Les ponceuses

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Les ponceuses

Probabilités et statistiques • Lois à densité

Corrigé

38

Ens. spécifique

matT_1200_00_16C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Une chaîne de magasins de bricolage commercialise deux types de ponceuses : des ponceuses « elliptiques » et des ponceuses « à bande ».

Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à

Partie A : Loi binomiale

On note l’événement « une ponceuse elliptique prélevée au hasard dans un stock important de la chaîne est défectueuse ».

On suppose que

On prélève au hasard 25 ponceuses elliptiques dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 25 ponceuses.

On considère la variable aléatoire qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de ponceuses défectueuses de ce prélèvement.

>1. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. (0,5 point)

>2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement quatre ponceuses défectueuses. (0,5 point)

>3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins une ponceuse défectueuse. (0,5 point)

>4.a) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire . (0,5 point)

b) La réparation d’une ponceuse défectueuse coûte 30 €. Quelle est, pour un lot de 25 ponceuses elliptiques, le montant moyen des réparations des ponceuses elliptiques défectueuses ? (0,5 point)

Partie B : Approximation d’une loi binomiale
par une loi normale

On note R l’événement « une ponceuse à bande prélevée au hasard dans un lot important provenant du fabricant nécessite un réglage avant sa commercialisation ».

On suppose que .

On prélève au hasard un lot de 50 ponceuses à bande pour vérification. Le lot est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 ponceuses.

On considère la variable aléatoire qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de ponceuses à bandes de ce prélèvement nécessitant un réglage.

On admet que la variable aléatoire suit la loi binomiale de paramètres 50 et 0,45 et que son écart type est égal, à près, à 3,5 (ce résultat n’a pas à être justifié).

On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire par la loi normale de moyenne 22,5 et d’écart type 3,5.

On note une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 22,5 et d’écart type 3,5.

>1. Justifier le choix des paramètres de cette loi normale. (0,5 point)

>2. Calculer la probabilité qu’au moins 25 ponceuses nécessitent un réglage. (0,5 point)

Partie C : Probabilités conditionnelles

Les ponceuses à bande proviennent de deux fabricants, notés « fabricant 1 » et « fabricant 2 ».

50 % des ponceuses provenant du fabricant 1 nécessitent un réglage et 37 % des ponceuses provenant du fabricant 2 nécessitent un réglage.

On prélève au hasard une ponceuse dans un stock important contenant 60 % de ponceuses provenant du fabricant 1 et le reste du fabricant 2.

On définit les événements suivants :

A « La ponceuse provient du fabricant 1 » ;

B « La ponceuse provient du fabricant 2 » ;

E « La ponceuse nécessite un réglage ».

>1. Déduire des informations figurant dans l’énoncé les probabilités (0,5 point)

>2. Calculer et . En déduire (0,5 point)

>3. Calculer la probabilité que la ponceuse provienne du fabricant 1 sachant qu’elle nécessite un réglage. (0,5 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Probabilités conditionnelles • Loi de probabilité • Loi à densité.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  3. Considérez l’événement contraire.

>  4. Utilisez la formule vue en cours pour le calcul de l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale  : .

Partie B

Utilisez le fait que (sous certaines conditions…) une loi binomiale peut être approximée par une loi normale de même espérance…

Partie C

Certaines données correspondent à des probabilités « simples », d’autres à des probabilités conditionnelles.

Corrigé

Partie A

>1. Le prélèvement au hasard de 25 ponceuses elliptiques dans le stock est assimilé à un tirage avec remise ; il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli formé de la répétition de 25 expériences (épreuves de Bernoulli) identiques et indépendantes de même probabilité de succès .

Notez bien

Le « succès » est ici « la ponceuse prélevée est défectueuse. »

La variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 25 ponceuses elliptiques, associe le nombre de ponceuses défectueuses, c’est-à-dire le nombre de succès, suit la loi binomiale de paramètres 25 et 0,08, notée .

>2. La probabilité que, dans le prélèvement, il y ait exactement quatre ponceuses défectueuses est , soit environ 0,09 à près.

>3. La probabilité que, dans le prélèvement, il y ait au moins une ponceuse défectueuse est .

L’événement contraire est « dans le prélèvement, il n’y a aucune ponceuse défectueuse », soit .

, donc .

La probabilité que, dans le prélèvement de 25 ponceuses elliptiques, il y ait au moins une ponceuse défectueuse est égale à 0,88 environ.

>4.a) Puisque suit la loi binomiale de paramètres 25 et 0,08, son espérance est , soit 2. En moyenne, sur un échantillon de 25 ponceuses elliptiques, il y a 2 ponceuses défectueuses.

b) On sait que la réparation d’une ponceuse elliptique défectueuse coûte 30 € et que, sur un lot de 25 ponceuses elliptiques, en moyenne deux sont défectueuses ; on en déduit que, pour un lot de 25 ponceuses elliptiques, le montant moyen des réparations des ponceuses défectueuses est égal à 60 €.

Partie B

Notez bien

signifie qu’en moyenne, 45 % des ponceuses à bande nécessitent un réglage avant leur commercialisation.

>1. est la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 50 ponceuses à bandes, associe le nombre de ponceuses de ce prélèvement nécessitant un réglage.

suit la loi binomiale . Son espérance est .

Donc suit approximativement la loi normale (loi normale centrée réduite).

Notez bien

La moyenne d’une loi de probabilité est son espérance ; elle correspond à la moyenne par expérience sur un nombre théoriquement infini (en pratique un grand nombre) d’expériences.

Pour suffisamment grand, on peut considérer que la loi de peut être approximée par la loi normale d’espérance 22,5 et d’écart type

, c’est-à-dire par la loi normale de même espérance et même écart type que .

>2. Soit une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 22,5 et d’écart type 3,5 ; on approxime donc la loi de Z.

La probabilité qu’au moins 25 ponceuses nécessitent un réglage est , que l’on approxime par .

Or .

On note  et suit la loi normale centrée réduite .

D’autre part .

On cherche donc finalement (approximativement) la probabilité , avec qui suit la loi normale centrée réduite .

Avec une table de la loi normale centrée réduite, un logiciel ou une calculatrice, on obtient , d’où :

.

La probabilité qu’au moins 25 ponceuses (sur les 50 ponceuses à bande prélevées) nécessitent un réglage est donc environ 0,238.

Partie C

>1. D’après l’énoncé :

La probabilité que la ponceuse prélevée provienne du fabricant 1 est car on considère un stock contenant 60 % de ponceuses provenant du fabricant 1, d’où on déduit (par différence le stock considéré contient 40 % de ponceuses qui viennent du fabricant 2).

Si E est l’événement « la ponceuse nécessite un réglage » :

, car 50 % des ponceuses provenant du fabricant 1 nécessitent un réglage ;

, car 37 % des ponceuses provenant du fabricant 2 nécessitent un réglage.

>2.

.

Notez bien

Une ponceuse qui nécessite un réglage provient soit du fabricant 1, soit du fabricant 2.

>3. La probabilité que la ponceuse provienne du fabricant 1 sachant qu’elle nécessite un réglage est .

Par définition d’une probabilité conditionnelle :

.

Parmi les ponceuses nécessitant un réglage, environ proviennent du fabricant 1.