Terminale générale Mathématiques Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

Probabilités

Succession d'épreuves indépendantes

matT_2000_00_50C

Succession d'épreuves indépendantes

Les effets d'une maladie dans un cheptel bovin

45 min

4 points

Intérêt du sujet • Dans ce sujet, on modélise l'impact d'une maladie frappant un cheptel bovin détectable par un test. Afin de savoir si ce test est fiable, on calcule la probabilité que le test détecte les animaux malades et celle qu'il détecte les animaux sains.

Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d'un pays. Elle touche 0,5 % de ce cheptel (ou 5 pour mille) et chaque animal est potentiellement porteur de cette maladie.

▶ 1. On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu'il soit malade ?

▶ 2. a) On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre d'animaux malades parmi eux.

On admet que X suit une loi binomiale car le cheptel est suffisamment grand pour que le choix de 10 bovins soit assimilé à 10 tirages sans remise. Quels sont les paramètres de cette loi ?

b) On désigne par A l'événement « aucun animal n'est malade parmi les 10 » et par B l'événement « au moins un animal est malade parmi les 10 ».

Calculer les probabilités des événements A et B arrondies à $10^{- 2}$ .

▶ 3. On sait que la probabilité qu'un animal ait un test positif à cette maladie sachant qu'il est malade est 0,8. Lorsqu'un animal n'est pas malade, la probabilité d'avoir un test négatif est 0,9.

On note T l'événement « avoir un test positif à cette maladie » et M l'événement « être atteint de cette maladie ».

a) Représenter par un arbre pondéré les données de l'énoncé.

b) Calculer la probabilité de l'événement T.

c) Quelle est la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif ?

d) Commenter le résultat trouvé.

Les clés du sujet

▶ 1. La réponse est dans l'énoncé.

▶ 2. a) Faites attention aux conditions d'utilisation de la loi binomiale !

b) Traduisez les événements à l'aide de X.

▶ 3. a) On connaît la probabilité de M, les deux premières branches concernent donc les bovins malades ou non.

b) Calculez les probabilités à l'aide de l'arbre.

c) Formulez la question à l'aide des probabilités conditionnelles.

d) Formulez les commentaires sous l'angle de la fiabilité du test.

▶ 1. Analyser un énoncé

La probabilité pour qu'un animal soit malade est égale à $0,5 %$ c'est-à-dire 0,005.

▶ 2. a) Identifier une loi binomiale

On effectue 10 répétitions de la même épreuve : choisir un bovin qui a une probabilité de 0,005 d'être malade. C'est pourquoi X suit la loi binomiale de paramètres $10 (n = 10)$ et 0,005 $(p = 0,005)$ .

b) Utiliser une loi binomiale

à noter

Le contraire de l'événement $(X \geq 1)$ est $(X 1)$ c'est-à-dire $(X = 0)$ .

En appliquant astucieusement la formule d'une loi binomiale, on a :

$P (A) = P (X = 0) = (\begin{matrix} 10 \\ 0 \end{matrix}) {0,005}^{0} {0,995}^{10}$ , soit $P (A) \approx 0,95$ .

$P (B) = P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)$ , soit $P (B) \approx 0,05$ .

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▶ 3. a) Modéliser une situation par un arbre

On note $\bar{T}$ l'événement « le test est négatif ».

L'arbre ci-dessous modélise les données de l'énoncé.

b) Exploiter les données d'un arbre

Par la formule des probabités totales, $P (T) = P (T \cap M) + P (T \cap \bar{M})$ , et on lit sur l'arbre :

$P (T) = 0,8 \times 0,005 + 0,1 \times 0,995 = 0,1035$ .

c) Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif est $P_{T} (M)$ , soit $P_{T} (M) = \frac{P (T \cap M)}{P (T)} = \frac{0,8 \times 0,005}{0,1035}$ c'est-à-dire $P_{T} (M) \approx 0,04$ .

d) Interpréter le résultat d'un calcul dans le contexte de l'énoncé

Il y a donc 4 % de chances que l'animal soit malade sachant le test est positif. Le test n'est donc pas du tout fiable car pour qu'il le soit, il faudrait qu'il dise quasi certainement que l'animal est malade en cas de test positif.