Les découvertes de pétrole dans le futur

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Les découvertes de pétrole dans le futur

Analyse • Fonctions exponentielles

Corrigé

16

Ens. spécifique

matT_1200_00_04C

Sujet inédit

Exercice • 6 points

Certains scientifiques estiment que les futures découvertes de pétrole dans le monde peuvent être modélisées, à partir de l’année 2011, grâce à la fonction définie sur l’intervalle [11 ; [ par :

de sorte que représente, en billions de barils (millions de millions de barils), l’estimation de la quantité de pétrole qui sera découverte au cours de l’année

On admet que la fonction est continue et dérivable sur l’intervalle [11 ; [ et on note sa fonction dérivée sur cet intervalle.

>1. Calculer l’estimation du nombre de barils de pétrole à découvrir en 2011 d’après ce modèle (on arrondira le résultat au billion près). (0,5 point)

>2. Étudier les variations de la fonction sur l’intervalle [11 ; [ puis dresser son tableau de variations. (1,5 point)

>3. Selon ce modèle, peut-on envisager qu’au cours d’une même année, 15 000 billions de barils de pétrole soient découverts ?

Si oui, déterminer, en justifiant, cette (ces) année(s). Si non, justifier la réponse. (0,5 point)

>4. Selon ce modèle, peut-on envisager qu’au cours de chaque année à partir de 2011, au moins 6 000 billions de barils de pétrole soient découverts ?

Si oui, justifier la réponse.

Si non, déterminer, en justifiant, l’année pour laquelle les découvertes de pétrole deviendront strictement inférieures à 6 000 billions de barils. (1 point)

>5.a) Déterminer une primitive de la fonction sur l’intervalle [11 ; [. (0,5 point)

b) Calculer la valeur exacte, puis donner la valeur arrondie à l’unité près, de l’intégrale I suivante :

. (1 point)

c) En déduire le nombre moyen de barils, en billions, que l’on peut espérer découvrir par an d’après ce modèle, entre les années 2011 et 2021. (1 point)

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes en jeu

Sens de variation • Fonction exponentielle • Primitives usuelles • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

>  1. Calculez .

>  2. Calculez en utilisant la formule de dérivation d’une fonction de la forme .

>  3. Utilisez les variations de étudiées à la question précédente.

>  4. Résoudre l’inéquation

>  5. c) Calculez la valeur moyenne de sur l’intervalle [11 ; 21].

Corrigé

>1. Estimation du nombre de barils de pétrole à découvrir en 2011

L’année 2011 correspond à .

Donc le nombre de barils de pétrole à découvrir en 2011 est d’après l’estimation donnée.

.

Donc, au billion près, le nombre de barils de pétrole à découvrir en 2011 est 13 271 billions de barils.

>2. Étude des variations de la fonction f sur l’intervalle [11 ; + ∞[

Pour tout réel appartenant à l’intervalle [11 ; [ :

Pour tout dans [11 ; [ , , donc . On en déduit que la fonction est strictement décroissante sur [11 ; [ .

Son tableau de variations sur cet intervalle est donc :



11




Signe de





Variations de