Les tubes en polyéthylène

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Les tubes en polyéthylène

Probabilités et statistiques • Lois à densité

Corrigé

37

Ens. spécifique

matT_1200_00_15C

Sujet inédit

Exercice • 4 points

Une usine fabrique des tubes en polyéthylène pour le chauffage géothermique.

On s’intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.

Partie A : Loi normale

Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre 1,35 millimètres et 1,65 millimètres.

>1. On désigne par la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production d’une journée, associe son épaisseur exprimée en millimètres.

On suppose que la variable aléatoire suit la loi normale de moyenne 1,5 et d’écart-type 0,075.

Calculer la probabilité qu’un tube de type 1 prélevé au hasard dans la production de la journée soit accepté au contrôle. On donnera le résultat arrondi à . (1 point)

>2. L’entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes de type 1 : il est envisagé pour cela de modifier le réglage des machines produisant ces tubes.

On note la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1, prélevé dans la production future, associera son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire suit une loi normale de moyenne 1,5 et d’écart-type .

Déterminer pour que la probabilité qu’un tube de type 1 prélevé au hasard dans la production future soit accepté au contrôle soit égale à 0,997. (1 point)

Partie B : Loi binomiale

On considère un lot de tubes de type 2.

On note l’événement « un tube prélevé au hasard dans ce lot de tubes de type 2 est défectueux ». On suppose que .

On prélève au hasard 20 tubes de type 2 dans ce lot pour vérification.

Le lot est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement de 20 tubes de type 2 à un tirage avec remise.

On considère la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 20 tubes de type 2, associe le nombre de tubes défectueux de ce prélèvement.

>1. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. (1 point)

>2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un tube soit défectueux. On donnera le résultat arrondi à (1 point)

Durée conseillée : 40 min.

Les thèmes en jeu

Loi de probabilité • Loi à densité.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Si suit la loi normale d’espérance et d’écart-type , alors .

>  2. De même, si suit la loi normale d’espérance et d’écart-type , alors .

Partie B

>  1. Il s’agit d’un schéma de Bernoulli.

Corrigé

Partie A

>1. Probabilité qu’un tube de type 1 soit accepté au contrôle

Cette probabilité est :

et sont respectivement l’espérance et l’écart type de la variable aléatoire .

D’après le cours, si suit la loi normale de moyenne et d’écart type , alors à près.

Donc la probabilité qu’un tube de type 1 prélevé au hasard dans la production de la journée soit accepté au contrôle est environ égale à 0,95.

>2. Détermination de σ1 pour que P(1,35  X  1,65) ≈ 0,997

Or, pour une loi normale d’espérance et d’écart type  :

.

Donc, pour que la probabilité qu’un tube de type 1 prélevé au hasard dans la production future soit accepté au contrôle (c’est-à-dire ait un diamètre compris entre 1,35 et 1,65 mm) soit égale, à près, à 0,997, il suffit que , soit :

Partie B

>1. Loi suivie par Y

Notez bien

Le « succès » est ici « le tube prélevé est défectueux ».

Le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise, donc il s’agit d’un schéma de Bernoulli formé de la répétition de 20 expériences identiques et indépendantes de même probabilité de succès . La variable aléatoire associe, à tout prélèvement de 20 tubes, le nombre de tubes défectueux, c’est-à-dire le nombre de succès.

Notez bien

Une loi binomiale possède deux paramètres : un entier naturel égal au nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli, et un nombre égal à la « probabilité de succès ».

Donc suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,02, notée

>2. Probabilité qu’au plus un tube soit défectueux

L’événement « au plus un tube est défectueux » est , soit (il n’y a aucun tube défectueux ou exactement un tube défectueux sur les 20 prélevés).

Notez bien

« Au plus un » signifie 1 ou moins, c’est-à-dire 0 ou 1.

.

La probabilité que, dans un tel prélèvement de 20 tubes de type 2, au plus un tube soit défectueux est égale à 0,94 environ.