Lecture aléatoire de musique

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Polynésie française
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Lecture aléatoire de musique
 
 

Lois de probabilité à densité

Corrigé

33

Ens. spécifique

matT_1306_13_10C

 

Polynésie française • Juin 2013

Exercice 3 • 5 points

Les 3 parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.

L’ensemble des morceaux musicaux qu’il possède se divise en trois genres distincts selon la répartition suivante :

30 % de musique classique, 45 % de variété, le reste étant du jazz.

Thomas a utilisé deux qualités d’encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage de haute qualité et un encodage standard. On sait que :

  • les des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité ;
  • les des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.

On considérera les événements suivants :

C : « Le morceau écouté est un morceau de musique classique » ;

V : « Le morceau écouté est un morceau de variété » ;

J : « Le morceau écouté est un morceau de jazz » ;

H : « Le morceau écouté est encodé en haute qualité » ;

S : « Le morceau écouté est encodé en qualité standard ».

Partie A

Thomas décide d’écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction « lecture aléatoire ».

On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.

>1. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un morceau de musique classique encodé en haute qualité ?

>2. On sait que .

a) Les événements C et H sont-ils indépendants ?

b) Calculer P(J ∩ H) et PJ(H).

Partie B

Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction « lecture aléatoire » de son MP3, 60 morceaux de musique.

>1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60.

>2. Thomas a comptabilisé qu’il avait écouté 12 morceaux de musique classique pendant son voyage. Peut-on penser que la fonction « lecture aléatoire » du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?

Partie c

On considère la variable aléatoire X qui, à chaque chanson stockée sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que X suit la loi normale d’espérance 200 et d’écart type 20.

On pourra utiliser le tableau fourni en annexe dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.

On écoute un morceau musical au hasard.

>1. Donner une valeur approchée à 10−3 près de P(180 X  220).

>2. Donner une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 minutes.

Annexe

X est une variable aléatoire normale d’espérance 200 et d’écart type 20.

 

b

P(X≤ b)

140

0,001

150

0,006

160

0,023

170

0,067

180

0,159

190

0,309

200

0,500

210

0,691

220

0,841

230

0,933

240

0,977

250

0,994

260

0,999

 

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Intervalle de fluctuation asymptotique • Loi normale.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Conditionnement et probabilité  E35 • E37 Partie A, 1. et 2. b)
  • Événements indépendants  E36 Partie A, 2. a)
  • Prise de décision et intervalle de fluctuation  E43 Partie B, 1. et 2.
  • Probabilité d’un événement et loi normale  E40a • E40e  → Partie C, 1. et 2.

Calculatrice

  • Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale  C3 Partie C, 1.

Nos coups de pouce

Partie B

>1. Justifiez que les conditions sur la taille de l’échantillon et la proportion du caractère étudié dans la population sont vérifiées, puis déterminez l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95.

Partie C

>2. Interprétez la probabilité en termes d’événement à l’aide de la variable aléatoire . Pensez à l’événement contraire de cet événement et concluez à l’aide du tableau.

Corrigé

30 % des morceaux sont des morceaux de musique classique donc .

45 % des morceaux sont des morceaux de variété donc .

des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité donc .

des morceaux de variété sont encodés en qualité standard donc .

La somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud étant égale à 1, nous obtenons l’arbre pondéré suivant :


 

partie a

>1. Calculer une probabilité en utilisant un arbre pondéré

La probabilité qu’il s’agisse d’un morceau de musique classique encodé en haute qualité est la probabilité de l’événement .

Ainsi, nous obtenons :

.

>2.a) Étudier l’indépendance de deux événements

D’une part, (d’après la question précédente).

D’autre part, et (d’après l’énoncé).

Comme alors les événements C et H ne sont pas indépendants.

b) Calculer une probabilité conditionnelle

  • À l’aide de l’arbre pondéré, en suivant les chemins , et , nous avons :

.

Il en découle que :

La probabilité que le morceau écouté par Thomas soit du jazz encodé en haute qualité est 0,2.

  • Par définition d’une probabilité conditionnelle :

La probabilité que le morceau écouté par Thomas soit encodé en haute qualité sachant que c’est un morceau de jazz est 0,8.

partie b

>1. Définir et déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique

La proportion de morceaux de musique classique parmi tous les morceaux stockés dans le lecteur MP3 de Thomas est égale à p= 0,3.

La taille de l’échantillon est n= 60. Par suite, nous avons :

Les conditions sur n et p étant vérifiées, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est donc défini et donné par :

>2. Exploiter un intervalle de fluctuation asymptotique

La fréquence de morceaux de musique classique dans l’échantillon de 60 morceaux écoutés par Thomas est :

.

Comme cette fréquence appartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 déterminé à la question précédente, il n’y a pas de raison de penser que la fonction « lecture aléatoire » de son lecteur MP3 est défectueuse.

partie c

>1. Calculer une probabilité avec une loi normale

  • Première méthode

À l’aide d’une calculatrice, nous obtenons directement .

  • Deuxième méthode

En utilisant certaines valeurs approchées données dans le tableau, nous avons :

Aide : la première égalité peut se retrouver facilement à l’aide de la figure suivante dans laquelle Cf désigne la courbe représentative de la densité associée à la loi normale d’espérance 200 et d’écart type 20 :


 

Conclusion : la probabilité qu’une chanson choisie au hasard et stockée dans le MP3 de Thomas ait une durée comprise entre 3 min (180 s) et 3 min 40 s (220 s) est environ égale à 0,682.

>2. Calculer une probabilité avec une loi normale

La probabilité que le morceau choisi au hasard dure plus de 4 min (soit 240 s) est la probabilité de l’événement . L’événement contraire de l’événement étant et en utilisant le tableau donné dans l’énoncé, nous avons :

La probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 min est environ égale à 0,023.