>  1.  Soit k un entier naturel. Démontrer que .

>  2.  Soit x un nombre entier. Il existe un entier naturel n et des chiffres , , …, tels que .

Démontrer que .

On admet d’après le résultat établi à la question précédente qu’on obtient le même reste en divisant un nombre par 9 qu’en divisant la somme de ses chiffres par 9.

Sur les billets de banque en euros figure un code de 11  chiffres précédé d’une lettre. On remplace la lettre par son rang dans l’alphabet habituel de 26  lettres. On obtient ainsi un nombre à 12 ou 13 chiffres et on cherche le reste de la division de ce nombre par  9. Ce reste est le même pour tous les billets authentiques et vaut  8.

>  1.  Le code u01308937097 figure sur un billet de banque.

a)  Donner le nombre à 13 chiffres correspondant à ce code.

b)  Calculer le reste de la division par 9 de la somme des 13 chiffres de ce nombre.

Que peut-on dire de ce billet  ?

>  2.  Sur un billet authentique figure le code s0216644810x, x pour le dernier chiffre illisible. Montrer que x +  42 est congru à 8 modulo 9. En déduire x.

>  3.  Sur un autre billet authentique la partie du code formé par les 11  chiffres est 16122340242, mais la lettre qui les précède est effacée.

On appelle n le rang dans l’alphabet de la lettre effacée.

Quelles sont les possibilités pour la lettre effacée  ?