On définit les suites (un) et (vn) par u0 = v0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 3vn et vn+1 = 2un + vn.

On admet que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A : Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l’aide d’un tableur.

Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

▶ 1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?

▶ 2. Soit n un entier naturel. Conjecturer la valeur de PGCD(un ; vn). Aucune justification n’est demandée.

▶ 3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Flore obtient les résultats suivants :

Elle émet la conjecture : « la suite $\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ converge ». Qu’en penser ?

Partie B : Étude arithmétique

▶ 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 2un − 3vn = (− 1)n+1.

▶ 2. Soit n un entier naturel.

Déduire de la question précédente la valeur de PGCD(un ; vn).

Partie C : Étude matricielle

Pour tout entier naturel n, on définit :

la matrice colonne $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)$,

les matrices carrées $P=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& 2\end{array}\right)$ et $Q_n=\left(\begin{array}{cc}{(-1)}^n& 3\times 2^{2n}\\ {(-1)}^{n+1}& 2^{2n+1}\end{array}\right)$.

▶ 1. a) Montrer que la matrice $\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 1\end{array}\right)$ est l’inverse de P.

b) On admet que, pour tout entier naturel n, on a $X_n=Q_n{P}^{-1}{X}_0$.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : $\{\begin{array}{l}{u}_n=\frac{{(-1)}^{n+1}+3\times 2^{2n+1}}{5}\\ v_n=\frac{{(-1)}^n+2^{2n+2}}{5}.\end{array}$

▶ 2. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, on a $\frac{u_n}{v_n}=\frac{\frac{{(-1)}^{n+1}}{2^{2n+1}}+3}{\frac{{(-1)}^n}{2^{2n+1}}+2}$.

b) En déduire la limite de la suite $\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$.