Les nombres de Mersenne

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2015

Exercice 4 • 5 points

Les nombres de Mersenne

Les nombres de la forme 2n − 1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne.

 1. On désigne par a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que PGCD(b, c= 1.

Prouver, à l’aide du théorème de Gauss, que :

si b divise a et c divise a alors le produit bc divise a.

 2. On considère le nombre de Mersenne 233 − 1.

Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.

matT_1504_12_01C_04

Il affirme que 3 divise 233 − 1 et 4 divise 233 − 1 et 12 ne divise pas 233 − 1.

a) En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1. ?

b) Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas 233 − 1.

c) En remarquant que 2 ≡ − 1 [3], montrer que, en réalité, 3 ne divise pas 233 − 1.

d) Calculer la somme S = 1 + 23 + (23)2 + (23)3 ++ (23)10.

e) En déduire que 7 divise 233 − 1.

 3. On considère le nombre de Mersenne 27 − 1. Est-il premier ? Justifier.

 4. On donne l’algorithme suivant où MOD(N, k) représente le reste de la division euclidienne de N par k.

Variables

n entier naturel supérieur ou égal à 3

k entier naturel supérieur ou égal à 2

Initialisation

Demander à l’utilisateur la valeur de n.

Affecter à k la valeur 2.

Traitement

Tant que MOD(2n − 1, k) ≠ 0 et 239002-Eqn21

Affecter à k la valeur k + 1

Fin de Tant que.

Sortie

Afficher k.

Si 239002-Eqn22

Afficher « CAS 1 »

Sinon

Afficher « CAS 2 »

Fin de Si

a) Qu’affiche cet algorithme si on saisit n = 33 ? Et si on saisit n = 7 ?

b) Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre k affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?

c) Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres premiers • Congruences • Algorithmique • Suites géométriques.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique E4e 2. d)

Nos coups de pouce

 1. Traduisez la divisibilité de 239002-Eqn27 par 239002-Eqn28, puis celle de 239002-Eqn29 par 239002-Eqn30 avant de chercher à appliquer le théorème de Gauss.

 2. b) et c) Utilisez judicieusement les propriétés sur les congruences pour justifier les résultats demandés.