Les pentes

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Mai 2017

Exercice 6 • 7 points

Les pentes

mat3_1705_12_05C_01

On obtient la pente d’une route en calculant le quotient du dénivelé (c’est-à-dire du déplacement vertical) par le déplacement horizontal correspondant. Une pente s’exprime sous forme d’un pourcentage.

Sur l’exemple ci-contre, la pente de la route est :

dénivelédéplacement horizontal=15120=0,125=12,5%.

Classer les pentes suivantes dans l’ordre décroissant, c’est-à-dire de la pente la plus forte à la pente la moins forte.

Route descendant du château des Adhémar, à Montélimar

mat3_1705_12_05C_02a

Tronçon d’une route descendant du col du Grand Colombier (Ain)

mat3_1705_12_05C_02b

Tronçon d’une route descendant de l’Alto de l’Angliru (région des Asturies, Espagne)

mat3_1705_12_05C_02c

Les clés du sujet

Points du programme

Théorème de Pythagore • Trigonométrie • Pourcentage.

Nos coups de pouce

Pour calculer, dans un triangle rectangle, un troisième côté connaissant les deux autres, utilise le théorème de Pythagore.

Pour calculer, dans un triangle rectangle, un côté connaissant un angle et un autre côté, utilise une formule de trigonométrie.

Corrigé

Corrigé

La route du château des Adhémar a une pente de 24 %.

Calculons la pente de la route descendant du col du Grand Colombier.

Pour appliquer la formule, il faut connaître le déplacement horizontal.

mat3_1705_12_05C_03

On applique le théorème de Pythagore au triangle ABC rectangle en B, on a :

Attention !

Le carré de la longueur du côté laissé seul dans la formule de Pythagore est toujours celui de l’hypoténuse.

AB2 + BC2 = AC2

2802 + BC2 = 1 5002

78 400 + BC2 = 2 250 000

BC2 = 2 250 000 – 78 400 = 2 171 600

BC = 2 171 6001 474 m

Donc la pente vaut : 2801 4740,19 soit 19 %

Calculons la pente de la route descendant de l’Alto de l’Angliru.

Pour applique la formule, il faut connaître le dénivelé.

mat3_1705_12_05C_04

ABC est un triangle rectangle en B donc on applique la formule de trigonométrie :

tan(ACB^) = côté opposé à ACB^côté adjacent à ACB^=ABBC

En remplaçant les valeurs connues :

tan(12,4°) = AB146

Par produit en croix : AB = 146 × tan(12,4°) 32,1 m.

Donc la pente vaut : 32,11460,22 soit 22 %

En conclusion 24 % > 22 % > 19 %, donc, dans l’ordre décroissant des pentes nous avons : route descendant du château des Adhémar, route descendant de l’Alto de l’Angliru et route descendant du col du Grand Colombier.