Les panneaux solaires photovoltaïques

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
&nbsp
Les panneaux solaires photovolta&iuml ques

Analyse &bull Fonction logarithme n&eacute p&eacute rien

Corrig&eacute

20

Ens. sp&eacute cifique

matT_1200_00_06C

Sujet in&eacute dit

Exercice &bull 6 points

Une entreprise fabrique et vend &agrave des particuliers des panneaux solaires photovolta&iuml ques produisant de l&rsquo &eacute lectricit&eacute . Elle en produit chaque mois entre 50 et 2  500.

Soit la fonction d&eacute finie sur l&rsquo intervalle [0,5  25] par  :

Si repr&eacute sente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqu&eacute s et vendus, alors on admet que repr&eacute sente le b&eacute n&eacute fice mensuel de l&rsquo entreprise, en milliers d&rsquo euros.

On suppose que est d&eacute rivable sur [0,5  25], et on note sa fonction d&eacute riv&eacute e.

PARTIE A

&gt 1.  Calculer . V&eacute rifier que, pour tout nombre appartenant &agrave l&rsquo intervalle [0,5  25], (0,5 point)

&gt 2.  &Eacute tudier le signe de sur l&rsquo intervalle [0,5  25]. En d&eacute duire les variations de la fonction sur l&rsquo intervalle [0,5  25]. (1 point)

&gt 3.a)  Calculer (0,25 point)

b)  Montrer que sur l&rsquo intervalle [18  19] l&rsquo &eacute quation admet une solution unique . D&eacute terminer une valeur approch&eacute e par d&eacute faut de &agrave pr&egrave s. (1 point)

c)  En d&eacute duire le signe de pour tout appartenant &agrave l&rsquo intervalle [0,5  25]. (0,5 point)

&gt 4.  Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l&rsquo entreprise doit produire et vendre pour &ecirc tre b&eacute n&eacute ficiaire  ? (0,75  point)

&gt 5.  L&rsquo entreprise peut-elle r&eacute aliser un b&eacute n&eacute fice mensuel de 100  000  &euro   ? Justifier la r&eacute ponse. (0,75 point)

Dans cette question, toute trace de recherche, m&ecirc me incompl&egrave te, ou d&rsquo initiative m&ecirc me non fructueuse, sera prise en compte dans l&rsquo &eacute valuation.

PARTIE B

&gt 1.  On admet que la fonction d&eacute finie sur l&rsquo intervalle ]0  [ par  :

est une primitive de la fonction logarithme n&eacute p&eacute rien sur l&rsquo intervalle
]0    [ .

En d&eacute duire une primitive de la fonction sur l&rsquo intervalle [0,5  25]. (0,5 point)

&gt 2.Rappel  : soit une fonction d&eacute finie et continue sur un intervalle [ab], o&ugrave .

La valeur moyenne de la fonction sur l&rsquo intervalle [ab] est le nombre r&eacute el d&eacute fini par  :

D&eacute terminer la valeur moyenne du b&eacute n&eacute fice mensuel de l&rsquo entreprise, arrondie &agrave la centaine d&rsquo euros, lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et 1  800 panneaux solaires. (0,75 point)

Dur&eacute e conseill&eacute e  : 55  min.

Les th&egrave mes en jeu

D&eacute riv&eacute es usuelles &bull Sens de variation &bull Fonction logarithme n&eacute p&eacute rien &bull Th&eacute or&egrave me des valeurs interm&eacute diaires &bull Primitives usuelles &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt     3.  b)  Appliquez le th&eacute or&egrave me des valeurs interm&eacute diaires.

&gt     4.  L&rsquo entreprise est b&eacute n&eacute ficiaire si et seulement si .

&gt     5.  Examinez l&rsquo &eacute quation .