Troisième Mathématiques Calculer avec des grandeurs mesurables

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Calculer avec des grandeurs mesurables

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Antilles, Guyane • Juin 2019

Les verres de jus de fruits

Exercice 6

15 min

20 points

Pour servir ses jus de fruits, un restaurateur a le choix entre deux types de verres : un verre cylindrique A de hauteur 10 cm et de rayon 3 cm et un verre conique B de hauteur 10 cm et de rayon 5,2 cm.

Rappels :

Volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h : π × r² × h

Volume d'un cône de rayon r et de hauteur h : $\frac{1}{3}$ × π × r² × h

1 L = 1 dm³

Le graphique ci-après représente le volume de jus de fruits dans chacun des verres en fonction de la hauteur de jus de fruits qu'ils contiennent.

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▶ 1. Répondre aux questions suivantes à l'aide du graphique ci-dessus.

a) Pour quel verre le volume et la hauteur de jus de fruits sont-ils proportionnels ? Justifier.

b) Pour le verre A, quel est le volume de jus de fruits si la hauteur est de 5 cm ?

c) Quelle est la hauteur de jus de fruits si on en verse 50 cm³ dans le verre B ?

▶ 2. Montrer, par le calcul, que les deux verres ont le même volume total à 1 cm³ près.

▶ 3. Calculer la hauteur du jus de fruits servi dans le verre A pour que le volume de jus soit égal à 200 cm³. Donner une valeur approchée au centimètre près.

▶ 4. Un restaurateur sert ses verres de telle sorte que la hauteur du jus de fruits dans le verre soit égale à 8 cm.

a) Par lecture graphique, déterminer quel type de verre le restaurateur doit choisir pour servir le plus grand nombre possible de verres avec 1 L de jus de fruits.

b) Par le calcul, déterminer le nombre maximum de verres A qu'il pourra servir avec 1 L de jus de fruits.

Les clés du sujet

L'intérêt du sujet

Un restaurateur doit toujours, en fonction des quantités d'ingrédients dont il dispose, optimiser ses ventes. À travers ce thème, tu vas pouvoir travailler les notions de proportionnalité, d'équation, de volume et de lecture graphique.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 6 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 6 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. a) Reconnaître graphiquement une situation de proportionnalité; Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par une droite passant par l'origine du repère.; Ligne 2 : b) et c) Lire un graphique; b) Lis l'ordonnée du point d'abscisse 5 sur la courbe du verre A.c) Lis l'abscisse du point d'ordonnée 50 sur la courbe du verre B.; Ligne 3 : ▶ 2. Calculer le volume d'un cylindre ou d'un cône en substituant dans une formule; Pour le verre A, remplace r par 3 et h par 10.Opère le même raisonnement pour le verre B, en utilisant les valeurs de r et de h qui lui sont propres.; Ligne 4 : ▶ 3. Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue; Résous l'équation π × 32 × h = 200.; Ligne 5 : ▶ 4. a) Comparer deux courbes; Regarde quelle courbe est en dessous de l'autre.; Ligne 6 : b) Passer d'unités de volume à des unités de contenance; Calcule le volume d'un verre A.Sachant que 1 L = 1 000 cm3, détermine le nombre de verres.;

▶ 1. a) La représentation graphique correspondant au verre A est une droite passant par l'origine du repère, donc le volume de jus de fruits et la hauteur sont proportionnels pour le verre A.

b) Pour le verre A, si la hauteur est de 5 cm, le volume de jus de fruits lu sur le graphique est environ 140 cm³.

c) Si on verse 50 cm³ dans le verre B, la hauteur de jus de fruits lue sur le graphique est environ 5,6 cm.

▶ 2. Le volume du verre A est :

V_{verre A}= π × 3² × 10 = 90π ≈ 283 cm³.

Le volume du verre B est :

V_verre B = $\frac{1}{3} \times π \times {5,2}^{2} \times 10 \approx 283$ cm³.

Donc les volumes sont bien égaux à 1 cm³ près.

▶ 3. Si h est la hauteur du jus de fruits servi dans le verre A pour que le volume de jus soit égal à 200 cm³, alors :

π × 3²× h = 200

$h = \frac{200}{π \times 3^{2}}$

$h \approx 7 cm$ .

▶ 4. a) La courbe représentant l'évolution du volume du verre B est en dessous de celle qui représente l'évolution du volume du verre A.

Le restaurateur aura intérêt à choisir le verre B pour servir le plus grand nombre de verres.

b) Pour une hauteur de 8 cm :

V_verre A = π × 3² × 8 = 72π cm³.

rappel

1 L = 1 000 cm³.

Or 1 L = 1 000 cm³et $\frac{1 000}{72 π} \approx$ 4,4 verres.

Conclusion : avec 1 L de jus de fruits, le restaurateur pourra servir au plus 4 verres A.

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