Annale corrigée Exercice

Les diviseurs premiers

France métropolitaine • Septembre 2018

Exercice 2 • 11 points

Les diviseurs premiers

 1. Le nombre 588 peut se décomposer sous la forme 588 = 22 × 3 × 72.

Quels sont ses diviseurs premiers, c'est-à-dire les nombres qui sont à la fois des nombres premiers et des diviseurs, de 588 ?

▶ 2. a) Déterminer la décomposition en facteurs premiers de 27 000 000.

b) Quels sont ses diviseurs premiers ?

▶ 3. Déterminer le plus petit nombre entier positif impair qui admet trois diviseurs premiers différents. Expliquer votre raisonnement.

Les clés du sujet

Points du programme

Diviseurs • Nombres premiers • Décomposition en produit de facteurs ­premiers.

Nos coups de pouce

 2. Décompose 27 000 000 en produit de facteurs premiers.

Corrigé

▶ 1. Les diviseurs premiers de 588 sont : 2 ; 3 et 7

▶ 2. a)

27 000 000=26×421 875=26×33×15 625=26×33×56

b) Ses diviseurs premiers sont donc : 2 ; 3 ; 5

rappel

Le produit de deux nombres impairs est impair ; le produit d'un nombre pair par un nombre impair reste pair.

▶ 3. Si l'on choisit 2 comme facteur premier alors, quels que soient les deux autres facteurs premiers choisis, le produit de ces trois nombres sera pair.

Or le nombre cherché est impair. Donc il faut choisir les trois plus petits nombres premiers non pairs, c'est-à-dire : 3 ; 5 et 7.

Donc le plus petit nombre impair obtenu comme produit de trois nombres premiers est : 3×5×7=105.

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