Une entreprise du secteur «  Bâtiments et Travaux Publics  » doit réduire la quantité de déchets qu’elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s’engage, à terme, à rejeter moins de 30  000  tonnes de déchets par an. En 2007, l’entreprise rejetait 40  000 tonnes de déchets. Depuis cette date, l’entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu’elle rejette de 5  % par rapport à la quantité rejetée l’année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités.

Pour tout entier naturel , on note la quantité, en tonnes, de déchets pour l’année On a donc

>  1.  a)  Calculer et . (0,25 point)

b)  Justifier que l’algorithme suivant permet de calculer , avec entier naturel quelconque. (0,75 point)

Entrée : n un entier naturel.

Initialisation :affecter à r la valeur 40 000

affecter à i la valeur 0.

Traitement :Tant que

affecter à la valeur  

affecter à i la valeur .

Fin tant que

Sortie :Afficher r.

>  2.  Soit la suite définie pour tout entier naturel par

a)  Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 point)

b)  Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de (0,5 point)

En déduire que, pour tout entier naturel , on a  : (0,5 point)

c)  La quantité de déchets rejetée diminue-t-elle d’une année sur l’autre  ? Justifier. (0,75  point)

d)  Déterminer la limite de la suite quand tend vers l’infini. (0,5  point)

e)  Calculer une estimation, en tonnes et à une tonne près, de la quantité de rejets en 2011. (0,5 point)

À partir de quelle année, le contexte restant le même, l’entreprise réussira-t-elle à respecter son engagement  ? (0,75 point)