Les panneaux solaires photovoltaïques

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Les panneaux solaires photovoltaïques

Analyse • Fonction logarithme népérien

Corrigé

20

Ens. spécifique

matT_1200_00_06C

Sujet inédit

Exercice • 6 points

Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de l’électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et 2 500.

Soit la fonction définie sur l’intervalle [0,5 ; 25] par :

Si représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que représente le bénéfice mensuel de l’entreprise, en milliers d’euros.

On suppose que est dérivable sur [0,5 ; 25], et on note sa fonction dérivée.

PARTIE A

>1. Calculer . Vérifier que, pour tout nombre appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25], (0,5 point)

>2. Étudier le signe de sur l’intervalle [0,5 ; 25]. En déduire les variations de la fonction sur l’intervalle [0,5 ; 25]. (1 point)

>3.a) Calculer (0,25 point)

b) Montrer que sur l’intervalle [18 ; 19] l’équation admet une solution unique . Déterminer une valeur approchée par défaut de à près. (1 point)

c) En déduire le signe de pour tout appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25]. (0,5 point)

>4. Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l’entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire ? (0,75 point)

>5. L’entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100 000 € ? Justifier la réponse. (0,75 point)

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

PARTIE B

>1. On admet que la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; [ par :

est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l’intervalle
]0 ; [ .

En déduire une primitive de la fonction sur l’intervalle [0,5 ; 25]. (0,5 point)

>2.Rappel : soit une fonction définie et continue sur un intervalle [a ; b], où .

La valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle [a ; b] est le nombre réel défini par :

Déterminer la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l’entreprise, arrondie à la centaine d’euros, lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et 1 800 panneaux solaires. (0,75 point)

Durée conseillée : 55 min.

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Sens de variation • Fonction logarithme népérien • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitives usuelles • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  3. b) Appliquez le théorème des valeurs intermédiaires.

>  4. L’entreprise est bénéficiaire si et seulement si .

>  5. Examinez l’équation .

Corrigé

PARTIE A

>1. Calcul de f′(x)

Pour tout réel appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25],

>2. Signe de f′(x) et variations de f sur [0,5 ; 25] :

Pour tout appartenant à [0,5 ; 25], ,

donc est du signe de .

est un trinôme qui a pour racines et 9. Donc :

si ou , alors  ;

si , alors  ;

si , alors .

Ici , donc :

si , alors , donc  ;

si , alors , donc  ;

.

On en déduit que est strictement croissante sur [0,5 ; 9], strictement décroissante sur [9 ; 25]. Son tableau de variations est :


>3.a) Calcul de f(1)

.

b) Détermination d’une solution de l’équation f(x) = 0

est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [18 ; 19].

(en arrondissant à ).

(en arrondissant à ).

Donc .

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet une solution unique sur l’intervalle [18 ; 19].

Avec la calculatrice, on obtient :

et .

Donc .

18,05 est une valeur approchée par défaut de à près.

c) Signe de f(x) :

et pour une valeur comprise entre 18 et 19, d’où :


>4. Nombre minimal et nombre maximal de panneaux
que l’entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire

L’entreprise est bénéficiaire si et seulement si  ; d’après la question précédente, cette condition équivaut à .

Puisque est le nombre de centaines de panneaux vendus, et 1 805 < 100α < 1 806 on en déduit que, pour être bénéficiaire, l’entreprise doit vendre un nombre minimal de 101 panneaux et un nombre maximal de 1 805 panneaux.

>5. L’entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100 000 € ?

Puisque représente le bénéfice en milliers d’euros, l’entreprise réalise un bénéfice mensuel de 100 000 € si et seulement si il existe une valeur de telle que .

Or on a vu à la question 2. que le maximum de sur [0,5 ; 25] est , et que .

L’équation n’a aucune solution dans [0,5 ; 25], l’entreprise ne peut donc pas réaliser un bénéfice mensuel de 100 000 €.

PARTIE B

>1. Détermination d’une primitive F de f

La fonction définie sur l’intervalle ]0 ; [ par est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l’intervalle ]0 ; [. Donc une primitive de f sur [0,5 ; 25] est la fonction définie sur l’intervalle [0,5 ; 25] par :

.

Donc une primitive de la fonction sur l’intervalle [0,5 ; 25] est définie par :

>2. Valeur moyenne du bénéfice mensuel de l’entreprise

La valeur moyenne du bénéfice mensuel de l’entreprise lorsqu’elle produit et vend entre 100 et 1 800 panneaux solaires est (en milliers d’euros) :

soit .

Arrondie à la centaine d’euros, la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l’entreprise lorsqu’elle produit et vend entre 100 et 1 800 panneaux solaires est donc 59 800 €.