NOMBRES ET CALCULS
Comparer, calculer et résoudre des problèmes
13
mat3_1709_07_00C
France métropolitaine • Septembre 2017
Exercice 7 • 7 points
Les légionelles
Les légionelles sont des bactéries présentes dans l'eau potable. Lorsque la température de l'eau est comprise entre 30 °C et 45 °C, ces bactéries prolifèrent et peuvent atteindre, en deux ou trois jours, des concentrations dangereuses pour l'homme.
On rappelle que « μm » est l'abréviation de micromètre.
Un micromètre est égal à un millionième de mètre.
▶ 1. La taille d'une bactérie légionelle est 0,8 μm.
Exprimer cette taille en mètres (m) et donner le résultat sous la forme d'une écriture scientifique.
▶ 2. Lorsque la température de l'eau est 37 °C, cette population de bactéries légionelles double tous les quarts d'heure. Une population de 100 bactéries légionelles est placée dans ces conditions. On a créé la feuille de calcul suivante qui permet de donner le nombre de bactéries légionelles en fonction du nombre de quarts d'heure écoulés :
| A | B | |
|---|---|---|
| 1 | Nombre de quarts d'heure | Nombre de bactéries |
| 2 | 0 | 100 |
| 3 | 1 | |
| 4 | 2 | |
| 5 | 3 | |
| 6 | 4 | |
| 7 | 5 | |
| 8 | 6 | |
| 9 | 7 | |
| 10 | 8 |
a) Dans la cellule B3, on veut saisir une formule que l'on pourra étirer vers le bas dans la colonne B pour calculer le nombre de bactéries légionelles correspondant au nombre de quarts d'heure écoulés. Quelle est cette formule ?
b) Quel est le nombre de bactéries légionelles au bout d'une heure ?
c) Le nombre de bactéries légionelles est-il proportionnel au temps écoulé ?
d) Après combien de quarts d'heure cette population dépasse-t-elle 10 000 bactéries légionelles ?
▶ 3. On souhaite tester l'efficacité d'un antibiotique pour lutter contre la bactérie légionelle. On introduit l'antibiotique dans un récipient qui contient 104 bactéries légionelles au temps t = 0. La représentation graphique ci-dessous donne le nombre de bactéries dans le récipient en fonction du temps.
a) Au bout de trois heures, combien reste-t-il environ de bactéries légionelles dans le récipient ?
b) Au bout de combien de temps environ reste-t-il 6 000 bactéries légionelles dans le récipient ?
c) On estime qu'un antibiotique sera efficace sur l'être humain s'il parvient à réduire de 80 % le nombre initial de bactéries dans le récipient en moins de cinq heures.
En s'aidant du graphique, étudier l'efficacité de l'antibiotique testé sur l'être humain.
Les clés du sujet
Points du programme
Puissances • Tableur • Proportionnalité • Fonctions et lecture graphique.
Nos coups de pouce
▶ 2. c) Pour savoir si un tableau représente une situation de proportionnalité, calcule les quotients et regarde s'ils sont tous égaux.
▶ 3. a) Prendre un pourcentage d'une quantité, c'est multiplier la quantité par le pourcentage.
Corrigé
▶ 1. 0,8 μm = 0,8 × 10–6 m = .
▶ 2. a) La formule est .
b) Dans une heure, il y a quatre quarts d'heure.
Donc, au bout d'une heure, il y aura :
100 × 24 = .
c) 200 ÷ 1 = 200
400 ÷ 2 = 200
800 ÷ 3 ≠ 200
Les quotients ne sont pas tous égaux, donc ce n'est pas une situation de proportionnalité.
d) Au bout de il y aura :
100 × 27 = 12 800 bactéries.
▶ 3. a) Au bout de 3 heures, il reste environ .
b) Au bout de , il reste environ 6 000 bactéries.
attention
N'oublie pas de soustraire le nombre que tu as lu à 10 000 pour trouver le nombre de bactéries éliminées.
c) L'antibiotique, pour être efficace, doit éliminer 80 % des 10 000 bactéries, soit 8 000 bactéries en moins de 5 heures.
Or, au bout de 5 heures, il reste 2 500 bactéries environ. Cela signifie que 7 500 ont été éliminées.
Puisque 7 500 8 000, l'antibiotique n'est pas complètement efficace.