Annale corrigée Exercice

Les barquettes de nems et samossas

S'entraîner

Utiliser la divisibilité et les nombres premiers

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Nouvelle-Calédonie • Décembre 2018

Exercice 3

15 min

18 points

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▶ 1. Décomposer les nombres 162 et 108 en produits de facteurs premiers.

▶ 2. Déterminer deux diviseurs communs aux nombres 162 et 108 plus grands que 10.

▶ 3. Un snack vend des barquettes composées de nems et de samossas.

Le cuisinier a préparé 162 nems et 108 samossas.

Dans chaque barquette :

le nombre de nems doit être le même ;

le nombre de samossas doit être le même.

Tous les nems et tous les samossas doivent être utilisés.

a) Le cuisinier peut-il réaliser 36 barquettes ?

b) Quel nombre maximal de barquettes pourra-t-il réaliser ?

c) Dans ce cas, combien y aura-t-il de nems et de samossas dans chaque barquette ?

Les clés du sujet

Cet exercice te permet de vérifier tes connaissances dans le domaine de l'arithmétique.

▶ 1. 162 = 2 × 81 = $2 \times 3^{4}$

108 = $2^{2} \times 3^{3}$

▶ 2. Les diviseurs communs à 162 et 108 supérieurs à 10 sont :

2 × 3² = $18$ ; 3³ = $27$ et 2 × 3³= $54$

a) 36 n'est pas un diviseur de 162 donc le cuisinier ne peut pas réaliser 36 barquettes.

b) Tous les nems et samossas doivent être utilisés donc on cherche un diviseur commun à 162 et 108.

Mais le cuisinier veut un nombre maximal de barquettes donc on cherche le plus grand diviseur commun à 162 et 108.

D'après la question 2., ce plus grand diviseur est 54.

Donc le cuisinier pourra réaliser 54 barquettes.

c) Dans chaque barquette, il y aura :

$\frac{162}{54}$ = 3 nems ;

$\frac{108}{54}$ = 2 samossas.

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