Arithmétique
Corrigé
42
Ens. de spécialité
matT_1200_00_24C
Sujet inédit
Exercice • 5 points
Partie A
.
, 
, …, 
tels que 
.
Démontrer que 
.
PARTIE B
On admet d'après le résultat établi à la question précédente qu'on obtient le même reste en divisant un nombre par 9 qu'en divisant la somme de ses chiffres par 9.
Sur les billets de banque en euros figure un code de 11 chiffres précédé d'une lettre. On remplace la lettre par son rang dans l'alphabet habituel de 26 lettres. On obtient ainsi un nombre à 12 ou 13 chiffres et on cherche le reste de la division de ce nombre par 9. Ce reste est le même pour tous les billets authentiques et vaut 8.
Que peut-on dire de ce billet ?
On appelle n le rang dans l'alphabet de la lettre effacée.
Quelles sont les possibilités pour la lettre effacée ?
Durée conseillée : 35 min.
Le thème en jeu
Arithmétique.
Les conseils du correcteur
Partie A
puis appliquez judicieusement une propriété relative aux congruences.
. Concluez en passant à la somme.
Partie B
PARTIE A
> 1. Démontrer une égalité de congruences
On a 
. Pour tout entier k naturel, on a donc : 
et donc 
.
> 2. Exploiter une égalité de congruences
D'après le résultat établi à la question précédente, on obtient
.
Il s'ensuit par somme finie que 
.
PARTIE B
> 1. a) Lire un énoncé
La lettre U est la 21e lettre de l'alphabet.
On en conclut que le code figurant sur le billet de banque est
b) Calculer le reste de la division d'une division euclidienne
Calculons la somme des chiffres du code du billet étudié :
2
Or 
, il s'ensuit que 
.
Le reste de la division par 9 de la somme des 13 chiffres de ce nombre est 5.
> 2. Démontrer une égalité de congruences
La lettre S est la 19e lettre de l'alphabet. La somme des chiffres du code du billet est donc :
1
On sait que si ce billet est vrai alors le reste de la division de la somme des chiffres par 9 est égale à 8. Par conséquent, le chiffre x vérifie
. Or 42 ≡ 6 [9] donc x + 42 ≡ x + 6 [9]. Comme x est compris entre 0 et 9,
> 3. Exploiter une égalité de congruences
Sur un autre billet authentique, la partie du code formé par les 11 chiffres donne la somme :
1 
. Or 27 ≡ 0 [9], donc n + 27 = n [9], soit n ≡ 8 [9].