Les découvertes de pétrole dans le futur

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
&nbsp
Les d&eacute couvertes de p&eacute trole dans le futur

Analyse &bull Fonctions exponentielles

Corrig&eacute

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Ens. sp&eacute cifique

matT_1200_00_04C

Sujet in&eacute dit

Exercice &bull 6 points

Certains scientifiques estiment que les futures d&eacute couvertes de p&eacute trole dans le monde peuvent &ecirc tre mod&eacute lis&eacute es, &agrave partir de l&rsquo ann&eacute e 2011, gr&acirc ce &agrave la fonction d&eacute finie sur l&rsquo intervalle [11  [ par  :

de sorte que repr&eacute sente, en billions de barils (millions de millions de barils), l&rsquo estimation de la quantit&eacute de p&eacute trole qui sera d&eacute couverte au cours de l&rsquo ann&eacute e

On admet que la fonction est continue et d&eacute rivable sur l&rsquo intervalle [11  [ et on note sa fonction d&eacute riv&eacute e sur cet intervalle.

&gt 1.  Calculer l&rsquo estimation du nombre de barils de p&eacute trole &agrave d&eacute couvrir en 2011 d&rsquo apr&egrave s ce mod&egrave le (on arrondira le r&eacute sultat au billion pr&egrave s). (0,5  point)

&gt 2.  &Eacute tudier les variations de la fonction sur l&rsquo intervalle [11  [ puis dresser son tableau de variations. (1,5 point)

&gt 3.  Selon ce mod&egrave le, peut-on envisager qu&rsquo au cours d&rsquo une m&ecirc me ann&eacute e, 15  000 billions de barils de p&eacute trole soient d&eacute couverts  ?

Si oui, d&eacute terminer, en justifiant, cette (ces) ann&eacute e(s). Si non, justifier la r&eacute ponse. (0,5 point)

&gt 4.  Selon ce mod&egrave le, peut-on envisager qu&rsquo au cours de chaque ann&eacute e &agrave partir de 2011, au moins 6  000 billions de barils de p&eacute trole soient d&eacute couverts  ?

Si oui, justifier la r&eacute ponse.

Si non, d&eacute terminer, en justifiant, l&rsquo ann&eacute e pour laquelle les d&eacute couvertes de p&eacute trole deviendront strictement inf&eacute rieures &agrave 6  000 billions de barils. (1 point)

&gt 5.a)  D&eacute terminer une primitive de la fonction sur l&rsquo intervalle [11  [. (0,5 point)

b)  Calculer la valeur exacte, puis donner la valeur arrondie &agrave l&rsquo unit&eacute pr&egrave s, de l&rsquo int&eacute grale I suivante  :

. (1 point)

c)  En d&eacute duire le nombre moyen de barils, en billions, que l&rsquo on peut esp&eacute rer d&eacute couvrir par an d&rsquo apr&egrave s ce mod&egrave le, entre les ann&eacute es 2011 et 2021. (1 point)

Dur&eacute e conseill&eacute e  : 50  min.

Les th&egrave mes en jeu

Sens de variation &bull Fonction exponentielle &bull Primitives usuelles &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction.

Les conseils du correcteur

&gt     1.  Calculez .

&gt     2.  Calculez en utilisant la formule de d&eacute rivation d&rsquo une fonction de la forme .

&gt     3.  Utilisez les variations de &eacute tudi&eacute es &agrave la question pr&eacute c&eacute dente.

&gt     4.  R&eacute soudre l&rsquo in&eacute quation

&gt     5.  c)  Calculez la valeur moyenne de sur l&rsquo intervalle [11  21].