Analyse • Suites numériques
Corrigé
9
Ens. spécifique
matT_1200_00_00C
Sujet inédit
Exercice • 5 points
Une entreprise du secteur « Bâtiments et Travaux Publics » doit réduire la quantité de déchets qu'elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s'engage, à terme, à rejeter moins de 30 000 tonnes de déchets par an. En 2007, l'entreprise rejetait 40 000 tonnes de déchets. Depuis cette date, l'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette de 5 % par rapport à la quantité rejetée l'année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités.
Pour tout entier naturel 
, on note 
la quantité, en tonnes, de déchets pour l'année 
On a donc 
et 
. (0,25 point)
, avec 
entier naturel quelconque. (0,75 point)
Entrée : n un entier naturel.
Initialisation :affecter à r la valeur 40 000
affecter à i la valeur 0.
Traitement :Tant que 
affecter à 
la valeur 
affecter à i la valeur 
.
Fin tant que
Sortie :Afficher r.
la suite définie pour tout entier naturel 
par 
est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 point)
, exprimer 
en fonction de 
(0,5 point)
En déduire que, pour tout entier naturel 
, on a : 
(0,5 point)
quand 
tend vers l'infini. (0,5 point)
À partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise réussira-t-elle à respecter son engagement ? (0,75 point)
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Suites arithmétiques ou géométriques • Algorithmique.
Les conseils du correcteur
Montrez que, pour tout entier naturel 
, 
.
est 0,95.
.
, donc la quantité, en tonnes, de déchets en 2011 est 
.
Utilisez la formule démontrée à la question
tel que 
. Vous pouvez utiliser la fonction ln.
> 1. a) Calculer les premiers termes d'une suite
.
.
b) Étudier le fonctionnement d'un algorithme
Pour tout entier 
naturel, 
.
De plus, 
dans l'algorithme, la valeur initiale affectée à 
est 40 000.
L'instruction « affecter à 
la valeur 
» permet de calculer un terme de la suite à partir du terme précédent. La boucle « Tant que » permet de s'arrêter au terme d'indice 
. 
.
, 
a) Prouver qu'une suite est une suite géométrique
soit 
pour tout entier naturel 
.
On en déduit que 
est une suite géométrique de raison 0,95.
.
b) Déterminer l'expression explicite du terme général d'une suite
Pour tout entier naturel 
: 
.
Notez bien
D'après le cours, si 
est une suite géométrique de premier terme 
et de raison 
alors, pour tout entier naturel 
: 
.
Pour tout entier naturel 
, 
, donc 
, donc :
c) Étudier le sens de variation d'une suite
On cherche à savoir si la quantité de déchets rejetée diminue d'une année sur l'autre pour cela, on étudie le sens de variation de la suite 
.
Pour tout entier naturel 
:
soit :
Donc 
pour tout entier naturel 
. On en déduit que la suite 
est décroissante et que
d) Étudier la convergence et la limite d'une suite à partir d'une suite géométrique
Notez bien
Toute suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre – 1 et 1 converge vers 0.
La suite 
est une suite géométrique de raison 0,95, donc elle converge vers 0, soit :
Pour tout entier naturel 
, 
, 
quand 
tend vers l'infini est égale à 4 000
e) Calculer un terme de rang donné d'une suite
On cherche une valeur approchée de la quantité de rejets en 2011.
et 
.
> 3. Déterminer le rang d'un terme d'une suite inférieur à un nombre donné
L'entreprise respecte son engagement l'année 
si et seulement si 
ce qui équivaut à 
, soit : 
Notez bien
La suite de terme général 
est une suite géométrique décroissante.
Or, 
puis 
au millième près et 
au millième près.
Donc 
,
d'où 
si et seulement si 
.
Autre méthode :
Attention
Si 
est un réel tel que 
, alors 
On peut utiliser la fonction ln, strictement croissante sur 
.
équivaut à 
soit, puisque 
: 
. Or 
, donc, puisque 
est entier, 
si et seulement si 
.
, c'est-à-dire 2014.
Vérification :
Quantité de déchets en 
: 
.
Quantité de déchets en 
: 
.