Troisième Mathématiques Utiliser la géométrie plane pour démontrer

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Utiliser la géométrie plane pour démontrer

mat3_1907_07_03C

France métropolitaine • Juillet 2019

Les transformations du plan

Exercice 5

15 min

18 points

Olivia s'est acheté un tableau pour décorer le mur de son salon.

Ce tableau, représenté ci-dessous, est constitué de quatre rectangles identiques nommés ①, ②, ③ et ④ dessinés à l'intérieur d'un grand rectangle ABCD d'aire égale à 1,215 m². Le ratio longueur : largeur est égal à 3 : 2 pour chacun des cinq rectangles.

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▶ 1. Recopier, en les complétant, les phrases suivantes. Aucune justification n'est demandée.

a) Le rectangle … est l'image du rectangle … par la translation qui transforme C en E.

b) Le rectangle ③ est l'image du rectangle … par la rotation de centre F et d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre.

c) Le rectangle ABCD est l'image du rectangle … par l'homothétie de centre … et de rapport 3.

(Il y a plusieurs réponses possibles, une seule est demandée.)

▶ 2. Quelle est l'aire d'un petit rectangle ?

▶ 3. Quelles sont la longueur et la largeur du rectangle ABCD ?

Les clés du sujet

L'intérêt du sujet

Tu vas travailler les transformations du plan ainsi que l'effet d'une réduction sur une figure.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Reconnaître des transformations planes; Une translation est un « glissement », une rotation est un « pivot » et une homothétie est un « agrandissement/réduction ».; Ligne 2 : ▶ 2. Connaître l'effet d'une réduction sur les aires; Si l'on note k le coefficient de réduction d'une figure, l'aire réduite est obtenue en multipliant l'aire initiale par k2.;

Les étapes de résolution pour la question 3

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▶ 1. a) Le rectangle ③ est l'image du rectangle ④ par la translation qui transforme C en E.

b) Le rectangle ③ est l'image du rectangle ① par la rotation de centre F d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre.

c) Le rectangle ABCD est l'image du rectangle ② par l'homothétie de centre D de rapport 3.

Le rectangle ABCD est l'image du rectangle ③ par l'homothétie de centre B de rapport 3.

Le rectangle ABCD est l'image du rectangle ④ par l'homothétie de centre C de rapport 3.

▶ 2. $A$ _ABCD = 3² × $A$ _{petit rectangle}

1,215 = 9 × $A$ _{petit rectangle}

Donc $A$ _{petit rectangle}= $\frac{1,215}{9} = 0,135 m^{2}$ .

▶ 3. Calculons la longueur et la largeur du grand rectangle :

On a L = 1,5 × l.

à noter

L : l = 3 : 2 signifie que la longueur est 1,5 fois plus grande que la largeur.

Or $A$ _ABCD = L × l.

Donc 1,5 × l² = 1,215

$l = \sqrt[]{\frac{1,215}{1,5}} = 0,9 m$

De plus : $L = 1,5 \times 0,9 = 1,35 m$