Analyse • Fonction logarithme népérien
Corrigé
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Ens. spécifique
matT_1200_00_06C
Sujet inédit
Exercice • 6 points
Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaï ques produisant de l'électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et 2 500.
Soit la fonction définie sur l'intervalle [0,5 25] par :
Si représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que
représente le bénéfice mensuel de l'entreprise, en milliers d'euros.
On suppose que est dérivable sur [0,5 25], et on note
sa fonction dérivée.
PARTIE A
. Vérifier que, pour tout nombre
appartenant à l'intervalle [0,5 25],
(0,5 point)
sur l'intervalle [0,5 25]. En déduire les variations de la fonction
sur l'intervalle [0,5 25]. (1 point)
admet une solution unique
. Déterminer une valeur approchée par défaut de
à
près. (1 point)
pour tout
appartenant à l'intervalle [0,5 25]. (0,5 point)
PARTIE B
définie sur l'intervalle ]0
[ par :
est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle
]0 [ .
En déduire une primitive de la fonction
sur l'intervalle [0,5 25]. (0,5 point)
une fonction définie et continue sur un intervalle [a b], où
.
La valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle [a b] est le nombre réel
défini par :
Déterminer la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l'entreprise, arrondie à la centaine d'euros, lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et 1 800 panneaux solaires. (0,75 point)
Durée conseillée : 55 min.
Les thèmes en jeu
Dérivées usuelles • Sens de variation • Fonction logarithme népérien • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitives usuelles • Valeur moyenne d'une fonction.
Les conseils du correcteur
PARTIE A
> 1. Calcul de f′(x)
> 2. Signe de f′(x) et variations de f sur [0,5 25] :
Pour tout appartenant à [0,5 25],
,
est un trinôme qui a pour racines
et 9. Donc :
On en déduit que est strictement croissante sur [0,5 9], strictement décroissante sur [9 25]. Son tableau de variations est :

> 3. a) Calcul de f(1)
b) Détermination d'une solution de l'équation f(x) = 0
est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [18 19].
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une solution unique
sur l'intervalle [18 19].
Avec la calculatrice, on obtient :
c) Signe de f(x) :

> 4. Nombre minimal et nombre maximal de panneaux
que l'entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire
L'entreprise est bénéficiaire si et seulement si d'après la question précédente, cette condition équivaut à
.
Puisque est le nombre de centaines de panneaux vendus, et 1 805
> 5. L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100 000 € ?
Puisque représente le bénéfice en milliers d'euros, l'entreprise réalise un bénéfice mensuel de 100 000 € si et seulement si il existe une valeur de
telle que
.
Or on a vu à la question sur [0,5 25] est
, et que
.
L'équation n'a aucune solution dans [0,5 25],
PARTIE B
> 1. Détermination d'une primitive F de f
La fonction définie sur l'intervalle ]0
[ par
est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle ]0
[. Donc une primitive de f sur [0,5 25] est la fonction
définie sur l'intervalle [0,5 25] par :
Donc une primitive de la fonction sur l'intervalle [0,5 25] est définie par :
> 2. Valeur moyenne du bénéfice mensuel de l'entreprise
La valeur moyenne du bénéfice mensuel de l'entreprise lorsqu'elle produit et vend entre 100 et 1 800 panneaux solaires est (en milliers d'euros) :
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.