Annale corrigée Exercice Ancien programme

Les dômes de l'opéra Garnier

Amérique du Sud • Novembre 2017

Exercice 3 • 5 points • 50 min

Les dômes de l'opéra Garnier

Les thèmes clés

Protection des matériaux • Oxydo-réduction

 

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ph© Yann Arthus-Bertrand/hemis.fr

L'opéra Garnier, inauguré en 1875, est l'un des édifices les plus emblématiques de la ville de Paris. Le toit de l'opéra Garnier comprend trois dômes composés de plaques de cuivre (un grand dôme central et deux dômes latéraux identiques mais plus petits que le dôme central). Le métal cuivre initialement rouge-orangé s'est recouvert avec le temps d'une couche de couleur vert-bleu terne : le vert-de-gris.

Données

La surface du grand dôme central peut être estimée par :

S=32πR2

Chacun des deux petits dômes latéraux sera assimilé à des demi-sphères de surface :

Ss=2πR2

Données diverses

• Masses molaires atomiques (en g ∙ mol–1) :

MCu = 63,5  MC = 12,0  MO = 16,0  MH = 1,0.

• Masse volumique du cuivre :

ρCu = 8,96 × 103 kg ∙ m–3.

• Masse volumique du vert-de-gris estimée à 4,0 × 103 kg ∙ m–3.

document 1 Protection d'un objet en cuivre par le vert-de-gris

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Le vert-de-gris – ou hydroxycarbonate de cuivre de formule Cu2(OH)2CO3 – est un produit de la corrosion du cuivre qui se forme sur les objets en cuivre ou sur les bronzes (alliages à base de cuivre) placés à l'extérieur. Cette couche de vert-de-gris, une fois formée en surface, constitue une protection en empêchant le contact entre l'extérieur et le cuivre situé plus en profondeur  elle évite ainsi la corrosion de l'ensemble du métal (voir schéma ci-contre). On suppose que l'épaisseur de vert-de-gris est d'environ 100 nm.

document 2 Formation du vert-de-gris

La formation du vert-de-gris peut être décomposée en deux étapes.

Une première étape au cours de laquelle le cuivre cède des électrons au dioxygène :

2 Cu(s) + O2(g) 2 CuO(s) (Équation 1)

Une deuxième étape au cours de laquelle des protons H+ sont échangés entre l'oxyde de cuivre CuO et l'acide carbonique (CO2, H2O) :

2 CuO(s) + CO2(g) + H2O(g) Cu2(OH)2 CO3(s) (Équation 2)

Le bilan global de la formation du vert-de-gris correspond à la somme des équations 1 et 2.

document 3 Plan à l'échelle de l'Opéra Garnier vu de dessus

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1. Questions préliminaires 15 min

1 Écrire le bilan global de la formation du vert-de-gris. (0,5 point)

2 À l'aide des documents et de vos connaissances, identifier la provenance des différents réactifs du bilan global de la formation de vert-de-gris sur les dômes de l'opéra Garnier. (0,5 point)

3 Indiquer en justifiant à quel type de réaction chimique appartient le processus correspondant à l'équation 1 et la nature de la réaction subie par le cuivre. (0,5 point)

2. Résolution de problème 35 min

Estimer la différence de masse de la couverture des trois dômes de l'opéra Garnier suite à la corrosion du cuivre. (3,5 points)

Le candidat est invité à présenter son raisonnement de manière claire et ordonnée.

Les différentes mesures réalisées ainsi que les calculs nécessaires à la résolution du problème devront apparaître clairement. Toute tentative de réponse même incomplète sera prise en compte lors de l'évaluation.

Les clés du sujet

Comprendre les documents et les données

Document 1

Le texte de ce document vous indique que le cuivre (ou le bronze) s'oxyde lorsqu'il est à l'air libre (comme pour les toits de l'Opéra). Il vous donne aussi l'épaisseur de la couche de vert-de-gris qui le recouvre lorsqu'il est oxydé.

Document 2

Ce document vous donne les équations de réaction d'oxydation. Celles-ci vous permettront de trouver la relation entre la quantité du cuivre ayant réagi et celle de vert-de-gris qui s'est déposée (à l'aide des coefficients stœchiométriques).

Document 3

Le plan de ce docuement est à l'échelle donc vous pouvez vous en servir pour mesurer les rayons des trois dômes.

Autres données

La formule de la surface d'un dôme en fonction du rayon vous permet de calculer les surfaces recouvertes de vert-de-gris.

Questions préliminaires

1 Additionnez membre à membre les deux équations de réaction données (étapes 1 et 2).

3 D'après le document 2, pendant cette étape, le cuivre perd des ­électrons.

Résolution du problème

Utilisez la  fiche 7  de la boîte à outils en fin d'ouvrage et suivez les étapes suivantes.

À l'aide du plan, estimez les rayons des dômes.

Calculez les surfaces recouvertes.

Calculez la masse de vert-de-gris déposé sur les trois dômes.

Déduisez-en le nombre de moles de vert-de-gris puis celui de cuivre ayant réagi (à l'aide de l'équation bilan trouvée en partie 1).

Calculez la masse de cuivre disparu.

Conclure en calculant Δm = mvert-de-grismcuivre disparu

Schéma de résolution du problème

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Corrigé

1. questions préliminaires

1 Écrire un bilan de transformations chimiques

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2 Déterminer l'origine de réactifs

Le cuivre est le matériau initial des dômes.

Les autres réactifs proviennent de l'air et de son humidité (ou de la pluie) : il s'agit du dioxygène et du dioxyde de carbone qui sont très présents dans l'atmosphère et de l'eau.

3 Identifier le type d'une réaction chimique

Au cours de la première étape, le cuivre « cède des électrons » au dioxygène, il s'agit donc d'une réaction d'oxydoréduction et, plus précisément, le cuivre subit une oxydation puisqu'il perd des électrons.

2. Résolution de problème

gagnez des points

Il s'agit d'un problème à résoudre dans lequel il y a beaucoup de calculs qui s'enchaînent. Faites attention à rédiger votre réponse pour que le correcteur puisse vous suivre facilement ! N'hésitez pas à numéroter et à nommer vos étapes de raisonnement.

Nous voulons estimer la différence de masse due à la couverture de vert-de-gris sur les trois dômes. Par la suite, nous noterons avec un indice « vdg » toutes les grandeurs se rapportant au vert-de-gris.

Première méthode (algébrique)

gagnez des points

La résolution totalement algébrique n'est pas obligatoire ni à la portée de tous mais si cela ne vous pose pas de problème, faites-la, car cela valorisera votre copie.

Trouver l'expression de la somme des surfaces recouvertes de vert-de-gris

Pour cela, il faut évaluer les rayons des trois dômes : celui du dôme central peut être évalué à RC = 20 m et ceux des dômes latéraux à RL = 9 m d'après l'échelle du plan fourni. D'où :

S = Sdôme central + 2Sdôme latéral

S = 32πRC2+ 4πRL2

Trouver l'expression de la masse de vert-de-gris déposée sur les trois dômes

notez bien

Lors du recouvrement d'un objet, le volume du dépôt est donné par :

Volume = Épaisseur × Surface

La masse de vert-de-gris déposé sur les dômes est donnée par :

mvdg = ρvdg × Vvdg = ρvdg × evdg × S

avec evdg l'épaisseur du vert-de-gris et S la surface recouverte.

D'où la masse de vert-de-gris est :

mvdg = ρvdg × evdg × (32πRC2+4πRL2)

Trouver l'expression de la masse de cuivre disparue

D'après l'équation du bilan global de réaction, nous savons que 1 mole de vert-de-gris provient de la réaction, et donc de la disparition de 2 moles de cuivre métallique. On a alors :

n(cuivre disparu) = 2nvdg avec nvdg = mvdgMvdg

Donc nous pouvons connaître la masse de cuivre ayant disparu sur les dômes :

m(cuivre disparu) = n(cuivre disparu) × MCu = 2 × mvdgMvdg× MCu

Calculer la différence de masse cherchée

Notons Δm la masse cherchée :

Δm = mvdgm(cuivre disparu)

L'expression algébrique est donc :

Δm = mvdg – 2 × mvdgMvdg×MCu

Δm = mvdg (12MCuMvdg)

Δm = ρvdg × evdg × (32πRC2+4πRL2)(12MCuMvdg)

En remplaçant par les valeurs numériques, nous obtenons :

Δm = 4 × 103 × 100 × 10–9 × (32π×202+4π×92)
×(1263,52×63,5+2×17+12+3×16))

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Nous obtenons, donc Δm = 0,49 kg.

La différence de masse est positive et d'un peu moins de 500 grammes, c'est-à-dire que la coupole voit sa masse augmenter de presque 500 grammes lors de cette transformation.

Deuxième méthode

Vous pouvez aussi arriver au résultat final en effectuant les calculs numériques intermédiaires. Reprenez à chaque étape l'expression algébrique trouvée dans la 1re méthode et faire l'application numérique.

Calculer les surfaces recouvertes de vert-de-gris

S = 32πRC2+ 4πRL2= 2 903 m² = 2,9 × 103 m²

Calculer la masse de vert-de-gris déposé

mvdg = ρvdg × evdg × S = 1,2 kg

Calculer la masse de cuivre disparu

m(cuivre disparu) = 2 × mvdgMvdg × MCu = 0,67 kg

Calculer la différence de masse cherchée

Δm = mvdgm(cuivre disparu) = 0,49 kg

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Remarque 1 : On a présenté les résultats uniquement avec deux chiffres significatifs car l'estimation des rayons des dômes est peu précise.

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Remarque 2 : Si vous suivez la 2e méthode, pensez à reprendre les valeurs exactes, calcul après calcul (comme ce que montre l'écran de la 1re calculatrice). Sinon (voir la  fiche 1 ) vous risquez d'accumuler les erreurs d'arrondi, comme montré ci-contre et aboutir à 0,51 kg au lieu de 0,49 kg.

ÉVALUEZ-VOUS !

Après avoir comparé vos réponses au corrigé, vérifiez que vous remplissez les principaux critères de réussite.

J'ai bien utilisé le schéma pour déterminer les rayons des dômes

J'ai bien calculé les surfaces de l'ensemble des dômes

J'ai bien calculé la masse de vert-de-gris

J'ai bien calculé la quantité de vert-de-gris

J'ai bien calculé l'équation de réaction pour trouver la quantité de cuivre disparu

 

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