Troisième Mathématiques Résoudre des problèmes de proportionnalité

S'entraîner

Résoudre des problèmes de proportionnalité

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France métropolitaine • Septembre 2019

Les pièces montées

Exercice 4

15 min

16 points

Pour le mariage de Dominique et Camille, le pâtissier propose deux pièces montées constituées de gâteaux de taille et de forme différentes.

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : La tour de PiseLa première pièce montée est constituée d'un empilement de 4 gâteaux de forme cylindrique, de même hauteur et dont le diamètre diminue de 8 cm à chaque étage.Le gâteau du bas a pour diamètre 30 cm et pour hauteur 6 cm.; Ph © APeriamPhotography / iStock / Getty Images ; Ligne 2 : La tour CarréeLa deuxième pièce montée est constituée d'un empilement de 3 pavés droits à base carrée de même hauteur. La longueur du côté de la base diminue de 8 cm à chaque étage.La hauteur des gâteaux est 8 cm ; le côté de la base du gâteau du bas mesure 24 cm.; Ph © Christopher Niemann / Alamy Stock Photo;

Tous les gâteaux ont été confectionnés à partir de la recette ci-dessous, qui donne la quantité des ingrédients correspondant à 100 g de chocolat.

Tableau de 1 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : Recette du gâteau pour 100 g de chocolat :; • 65 g de sucre• 2 œufs• 75 g de beurre• 30 g de farine;

▶ 1. Quel est le ratio (masse de beurre : masse de chocolat) ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

▶ 2. Calculer la quantité de farine nécessaire pour 250 g de chocolat noir suivant la recette ci-avant.

▶ 3. Calculer la longueur du côté de la base du plus petit gâteau de la tour Carrée.

▶ 4. Quelle est la tour qui a le plus grand volume ? Justifier votre réponse en détaillant les calculs.

On rappelle que le volume V d'un cylindre de rayon r et de hauteur h est donné par la formule : V = π × r ² × h.

Les clés du sujet

L'intérêt du sujet

Les pièces montées sont des gâteaux à étages souvent mangées lors des mariages. À travers l'étude du volume de pièces montées, tu vas travailler la proportionnalité et le calcul littéral.

Nos coups de pouce, question par question

$Tableau de 3 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Connaître la notion de ratio; Le ratio est une fraction, ici : ratio = masse de beurremasse de chocolat.; Ligne 2 : ▶ 2. Calculer avec des grandeurs proportionnelles; Dresse un tableau de proportionnalité entre la masse de farine et la masse de chocolat.; Ligne 3 : ▶ 3. Effectuer des calculs numériques; Observe que chaque étage perd 8 cm de longueur de côté.;$

Les étapes de résolution pour la question 4

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▶ 1. Le ratio est :

$\frac{masse de beurre}{masse de chocolat} = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

$Ratio = \frac{3}{4}$ .

▶ 2. On peut dresser un tableau de proportionnalité :

Tableau de 2 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Masse de chocolat (g); 100; 250; Ligne 2 : Masse de farine (g); 30; x;

x = $\frac{30 \times 250}{100} = 75 g$ .

Donc il faut 75 g de farine pour 250 g de chocolat noir.

▶ 3. Chaque étage perd 8 cm de longueur de côté, donc le côté du plus petit carré de la tour Carrée mesure :

$24 - 8 - 8 = 8 cm$ .

▶ 4. Le volume de la tour Carrée est :

attention !

N'oublie pas d'enlever 8 cm au diamètre ou au côté quand tu passes d'un étage à l'autre.

V_{tour Carrée} = V_1er étage + V_2e étage + V_3e étage

V_{tour Carrée} = 24 × 24 × 8 + 16 × 16 × 8 + 8 × 8 × 8

V_{tour Carrée} = 4 608 + 2 048 + 512

$V_{tour Carrée} = 7 168 {cm}^{3}$ .

Le volume de la tour de Pise est :

V_{tour de Pise} = V_1er étage + V_2e étage + V_3e étage + V_4e étage

V_{tour de Pise} = π × 15²× 6 + π × 11² × 6 + π × 7²× 6 + π × 3² × 6

V_{tour de Pise} = 2 424π

$V_{tour de Pise} \approx 7 615 {cm}^{3}$ .

C'est donc la tour de Pise qui a le plus grand volume.