Les rayons X, outil d'investigation

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Antilles, Guyane


Antilles, Guyane • Juin 2016

Exercice 1 • 6 points • 1 h

Les rayons X, outil d’investigation

Les thèmes clés

Mécanique newtonienne • Caractéristiques et propriétés des ondes

Relativité

 

Les rayons X, découverts en 1895 par le physicien allemand Wilhelm Röntgen, sont des rayonnements électromagnétiques utilisés principalement en imagerie médicale (radiologie) et en cristallographie (étude des substances cristallines).

L’objectif de cet exercice est d’étudier la production des rayons X et leur utilisation dans l’analyse de la structure des cristaux.

1. accélération d’un faisceau d’électrons 30 min

Les rayons X sont produits dans des dispositifs appelés tubes de Coolidge (W. D. Coolidge, physicien américain, 1873-1975).

Dans ce dispositif, des électrons émis par un filament chauffé par effet Joule sont accélérés sous l’effet d’un champ électrique uniforme E. Ce champ est créé par une tension électrique U d’environ 100 kV. Les électrons se dirigent vers une cible de molybdène, métal de symbole Mo, avec laquelle ils interagissent pour produire les rayons X. Se déplaçant à une vitesse très élevée, ces électrons peuvent acquérir une énergie cinétique suffisante pour perturber les couches électroniques internes des atomes de la cible. Ces atomes, dans un état excité, vont alors émettre des rayons X en retournant à leur état fondamental.

La figure 1 reprend de manière simplifiée le principe du tube de Coolidge.

pchT_1606_04_00C_01

Figure 1

Données

Entre le filament et la cible, séparés d’une distance OA = = 2 cm, règne un champ électrique uniforme E dont la valeur est donnée par la relation : = UL.

Célérité de la lumière dans le vide : = 3,00 × 108 m · s–1

Charge électrique élémentaire : = 1,60 × 10–19 C

Masse de l’électron : me = 9,11 × 10–31 kg

Intensité de la pesanteur : = 9,81 N · kg–1

Durée propre et durée mesurée dans le référentiel d’étude. Si le référentiel d’étude est galiléen et si le référentiel propre est en mouvement à vitesse constante par rapport à lui, alors la durée mesurée dans le référentiel d’étude vaut :

Δtm = γ × Δtp

avec Δtp, durée propre entre les deux événements considérés, et Δtm, durée mesurée dans le référentiel d’étude supposé galiléen.

γ est appelé coefficient de Lorentz et s’écrit :

γ = 11v2c2

avec v, vitesse du référentiel propre par rapport au référentiel d’étude et c, vitesse de la lumière dans le vide.

On se propose d’évaluer l’ordre de grandeur de la vitesse atteinte par les électrons lorsqu’ils arrivent sur la cible en molybdène. On suppose pour cela qu’un électron est émis au point O avec une vitesse nulle à = 0 s. Il arrive au point A avec une vitesse v. On considère qu’il est soumis à la force électrique Fe.

1 Donner l’expression vectorielle de la force électrique Fe subie par un électron, puis comparer la direction et le sens de la force électrique Fe à ceux du champ électrique E. (0,5 point)

2 Montrer que, dans le cas où la tension électrique U appliquée entre le filament et la cible vaut 100 kV, on peut négliger le poids de l’électron devant la force électrique. (0,5 point)

3 Montrer que l’expression de la vitesse de l’électron lorsqu’il arrive au point A est : (1,5 point)

vA = 2eUme

Tout élément de la démarche sera valorisé, même si celle-ci n’aboutit pas.

4 Calculer la vitesse de l’électron lorsqu’il arrive au point A dans le cas où la tension électrique U appliquée entre le filament et la cible vaut 100 kV. (0,25 point)

5 Un graphe représentant l’évolution du coefficient de Lorentz en fonction de la vitesse est fourni ci-après. Pensez-vous qu’un modèle relativiste conviendrait mieux à l’étude mécanique du mouvement de l’électron ? Justifier votre réponse. (0,5 point)

pchT_1606_04_00C_02

Figure 2. Évolution du coefficient de Lorentz en fonction de la vitesse

2. émission de rayons X 15 min

Si l’électron libéré par le filament a une énergie suffisante lorsqu’il arrive sur la cible en molybdène, il peut exciter certains atomes de la cible en perturbant leurs couches électroniques internes. Ces atomes excités émettent des rayons X en revenant à leur état fondamental.

Données

Constante de Planck : = 6,63 ×10–34 J · s

1 eV = 1,602 × 10–19 J

Diagramme simplifié des niveaux d’énergie du molybdène :

pchT_1606_04_00C_03

Spectre des ondes électromagnétiques (échelle non respectée) :

pchT_1606_04_00C_04

1 Reproduire sur votre copie le diagramme d’énergie du molybdène, et y représenter par des flèches toutes les transitions électroniques de l’atome pouvant s’accompagner de l’émission d’un rayonnement. (0,75 point)

2 Déterminer le domaine des ondes émises correspondant à ces transitions. (0,75 point)

3. application à l’étude des structures 
cristallines 15 min

Les rayons X sont utilisés pour explorer la matière et par exemple pour évaluer la distance d entre deux plans 1 et 2 voisins d’atomes dans un cristal. Lorsqu’on envoie un faisceau de rayons X de longueur d’onde λ sur un cristal, ils sont réfléchis par les atomes qui constituent le cristal. Les ondes réfléchies par les atomes interfèrent.

On peut représenter de façon très simplifiée cette situation par la figure 3.

pchT_1606_04_00C_05

Figure 3

Données

La différence de parcours entre deux ondes incidentes qui se réfléchissent sur deux plans successifs est donnée par la relation : δ = 2d sin θ, d est la distance entre deux atomes voisins et θ l’angle entre le rayon et le plan.

Dans le cas d’interférences constructives, la différence de parcours vaut : δ = kλ

Dans le cas d’interférences destructives, la différence de parcours vaut : δ = (k+12)λ

k est un nombre entier positif ou négatif et λ la longueur d’onde des ondes qui interfèrent.

1 En exploitant la figure 3, préciser : (0,75 point)

si, lorsque les deux rayons incidents interfèrent avec les états vibratoires représentés en A1 et A2, on obtient des interférences constructives ou destructives ;

si, lorsque les deux rayons réfléchis interfèrent avec les états vibratoires représentés en B1 et B2, on obtient des interférences constructives ou destructives ;

pourquoi les interférences ne sont pas de même nature entre A1/A2 et B1/B2.

2 Pour un angle θ de 10,4° et une longueur d’onde de 0,154 nm, déterminer la valeur de d dans le cristal, dans le cas où l’on obtient des interférences constructives pour une différence de parcours minimale. (0,5 point)

Les clés du sujet

Partie 1

2 Pour pouvoir négliger une grandeur par rapport à une autre, il faut qu’elle soit beaucoup plus petite que cette dernière. Ici, calculez les valeurs des deux forces : la force électrique appliquée sur l’électron et son poids.

3 Plusieurs étapes doivent être suivies pour répondre à cette question.

Appliquez la deuxième loi de Newton sur l’électron (en ne prenant en compte que la force électrique) pour prouver la relation a= emE.

Projetez cette relation sur les deux axes Ox et Oy.

Déduisez les équations horaires de la vitesse en intégrant l’accélération puis déduisez les équations horaires de la position en intégrant la vitesse.

Trouvez alors l’instant de l’impact sur la cible (c’est-à-dire lorsque x = L).

Calculez la vitesse de l’électron à cet instant.

Partie 2

1 Toutes les transitions d’énergie « descendantes » sont accompagnées de l’émission d’un photon.

Partie 3

2 Utilisez le sinus de l’angle θ pour déterminer la distance d.

Corrigé

Corrigé

1. accélération d’un faisceau d’électrons

1 Donner la formule de la force électrique

Attention !

La formule de la valeur de la force électrique est à connaître (acquis de classe de première). Elle sert régulièrement : ne bloquez pas dessus !

Fe=qE =eE. Le signe « − » entre le champ électrique E et la force électrique Fe a pour conséquence que ces deux vecteurs ont la même direction mais des sens opposés.

2 Comparer deux forces

On peut calculer la valeur des deux forces :

P = m × g = me×g=9,11×1031×9,81=8,94×1030 N

Fe=q×E=q×UL=1,60×1019×100 × 103× 102=8×1013 N

Calculons alors le rapport entre ces deux forces :

PFe=8,94×10308×1013=1×1017<<1 d’où P << Fe.

Le poids est donc très inférieur à la force électrique, il est donc négligeable par rapport à la force électrique.

3 Appliquer la deuxième loi de Newton  fiche 5 

1re méthode. On applique la 2e loi de Newton. Le système est l’électron. Le référentiel, supposé galiléen, est celui du laboratoire. Puisque le poids est négligeable, seule la force électrique s’applique à l’électron :

Fe=dpdt=d(mv)dt, or m est constante donc :

d(mv)dt=mdvdt=ma d’où ma=eE et a=em×E.

En projetant sur les axes du repère, on obtient alors :

a{ax= emEx=emEay=emEy=0az=emEz=0 car E= (E00)

Or dvdt=a (l’accélération est la dérivée de la vitesse), donc, en intégrant les relations précédentes, on obtient les coordonnées de la vitesse :

v(t){vx(t)=eEm×t+C1vy(t)=C2vz(t)=C3

Or à t = 0 comme v(0)= (000) on a C1 = C2 = C3 = 0.

D’où le vecteur vitesse est purement horizontal (vy = vz = 0) et la valeur de la vitesse est donnée par la relation :

v=|vx|=eEm×t (1)

Pour déterminer cette valeur au point A, nous devons réintégrer la vitesse afin de trouver les coordonnées de la position de l’électron :

dOMdt=v d’où OM(t){x(t)=eE2m×t2+C4y(t)=C5z(t)=C6

Or à t = 0 on a OM(0)= (000) donc C4 = C5 = C6 = 0

d’où x(t= eE2m×t2.

Or, lorsque l’électron arrive au point A, son abscisse est égale à : xA = L = 2 cm. On a alors : L = eE2m×tA2

tA est l’instant auquel l’électron touche la cible en molybdène.

Donc tA = 2mLeE=2mL2eU car E = UL

On peut substituer ce temps tA dans l’expression de la vitesse (relation (1)) pour trouver l’expression de la vitesse de l’électron au point A :

vA = eEm×tA

vA = eUmL×2mL2eU

vA = e2U2m2L2×2mL2eU

On a donc vA = 2eUm qui est bien l’expression demandée.

2de méthode. On applique le théorème de l’énergie cinétique entre l’instant initial (O) et l’instant auquel l’électron touche la cible (A) : « La variation de l’énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces. » Ici cela donne :

Ec(A) – Ec(O) =WOA(F)

Entre ces deux instants, seule la force électrique s’exerce sur l’électron (car on néglige l’action du poids), seul le travail de la force électrique est à prendre en compte dans la somme des travaux des forces :

WOA(Fe)=FOA

WOA(Fe) = Fe × OA × cos(Fe,OA)

Or Fe et OA sont colinéaires donc cos(Fe,OA) = 1 d’où :

WOA(Fe) = e × E × L

La variation de l’énergie cinétique est :

Ec(A) – Ec(O) = 12mvA212mvO2= 12mvA2

puisque la vitesse en O est nulle.

Gagnez des points

Le théorème de l’énergie cinétique utilisé dans cette 2e méthode est beaucoup moins connu des élèves que la seconde loi de Newton. Pourtant, si vous l’utilisez, vous gagnez du temps !

On a alors :

12mvA2 = e × E × L = e × U (car U = E × L)

On obtient donc vA = 2eUm qui est l’expression demandée.

4 Calculer une vitesse

On a vA = 2eUm = 2×1,6×1019×100×1039,11×1031=1,87×108 m/s.

5 Justifier l’utilisation de la mécanique relativiste

On peut constater (figure 2) qu’à la valeur de la vitesse de l’électron, le coefficient de Lorentz n’est plus sur la valeur « 1 » correspondant au cas « mécanique classique, newtonienne ». À cette vitesse (1,87 × 108 m/s), les effets relativistes ne seront certainement plus négligeables et il conviendrait de faire une étude en mécanique relativiste.

Autre méthode

Vous auriez aussi pu argumenter avec la valeur du coefficient de Lorentz. Calculons ce coefficient associé pour la valeur de la vitesse de l’électron :

γ = 11(vA)2c2= 11(1,87×108)2(3×108)2=1,28 ≠ 1

Il est donc sensiblement différent de 1 : les effets relativistes doivent vraisemblablement être sensibles. Il conviendrait mieux de faire une étude relativiste plutôt que newtonienne classique.

2. émission de rayons X

1 Schématiser une émission spontanée sur un diagramme énergétique

Il y a trois transitions électroniques possibles pouvant s’accompagner d’un rayonnement : toutes celles qui font passer le molybdène à un niveau d’énergie inférieur, comme on le constate en reprenant le diagramme simplifié des niveaux d’énergie du molybdène (énoncé).

pchT_1606_04_00C_06

2 Déterminer un domaine d’ondes électromagnétiques

Les énergies correspondant aux trois transitions précédentes sont :

E2E1 = – 400 – (– 2 570) = 2 170 eV = 2 170 × 1,602 × 10–19 = 3,4 × 10–16 J

E2E0 = – 400 – (– 20 000) = 19 600 eV = 19 600 × 1,602 × 10–19= 3,1 × 10–15 J

E1E0 = – 2 570 – (– 20 000) = 17 430 eV = 17 430 × 1,602 × 10–19 = 2,79 × 10–15 J

Les longueurs d’onde de ces rayonnements (λ=hcE) sont :

Gagnez des points

Les résultats doivent ici comporter 3 chiffres significatifs  fiche 2 

λ1 = hcE2E1=5,72×1010 m

λ2 = hcE2E0=6,34×1011 m

λ3 = hcE1E0=7,12×1011 m

D’après le spectre des ondes électromagnétiques donné, ces trois longueurs d’onde sont comprises dans le domaine des rayons X.

3. application à l’étude des structures cristallines

1 Prévoir le type d’interférences obtenues selon le parcours des ondes

Les états vibratoires représentés en A1 et en A2 sont visiblement en phase. Les interférences obtenues seront donc constructives. On a :

δ = 0 × λ = 0.

Les états vibratoires représentés en B1 et en B2 sont visiblement en opposition de phase. Les interférences obtenues seront donc destructives. On a δ = (k + ½) × λ avec k .

Info

Cette « différence de parcours » est souvent appelée « différence de marche » et est notée δ.

Les interférences entre ces deux situations ne sont pas de même nature car, entre ces deux instants, les deux rayons n’ont pas parcouru le même trajet. Le premier a été réfléchi sur le plan 1 et le second a été réfléchi sur le plan 2, plus éloigné.

2 Déduire une longueur à partir d’un phénomène d’interférences

Sur la figure 3, on peut définir les points C1, C2, D2 et E2. La différence de parcours entre les deux rayons est δ = C2D2 + D2E2.

pchT_1606_04_00C_08

En regardant la figure (angles alternes-internes) nous trouvons que sin θ = C2D2d = D2E2d

Nous retrouvons la relation donnée dans l’énoncé de la différence de parcours entre deux rayons :

δ = C2D2 + D2E2 = 2d sin θ

De plus, l’énoncé indique que l’on obtient des interférences constructives, donc : C2D2 + D2E2 = kλ.

Il s’agit de la différence de parcours minimale, d’où :

k = 1 donc C2D2 + D2E2 = λ

On déduit alors que 2d sin θ = λ ; d’où :

d = λ2sin θ = 0,154×1092sin(10,4)= 4,3 × 10−10 m

D’où d = 0,43 nm, résultat cohérent pour une distance entre atomes.