Géométrie
Utiliser la géométrie plane pour démontrer
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France métropolitaine • Juin 2017
Exercice 4 • 8 points
Les panneaux photovoltaïques
Les panneaux photovoltaïques permettent de produire de l'électricité à partir du rayonnement solaire.
Une unité courante pour mesurer l'énergie électrique est le kilowattheure, abrégé en kWh.
▶ 1. Le plus souvent, l'électricité produite n'est pas utilisée directement, mais vendue pour être distribuée dans le réseau électrique collectif. Le prix d'achat du kWh, donné en centimes d'euro, dépend du type d'installation et de sa puissance totale, ainsi que de la date d'installation des panneaux photovoltaïques. Ce prix d'achat du kWh est donné dans le tableau ci-dessous.
| Date d'installation | |||||
| Type d'installation | Puissance totale | Du 01/01/15 au 31/03/15 | Du 01/04/15 au 30/06/15 | Du 01/07/15 au 30/09/15 | Du 01/10/15 au 31/12/15 |
| Type A | 0 à 9 kW | 26,57 | 26,17 | 25,78 | 25,39 |
| Type B | 0 à 36 kW | 13,46 | 13,95 | 14,7 | 14,4 |
| 36 à 100 kW | 12,79 | 13,25 | 13,96 | 13,68 | |
Source : http//www.developpement-durable.gouv.fr
En mai 2015, on installe une centrale solaire du type B, d'une puissance de 28 kW.
Vérifier que le prix d'achat de 31 420 kWh est d'environ 4 383 euros.
▶ 2. Une personne souhaite installer des panneaux photovoltaïques sur la partie du toit de sa maison orientée au sud. Cette partie est grisée sur la figure ci-contre. Elle est appelée pan sud du toit. La production d'électricité des panneaux solaires dépend de l'inclinaison du toit.
Déterminer, au degré près, l'angle que forme ce pan sud du toit avec l'horizontale.
▶ 3. a) Montrer que la longueur AB est environ égale à 5 m.
b) Les panneaux photovoltaïques ont la forme d'un carré de 1 m de côté.
Le propriétaire prévoit d'installer 20 panneaux.
Quel pourcentage de la surface totale du pan sud du toit sera alors couvert par les panneaux solaires ? On donnera une valeur approchée du résultat à 1 % près.
c) La notice d'installation indique que les panneaux doivent être accolés les uns aux autres et qu'une bordure d'au moins 30 cm de large doit être laissée libre pour le système de fixation tout autour de l'ensemble des panneaux.
Le propriétaire peut-il installer les 20 panneaux prévus ?
Les clés du sujet
Points du programme
Lecture de tableaux • Opérations de base • Trigonométrie • Théorème de Pythagore • Pourcentages.
Nos coups de pouce
▶ 2. Pour calculer un angle dans un triangle rectangle, utilise la trigonométrie.
▶ 3. a) Pour calculer une longueur dans un triangle rectangle, utilise le théorème de Pythagore.
Corrigé
attention
Les prix sont donnés en centimes d'euro.
▶ 1. En lisant le tableau, on constate que pour une centrale solaire de type B, d'une puissance de 28 kW, en mai 2015, le prix d'achat du kWh est de 13,95 centimes d'euro.
Le prix d'achat de 31 420 kWh vaut donc : 0,139 5 × 31 420 ≈ .
▶ 2. Calculons d'abord AC : AC = 7 – 4,8 = 2,2 m.
Le triangle ABC est rectangle en C :
= =
Donc
▶ 3. a) Le triangle ABC est rectangle en C donc d'après le théorème de Pythagore, on a :
AB2 = AC2 + BC2
AB2 = 2,22 + 4,52
AB2 = 4,84 + 20,25
AB2 = 25,09
AB =
b) Aire du toit = L × l = 7,5 × 5 = 37,5 m2.
Aire d'un panneau = L × l = 1 × 1 = 1 m2.
Aire des 20 panneaux = 20 × 1 = 20 m2.
Donc le pourcentage de toit recouvert de panneaux est de :
attention
Il faut enlever 30 cm de bordure de chaque côté donc 60 cm en long et en large.
c) Une bordure de 30 cm doit être ôtée en longueur et en largeur.
La nouvelle longueur vaut donc : 7,5 – 0,3 × 2 = 6,9 m.
La nouvelle largeur vaut donc : 5 – 0,3 × 2 = 4,4 m.
Donc en longueur, on peut placer 6 panneaux et en largeur, 4 panneaux.
Donc on peut installer 6 × 4 = 24 panneaux.
Donc le propriétaire peut bien installer les 20 panneaux prévus.