Les numéros des billets de banque

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Les numéros des billets de banque

Arithmétique

Corrigé

42

Ens. de spécialité

matT_1200_00_24C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Partie A

>1.  Soit k un entier naturel. Démontrer que .

>2.  Soit x un nombre entier. Il existe un entier naturel n et des chiffres , , …, tels que .

Démontrer que .

PARTIE B

On admet d’après le résultat établi à la question précédente qu’on obtient le même reste en divisant un nombre par 9 qu’en divisant la somme de ses chiffres par 9.

Sur les billets de banque en euros figure un code de 11  chiffres précédé d’une lettre. On remplace la lettre par son rang dans l’alphabet habituel de 26  lettres. On obtient ainsi un nombre à 12 ou 13 chiffres et on cherche le reste de la division de ce nombre par  9. Ce reste est le même pour tous les billets authentiques et vaut  8.

>1.  Le code u01308937097 figure sur un billet de banque.

a)  Donner le nombre à 13 chiffres correspondant à ce code.

b)  Calculer le reste de la division par 9 de la somme des 13 chiffres de ce nombre.

Que peut-on dire de ce billet  ?

>2.  Sur un billet authentique figure le code s0216644810x, x pour le dernier chiffre illisible. Montrer que x +  42 est congru à 8 modulo 9. En déduire x.

>3.  Sur un autre billet authentique la partie du code formé par les 11  chiffres est 16122340242, mais la lettre qui les précède est effacée.

On appelle n le rang dans l’alphabet de la lettre effacée.

Quelles sont les possibilités pour la lettre effacée  ?

Durée conseillée  : 35  min.

Le thème en jeu

Arithmétique.

Les conseils du correcteur

Partie A

>    1.  Montrez que puis appliquez judicieusement une propriété relative aux congruences.

>    2.  Démontrez dans un premier temps que . Concluez en passant à la somme.

Partie B

>    1.  Relisez attentivement la définition de la lettre dans le code d’un billet.

>    2.  Calculez la somme des chiffres du nombre étudié. Exploitez le résultat établi à la partie  A. Remarquez que x est un chiffre, il est donc compris entre 0 et 9.

>    3.  Procédez comme précédemment en remarquant que le nombre n varie entre 1 et 26. Concluez.