  Calculer et . (0,25 point)

b)  Justifier que l&rsquo algorithme suivant permet de calculer , avec entier naturel quelconque. (0,75 point)

Entr&eacute e : n un entier naturel.

Initialisation :affecter &agrave r la valeur 40 000

affecter &agrave i la valeur 0.

Traitement :Tant que

affecter &agrave la valeur  

affecter &agrave i la valeur .

Fin tant que

Sortie :Afficher r.

&gt   2.  Soit la suite d&eacute finie pour tout entier naturel par

a)  D&eacute montrer que la suite est une suite g&eacute om&eacute trique dont on pr&eacute cisera la raison et le premier terme. (0,5 point)

b)  Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de (0,5 point)

En d&eacute duire que, pour tout entier naturel , on a  : (0,5 point)

c)  La quantit&eacute de d&eacute chets rejet&eacute e diminue-t-elle d&rsquo une ann&eacute e sur l&rsquo autre  ? Justifier. (0,75  point)

d)  D&eacute terminer la limite de la suite quand tend vers l&rsquo infini. (0,5  point)

e)  Calculer une estimation, en tonnes et &agrave une tonne pr&egrave s, de la quantit&eacute de rejets en 2011. (0,5 point)

&Agrave partir de quelle ann&eacute e, le contexte restant le m&ecirc me, l&rsquo entreprise r&eacute ussira-t-elle &agrave respecter son engagement  ? (0,75 point)