Les trois records de Félix Baumgartner

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Les trois records de Félix Baumgartner

France métropolitaine • Juin 2015

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Sujet complet

1

France métropolitaine • Juin 2015

Exercice 1 • 5 points


 

Le 14 octobre 2012, Félix Baumgartner a réalisé un saut historique en inscrivant trois records à son tableau de chasse : celui de la plus haute altitude atteinte par un homme en ballon soit 39 045 m d’altitude, le record du plus haut saut en chute libre, et le record de vitesse en chute libre soit 1 341,9 km · h–1. Après une ascension dans un ballon gonflé à l’hélium, il a sauté vers la Terre, vêtu d’une combinaison spécifique en ouvrant son parachute au bout de 4 min et 20 s.

Le saut a duré en totalité 9 min et 3 s.

 Document 1 Ascension du ballon

Il a fallu concevoir un ballon déformable gigantesque, faisant 100 m de hauteur et 130 m de diamètre lors de son extension maximale. En raison de la diminution de la densité de l’air avec l’altitude, le volume du ballon augmente lors de l’ascension de façon à ce que la poussée d’Archimède reste constante.

« Pour assurer une vitesse d’ascension suffisante, le volume initial d’hélium utilisé était de 5 100 mètres cubes, c’est-à-dire le double du nécessaire pour la sustentation1. En pratique, si l’on ajoute à la masse de l’équipage celle du ballon et de l’hélium, c’est environ 3 tonnes qu’il a fallu soulever. »

D’après un article de Pour la Science, janvier 2013.

1.Sustentation : état d’un corps maintenu à faible distance au-dessus d’une surface, sans contact avec celle-ci.

 Document 2 Étude du saut de Félix Baumgartner

La masse de Félix Baumgartner et de son équipement est m= 120 kg. La date t= 0 correspond au début du saut de Félix Baumgartner.


 

Courbe 1. Évolution temporelle de la vitesse v de Félix Baumgartner, dans le référentiel terrestre, jusqu’à l’ouverture du parachute.


 

Courbe 2. Évolution temporelle de l’altitude z par rapport au sol de Félix Baumgartner, jusqu’à l’ouverture du parachute.

Données

  • L’expression de la poussée d’Archimède exercée par l’air sur un corps est la suivante :

avec vecteur unitaire vertical vers le haut, ρair (kg·m–3) masse volumique de l’air dans lequel est plongé le corps, V (m3) volume du corps placé dans l’air et g intensité du champ de pesanteur.

  • L’intensité du champ de pesanteur est considérée comme constante entre le niveau de la mer et l’altitude de 39 km : g= 9,8 m · s–2.
  • La stratosphère est la couche de l’atmosphère qui s’étend de 10 km à 50 km d’altitude environ.
  • La masse volumique de la partie supérieure de la stratosphère est de l’ordre de 0,015 kg · m–3, celle de la troposphère au niveau du sol est 1,22 kg · m–3.
  • La célérité du son dans l’air en fonction de l’altitude est donnée dans le tableau ci-dessous.
 

Altitude (km)

10

20

30

40

Célérité du son (m · s–1)

305

297

301

318

 
  • La vitesse d’un mobile dans un fluide est dite supersonique si elle est supérieure à la célérité du son dans ce fluide.

1. Ascension en ballon sonde de Félix Baumgartner

Le volume de l’équipage est négligeable par rapport au volume du ballon.

1 Indiquer la force qui est responsable de l’ascension du ballon. (0,5 point)

2 Faire le bilan des forces qui s’exercent sur le système {ballon ; équipage} juste après le décollage, en négligeant les forces de frottement. Illustrer ce bilan de forces par un schéma, sans souci d’échelle mais cohérent avec la situation physique. (1 point)

3 En utilisant les données, les informations du texte et les connaissances acquises, vérifier par un calcul que le ballon peut décoller. (1 point)

4 Après quelques minutes d’ascension, le mouvement du système {ballon ; équipage} est considéré comme rectiligne uniforme. Déterminer alors la valeur de la force de frottement de l’air. (0,5 point)

2. Saut de Félix Baumgartner

On étudie maintenant le système {Félix Baumgartner et son équipement} en chute verticale dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen. On choisit un axe (Oz) vertical vers le haut dont l’origine O est prise au niveau du sol. Le système étudié, noté S, a une vitesse initiale nulle.

On négligera la poussée d’Archimède.

1 Utiliser l’étude du saut de Félix Baumgartner (courbe 1 du document 2) afin de déterminer la valeur de son accélération si t < 20 s. Commenter le résultat obtenu. (0,5 point)

2 Lors de son saut, Félix Baumgartner a-t-il atteint une vitesse supersonique ? Justifier. (0,5 point)

3 Calculer la variation d’énergie mécanique ΔEm entre le moment où Félix Baumgartner saute et le moment où il atteint sa vitesse maximale. Interpréter le résultat. (1 point)

4 Les schémas ci-dessous représentent à trois instants les forces appliquées au système S lors du saut : le poids et la force modélisant les frottements. Affecter un schéma à chacune des dates : t1= 40 s, t2= 50 s et t3= 60 s. (1 point)


 

5 Déterminer l’altitude à laquelle Félix Baumgartner ouvre son parachute. En supposant que le système a un mouvement rectiligne et uniforme après l’ouverture du parachute et jusqu’à l’arrivée au sol, déterminer la valeur de la vitesse du système durant cette phase du mouvement. On rappelle que le saut a duré en totalité 9 min et 3 s. (0,5 point)

6 Pour acquérir la même vitesse à l’arrivée au sol, de quel étage d’un immeuble Félix Baumgartner aurait-il dû sauter ? Commenter. (1 point)

Les clés du sujet

Notions et compétences en jeu

Cinématique et dynamique newtonienne.

Conseils du correcteur

Pour calculer la poussée d’Archimède, prenez la valeur de g de la troposphère car on est au décollage donc au sol. Puis comparez-la à la valeur du poids.

Corrigé
Corrigé

1. Ascension en ballon sonde de Félix Baumgartner

1 Identifier une force

Notez bien

En terminale S on considère que la poussée d’Archimède est souvent négligeable sauf dans deux cas : si l’objet est dans un liquide et/ou si l’objet a un grand volume et une petite masse (type montgolfière).

La seule force qui puisse être responsable de l’ascension du ballon est la poussée d’Archimède qui s’exerce sur lui.

2 Dresser le bilan des forces


 

Le système étudié est l’ensemble {ballon ; équipage}. Sachant que les forces de frottement doivent être négligées, il n’y a que deux forces s’exerçant sur le système :

  • son poids (vertical, descendant et de valeur mg) ;
  • la poussée d’Archimède (verticale, ascendante et de valeur ).

3 Comparer la poussée d’Archimède au poids

Gagnez des points

S’il n’y a pas de calcul d’incertitudes, vous devez mettre le « bon » nombre de chiffres significatifs à vos résultats. C’est-à-dire pas plus que la moins bonne des valeurs utilisées dans le calcul.

Étant immobile avant décollage (par rapport à un référentiel terrestre), les forces qui s’appliquent sur le système doivent lui permettre de décoller. Donc la résultante (la somme) de ces forces est orientée vers le haut. Étant donné que les deux forces appliquées sont verticales, cela signifie que celle qui est orientée vers le haut (la poussée d’Archimède) est plus forte que celle orientée vers le bas (le poids). Vérifions-le :

 

Valeur du poids

Valeur de la poussée d’Archimède

P = mg

FA =

= 3 × 103× 9,8

= 1,22 × 5 100 × 9,8

=2,94×104

c’est le résultat « calculatrice »

=6,0756×104

=3×104N

c’est le bon résultat selon les données

=6,1×104N

 

Ici la masse est donnée avec un seul chiffre significatif et g avec deux chiffres significatifs donc le résultat du poids est avec un seul chiffre significatif (arrondi au plus près), et le résultat de la poussée est avec deux chiffres significatifs (car les autres données sont plus précises : 3 et 4 chiffres significatifs).

Conclusion : La poussée d’Archimède est supérieure au poids donc le système peut décoller.

On retrouve la relation suggérée dans le document 1, « le volume… était… le double du nécessaire à la sustentation » : FA 2P.

4 Raisonner pour obtenir la valeur d’une force

Si on a un mouvement rectiligne et uniforme alors, d’après le principe d’inertie, les forces appliquées sur le système se compensent. Ces forces sont son poids et la poussée d’Archimède mais aussi les forces de frottement . Donc on peut dire que la poussée d’Archimède est maintenant compensée par la somme (, le poids et les frottements. D’où :

FA=P +f soit f=FAP= (6,1 – 3) × 104=3×104N.

Autre méthode

Attention !

Lorsque l’énoncé précise que l’on se trouve dans un mouvement rectiligne et uniforme alors le principe d’inertie (1re loi de Newton) est toujours une piste intéressante !

Pour un mouvement rectiligne et uniforme, les forces appliquées au système se compensent :

donc +

Il faut alors projeter cette relation vectorielle sur un axe vertical pour obtenir (en valeur et non plus en vecteur) :

FAPf= 0 d’où f=FAP= 3 × 104 N.

2. Saut de Félix baumgartner

1 Déduire l’accélération à partir d’un graphique expérimental

La courbe 1 du document 2 donne l’évolution temporelle de la vitesse du système. Or ici on a la valeur de l’accélération qui est donnée par a= donc, pour un instant donné, a est égale à la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe 1. Pour t < 20 s, la courbe est quasiment rectiligne et la tangente passe par les points A(0 ; 0) et B(20 ; 195) en s et m/s. Le coefficient directeur est donc :

==9,8 m/s2.

La valeur est quasi égale à celle de g (même si l’on prend la valeur 200 m/s pour la lecture graphique).

Il est normal que l’accélération soit égale à l’accélération de la pesanteur g puisque les frottements à cette hauteur sont très faibles. On est donc en chute libre.

2 Déterminer la vitesse d’un système

La vitesse de Félix Baumgartner est donnée dans le texte introductif 1 341,9 km/h c’est-à-dire :

=372,75 m/s.

D’après les données du sujet, la célérité du son est toujours inférieure à cette valeur, et ce quelle que soit l’altitude puisqu’elle est inférieure à 318 m/s. Félix Baumgartner a donc bien atteint une vitesse supersonique.

3 Calculer une variation d’énergie mécanique

L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle donc :

ΔEm= ΔEc+ ΔEp= [Ec(après) – Ec(avant)] + [Ep(après) – Ep(avant)]

Les notations « avant » et « après » désignent respectivement le moment du saut et le moment où il atteint sa vitesse maximale. On a donc :

ΔEm=

dans laquelle on appelle l’altitude à laquelle il se trouve lorsque la vitesse maximale est atteinte et l’altitude à laquelle il saute.

On déduit de la courbe 1 le temps de 50 s pour atteindre et on utilise la courbe 2 pour déduire :

=z(50 s) = 28 km.

Donc

Nous pouvons interpréter ce résultat de la façon suivante.

  • La variation étant négative, le système perd donc de l’énergie mécanique.
  • La variation n’étant pas nulle alors l’énergie mécanique n’est pas conservée, c’est donc qu’il existe au moins une force non conservative appliquée au système.
  • D’après le bilan des forces, on peut en déduire que les forces de frottement ne sont pas négligeables et qu’elles sont responsables de cette perte d’énergie mécanique du système.

4 Interpréter un schéma représentatif de forces

On constate que la flèche représentant le poids du système est inchangée entre les trois situations représentées donc les schémas sont fait à la même échelle. Par conséquent la force de frottement est croissante dans l’ordre des schémas suivant : B, C puis A.

Aux instants t1, t2 et t3 proposés, on a, d’après la courbe 1, v3<v1<v2.

Or plus la vitesse est grande plus les frottements sont importants. Ils seront donc maximaux pour l’instant t2 et un peu moins forts pour l’instant t1 et encore moins forts pour l’instant t3.

On a donc : le schéma A correspond à l’instant t2 (force de frottement la plus grande) ; le schéma B correspond à l’instant t3 (force de frottement la plus petite) ; le schéma C correspond à l’instant t1.

5 Déterminer la vitesse de chute

Attention !

Cette formule facile v= n’est valable que lorsque la vitesse est constante !

D’après le texte introductif, il a ouvert son parachute au bout de 4 min et 20 s de chute. À l’aide de la courbe 2, on détermine alors son altitude : 2,5 km. Si l’on suppose que le système a alors un mouvement rectiligne et uniforme, on peut calculer sa vitesse à l’aide de la relation :

v=8,8 m/s.


 

6 Raisonner sur la hauteur d’une chute

Pour faire le raisonnement de la chute du haut d’un immeuble, on considérera qu’elle s’effectue avec une force de frottement négligeable en plus de la poussée d’Archimède (négligeable selon l’énoncé).

  • 1reméthode : à l’aide des équations horaires

On suppose les forces de frottement négligeables donc la seule force appliquée au système est son poids. L’étude est faite dans un référentiel terrestre supposé galiléen, on applique la 2e loi de Newton :

Notez bien

correspond à la chute libre (système soumis uniquement à son poids).

car m est constante d’où on arrive à . Or :

 et 

donc par deux intégrations successives, et en tenant compte des conditions initiales, on obtient :

z(t) =gt2+H et v=gt

d’où t= et z(t) =H

(H étant la hauteur à laquelle le saut serait effectué).

Lorsque l’objet touche le sol, on a alors z= 0 et une vitesse V= 8,8 m/s

d’où H===4,0 m.

Cette hauteur correspond à la hauteur d’un étage.

  • 2eméthode : à l’aide de la conservation de l’énergie mécanique

Si l’on considère les frottements négligeables alors l’énergie mécanique est conservée durant cette chute. Donc :

ΔEm= ΔEc+ ΔEp= 0.

Or on connaît les vitesses initiale et finale de cette chute imaginaire :

vinitiale= 0 m/s et vfinale= 8,8 m/s.

On peut écrire :

[Ec(initiale) – Ec(finale)] + [Ep(initiale) – Ep(finale)] = 0

or Ep=mgz

donc mgH==

H==4,0 m.

Cette hauteur correspond à la hauteur d’un étage.

Remarque

Cette dernière question était la plus délicate et les deux méthodes ont leur difficulté. Pour la première il fallait bien connaître son cours et le développement des équations horaires dans le cas de la chute libre. Pour la seconde, il fallait bien connaître son cours et la conservation de l’énergie mécanique. Dans les deux cas, il faut bien connaître son cours !