GÉOMÉTRIE
Représenter l'espace
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mat3_1906_02_05C
Amérique du Nord • Juin 2019
Exercice 7 • 15 points
Les boulets
Pour ranger les boulets de canon, les soldats du xvie siècle utilisaient souvent un type d'empilement pyramidal à base carrée, comme le montrent les dessins suivants :
▶ 1. Combien de boulets contient l'empilement à 2 niveaux ?
▶ 2. Expliquer pourquoi l'empilement à 3 niveaux contient 14 boulets.
▶ 3. On range 55 boulets de canon selon cette méthode. Combien de niveaux comporte alors l'empilement obtenu ?
▶ 4. Ces boulets sont en fonte ; la masse volumique de cette fonte est de 7 300 kg/m3. On modélise un boulet de canon par une boule de rayon 6 cm. Montrer que l'empilement à 3 niveaux de ces boulets pèse 92 kg, au kg près.
Rappels :
volume d'une boule = × rayon × rayon × rayon ;
une masse volumique de 7 300 kg/m3 signifie que 1 m3 pèse 7 300 kg.
Les clés du sujet
Points du programme
Calcul de carrés de nombres • Masse volumique • Volume d'une boule et conversions de volumes • Proportionnalité.
Nos coups de pouce
▶ 4. Calcule le volume des 14 boulets puis, par proportionnalité, leur masse.
▶ 1. L'empilement à 2 niveaux contient .
▶ 2. L'empilement à 3 niveaux contient 14 boulets car on rajoute aux boulets de l'empilement à 2 niveaux une base de 3 × 3 = 9 boulets.
▶ 3. Si l'on range 55 boulets de canon selon cette méthode, l'empilement obtenu contiendra .
En effet, on aura empilé 5 + 32 + 42 + 52 = 55 boulets.
▶ 4. Dans l'empilement à 3 niveaux, il y a 14 boulets.
Le volume d'un seul boulet est : Vboulet = .
Le volume des 14 boulets est donc d'environ : 14 × 904,8 ≈ 12 667 cm3 soit 0,012667 m3.
La masse volumique de la fonte indique que 1 m3 pèse 7 300 kg.
Par proportionnalité les boulets pèsent donc : 0,012667 × 7 300 ≈