Analyse • Fonction logarithme népérien
Corrigé
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Ens. spécifique
matT_1200_00_06C
Sujet inédit
Exercice • 6 points
Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de l’électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et 2 500.
Soit 
la fonction définie sur l’intervalle [0,5 ; 25] par :
Si 
représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que 
représente le bénéfice mensuel de l’entreprise, en milliers d’euros.
On suppose que 
est dérivable sur [0,5 ; 25], et on note 
sa fonction dérivée.
PARTIE A
. Vérifier que, pour tout nombre 
appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25], 
(0,5 point)
sur l’intervalle [0,5 ; 25]. En déduire les variations de la fonction 
sur l’intervalle [0,5 ; 25]. (1 point)
(0,25 point)
admet une solution unique 
. Déterminer une valeur approchée par défaut de 
à 
près. (1 point)
pour tout 
appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25]. (0,5 point)
PARTIE B
définie sur l’intervalle ]0 ; 
[ par :
est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l’intervalle
]0 ; 
[ .
En déduire une primitive 
de la fonction 
sur l’intervalle [0,5 ; 25]. (0,5 point)
une fonction définie et continue sur un intervalle [a ; b], où 
.
La valeur moyenne de la fonction 
sur l’intervalle [a ; b] est le nombre réel 
défini par :
Déterminer la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l’entreprise, arrondie à la centaine d’euros, lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et 1 800 panneaux solaires. (0,75 point)
Durée conseillée : 55 min.
Les thèmes en jeu
Dérivées usuelles • Sens de variation • Fonction logarithme népérien • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitives usuelles • Valeur moyenne d’une fonction.
Les conseils du correcteur
Partie A
.
.
PARTIE A
> 1. Calcul de f′(x)
Pour tout réel 
appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25],
> 2. Signe de f′(x) et variations de f sur [0,5 ; 25] :
Pour tout 
appartenant à [0,5 ; 25], 
,
donc 
est du signe de 
.
est un trinôme qui a pour racines 
et 9. Donc :
si 
ou 
, alors 
;
si 
, alors 
;
si 
, alors 
.
Ici 
, donc :
si 
, alors 
, donc 
;
si 
, alors 
, donc 
;
.
On en déduit que 
est strictement croissante sur [0,5 ; 9], strictement décroissante sur [9 ; 25]. Son tableau de variations est :
> 3. a) Calcul de f(1)
.
b) Détermination d’une solution de l’équation f(x) = 0
est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [18 ; 19].
(en arrondissant à 
).
(en arrondissant à 
).
Donc 
.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 
admet une solution unique 
sur l’intervalle [18 ; 19].
Avec la calculatrice, on obtient :
et 
.
Donc 
.
à 
près.
c) Signe de f(x) :
et 
pour une valeur 
comprise entre 18 et 19, d’où :
> 4. Nombre minimal et nombre maximal de panneaux
que l’entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire
L’entreprise est bénéficiaire si et seulement si 
; d’après la question précédente, cette condition équivaut à 
.
Puisque 
est le nombre de centaines de panneaux vendus, et 1 805
> 5. L’entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100 000 € ?
Puisque 
représente le bénéfice en milliers d’euros, l’entreprise réalise un bénéfice mensuel de 100 000 € si et seulement si il existe une valeur de 
telle que 
.
Or on a vu à la question 
sur [0,5 ; 25] est 
, et que 
.
L’équation 
n’a aucune solution dans [0,5 ; 25],
PARTIE B
> 1. Détermination d’une primitive F de f
La fonction 
définie sur l’intervalle ]0 ; 
[ par 
est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l’intervalle ]0 ; 
[. Donc une primitive de f sur [0,5 ; 25] est la fonction 
définie sur l’intervalle [0,5 ; 25] par :
.
Donc une primitive de la fonction 
sur l’intervalle [0,5 ; 25] est définie par :
> 2. Valeur moyenne du bénéfice mensuel de l’entreprise
La valeur moyenne 
du bénéfice mensuel de l’entreprise lorsqu’elle produit et vend entre 100 et 1 800 panneaux solaires est (en milliers d’euros) :
soit 
.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.