▶ 1. Calculons :

$\frac{\text{OA}}{\text{OD}}=\frac{36}{64}=\frac{9}{16}$ et $\frac{\text{OB}}{\text{OC}}=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}$. Donc $\frac{\text{OA}}{\text{OD}}=\frac{\text{OB}}{\text{OC}}$.

Les points O, A, D sont alignés dans le même ordre que les points O, B, C. De plus $\frac{\text{OA}}{\text{OD}}=\frac{\text{OB}}{\text{OC}}$. D'après la réciproque du théorème de Thalès les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

▶ 2. Les points O, A, D sont alignés dans le même ordre que les points O, B, C et les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Nous pouvons appliquer le théorème de Thalès et écrire

$\frac{\text{OA}}{\text{OD}}=\frac{\text{OB}}{\text{OC}}=\frac{\text{AB}}{\text{CD}}$ soit $\frac{36}{64}=\frac{27}{48}=\frac{\text{AB}}{80}$.

Un produit en croix permet d'écrire $\text{AB}=\frac{27\times 80}{48}=45$.

$\boxed{\text{AB}=45\text{ cm}}$.

▶ 3. Calculons AC.

Les droites (AC) et (CD) sont perpendiculaires, donc le triangle ACD est rectangle en C. Appliquons le théorème de Pythagore : AC² + DC² = AD² ou encore AC² = AD² – DC².

Mais AD = OA + OD = 36 + 64 donc AD = 100 cm.

Alors AC² = ${100}^2-{80}^2=3\text{600}$ et $\text{AC}=\sqrt[]{3600}=60$ cm.

Notons H la hauteur totale du meuble de rangement.

Cette étagère possède 5 plateaux en bois de 2 cm d'épaisseur et 4 éléments d'armature tels que [AC].

Nous avons H = 4 × 60 + 5 × 2 = 250 cm soit $\boxed{H=\mathrm{2,5}\text{ m}}$.