Les numéros des billets de banque

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Les numéros des billets de banque

Arithmétique

Corrigé

42

Ens. de spécialité

matT_1200_00_24C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Partie A

> 1. Soit k un entier naturel. Démontrer que .

> 2. Soit x un nombre entier. Il existe un entier naturel n et des chiffres , , …, tels que .

Démontrer que .

PARTIE B

On admet d’après le résultat établi à la question précédente qu’on obtient le même reste en divisant un nombre par 9 qu’en divisant la somme de ses chiffres par 9.

Sur les billets de banque en euros figure un code de 11 chiffres précédé d’une lettre. On remplace la lettre par son rang dans l’alphabet habituel de 26 lettres. On obtient ainsi un nombre à 12 ou 13 chiffres et on cherche le reste de la division de ce nombre par 9. Ce reste est le même pour tous les billets authentiques et vaut 8.

> 1. Le code u01308937097 figure sur un billet de banque.

a) Donner le nombre à 13 chiffres correspondant à ce code.

b) Calculer le reste de la division par 9 de la somme des 13 chiffres de ce nombre.

Que peut-on dire de ce billet ?

> 2. Sur un billet authentique figure le code s0216644810x, x pour le dernier chiffre illisible. Montrer que x + 42 est congru à 8 modulo 9. En déduire x.

> 3. Sur un autre billet authentique la partie du code formé par les 11 chiffres est 16122340242, mais la lettre qui les précède est effacée.

On appelle n le rang dans l’alphabet de la lettre effacée.

Quelles sont les possibilités pour la lettre effacée ?

Durée conseillée : 35 min.

Le thème en jeu

Arithmétique.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Montrez que puis appliquez judicieusement une propriété relative aux congruences.

>  2. Démontrez dans un premier temps que . Concluez en passant à la somme.

Partie B

>  1. Relisez attentivement la définition de la lettre dans le code d’un billet.

>  2. Calculez la somme des chiffres du nombre étudié. Exploitez le résultat établi à la partie A. Remarquez que x est un chiffre, il est donc compris entre 0 et 9.

>  3. Procédez comme précédemment en remarquant que le nombre n varie entre 1 et 26. Concluez.

Corrigé

PARTIE A

> 1. Démontrer une égalité de congruences

On a . Pour tout entier k naturel, on a donc : et donc .

> 2. Exploiter une égalité de congruences

D’après le résultat établi à la question précédente, on obtient.

Il s’ensuit par somme finie que .

PARTIE B

> 1. a) Lire un énoncé

La lettre U est la 21e lettre de l’alphabet.

On en conclut que le code figurant sur le billet de banque est 2101308937097.

b) Calculer le reste de la division d’une division euclidienne

Calculons la somme des chiffres du code du billet étudié :

2 + 1 + 0 + 1 + 3 + 0 + 8 + 9 + 3 + 7 + 0 + 9 + 7 = 50.

Or , il s’ensuit que .

Le reste de la division par 9 de la somme des 13 chiffres de ce nombre est 5. Ce billet est donc faux.

> 2. Démontrer une égalité de congruences

La lettre S est la 19e lettre de l’alphabet. La somme des chiffres du code du billet est donc :

1 + 9 + 0 + 2 + 1 + 6 + 6 + 4 + 4 + 8 + 1 + 0 + x = 42 + x.

On sait que si ce billet est vrai alors le reste de la division de la somme des chiffres par 9 est égale à 8. Par conséquent, le chiffre x vérifie. Or 42 ≡ 6 [9] donc x + 42 ≡ x + 6 [9]. Comme x est compris entre 0 et 9, la seule valeur de x possible est donc 2.

> 3. Exploiter une égalité de congruences

Sur un autre billet authentique, la partie du code formé par les 11 chiffres donne la somme :

1 + 6 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 0 + 2 + 4 + 2 = 27. En suivant le même raisonnement que dans la question précédente, on a . Or 27 ≡ 0 [9], donc n + 27 = n [9], soit n ≡ 8 [9]. n est un entier compris entre 1 et 26,on en déduit les valeurs possibles de n : 8, 17 et 26, qui correspondent aux lettres H, Q et Z.