Le traitement des déchets

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Le traitement des déchets

Analyse • Suites numériques

Corrigé

9

Ens. spécifique

matT_1200_00_00C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Une entreprise du secteur « Bâtiments et Travaux Publics » doit réduire la quantité de déchets qu’elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s’engage, à terme, à rejeter moins de 30 000 tonnes de déchets par an. En 2007, l’entreprise rejetait 40 000 tonnes de déchets. Depuis cette date, l’entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu’elle rejette de 5 % par rapport à la quantité rejetée l’année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités.

Pour tout entier naturel , on note la quantité, en tonnes, de déchets pour l’année On a donc

>1.a) Calculer et . (0,25 point)

b) Justifier que l’algorithme suivant permet de calculer , avec entier naturel quelconque. (0,75 point)

Entrée : n un entier naturel.

Initialisation :affecter à r la valeur 40 000 ;

affecter à i la valeur 0.

Traitement :Tant que

affecter à la valeur  ;

affecter à i la valeur .

Fin tant que

Sortie :Afficher r.

>2. Soit la suite définie pour tout entier naturel par

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 point)

b) Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de (0,5 point)

En déduire que, pour tout entier naturel , on a : (0,5 point)

c) La quantité de déchets rejetée diminue-t-elle d’une année sur l’autre ? Justifier. (0,75 point)

d) Déterminer la limite de la suite quand tend vers l’infini. (0,5 point)

e) Calculer une estimation, en tonnes et à une tonne près, de la quantité de rejets en 2011. (0,5 point)

>3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

À partir de quelle année, le contexte restant le même, l’entreprise réussira-t-elle à respecter son engagement ? (0,75 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Suites arithmétiques ou géométriques • Algorithmique.

Les conseils du correcteur

>  1. Diminuer une quantité de 5 % revient à la multiplier par 0,95.

Montrez que, pour tout entier naturel , .

>  2. a) Montrez que la raison de la suite géométrique est 0,95.

c) Étudiez le sens de variation de la suite .

e), donc la quantité, en tonnes, de déchets en 2011 est .
Utilisez la formule démontrée à la question 2. b).

>  3. Cherchez un entier naturel tel que . Vous pouvez utiliser la fonction ln.

Corrigé

>1.a) Calculer les premiers termes d’une suite

.

.

b) Étudier le fonctionnement d’un algorithme

Pour tout entier naturel, .

De plus,  ; dans l’algorithme, la valeur initiale affectée à est 40 000.

L’instruction « affecter à la valeur  » permet de calculer un terme de la suite à partir du terme précédent. La boucle « Tant que » permet de s’arrêter au terme d’indice . L’algorithme donné effectue donc le calcul des termes successifs de la suite et affiche la valeur de .

>2. Pour tout entier naturel ,

a) Prouver qu’une suite est une suite géométrique

soit pour tout entier naturel .

On en déduit que la suite est une suite géométrique de raison 0,95.

Son premier terme est .

b) Déterminer l’expression explicite du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel  :
.

Notez bien

D’après le cours, si est une suite géométrique de premier terme et de raison alors, pour tout entier naturel  : .

Pour tout entier naturel , , donc , donc :

c) Étudier le sens de variation d’une suite

On cherche à savoir si la quantité de déchets rejetée diminue d’une année sur l’autre ; pour cela, on étudie le sens de variation de la suite .

Pour tout entier naturel  :

soit :

Donc pour tout entier naturel . On en déduit que la suite est décroissante et que la quantité de déchets rejetée diminue d’une année sur l’autre.

d) Étudier la convergence et la limite d’une suite à partir d’une suite géométrique

Notez bien

Toute suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre – 1 et 1 converge vers 0.

La suite est une suite géométrique de raison 0,95, donc elle converge vers 0, soit :

Pour tout entier naturel , , donc la limite de la suite quand tend vers l’infini est égale à 4 000.

e) Calculer un terme de rang donné d’une suite

On cherche une valeur approchée de la quantité de rejets en 2011.

et .

À une tonne près, la quantité de rejets en 2011 est 33 322 tonnes.

>3. Déterminer le rang d’un terme d’une suite inférieur à un nombre donné

L’entreprise respecte son engagement l’année si et seulement si ce qui équivaut à , soit :

Notez bien

La suite de terme général est une suite géométrique décroissante.

Or, puis au millième près et au millième près.

Donc ,

d’où si et seulement si .

Autre méthode :

Attention

Si est un réel tel que , alors

On peut utiliser la fonction ln, strictement croissante sur .

équivaut à soit, puisque  : . Or , donc, puisque est entier, si et seulement si .

Donc, si le contexte reste le même, l’entreprise réussira à respecter son engagement à partir de l’année, c’est-à-dire 2014.

Vérification :

Quantité de déchets en  : .

Quantité de déchets en  : .