Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovolta&iuml ques produisant de l’électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et 2  500.

Soit la fonction définie sur l’intervalle [0,5  25] par  :

Si représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que représente le bénéfice mensuel de l’entreprise, en milliers d’euros.

On suppose que est dérivable sur [0,5  25], et on note sa fonction dérivée.

>  1.  Calculer . Vérifier que, pour tout nombre appartenant à l’intervalle [0,5  25], (0,5 point)

>  2.  Étudier le signe de sur l’intervalle [0,5  25]. En déduire les variations de la fonction sur l’intervalle [0,5  25]. (1 point)

>  3.  a)  Calculer (0,25 point)

b)  Montrer que sur l’intervalle [18  19] l’équation admet une solution unique . Déterminer une valeur approchée par défaut de à près. (1 point)

c)  En déduire le signe de pour tout appartenant à l’intervalle [0,5  25]. (0,5 point)

>  4.  Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l’entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire  ? (0,75  point)

>  5.  L’entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100  000  €  ? Justifier la réponse. (0,75 point)

>  1.  On admet que la fonction définie sur l’intervalle ]0  [ par  :

est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l’intervalle
]0    [ .

En déduire une primitive de la fonction sur l’intervalle [0,5  25]. (0,5 point)

>  2.  Rappel  : soit une fonction définie et continue sur un intervalle [a  b], où .

La valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle [a  b] est le nombre réel défini par  :

Déterminer la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l’entreprise, arrondie à la centaine d’euros, lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et 1  800 panneaux solaires. (0,75 point)