Matrices et applications
Ens. de spécialité
matT_1704_12_12C
46
Pondichéry • Avril 2017
Exercice 4 • 5 points • ⏱ 1 h
Liens entre deux suites
Les thèmes clés
Suites • Matrices • Arithmétique
On définit les suites (un) et (vn) par u0 = v0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 3vn et vn+1 = 2un + vn.
On admet que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.
Partie A : Conjectures
Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur.
Une copie d'écran est donnée ci-dessous.
▶ 1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?
▶ 2. Soit n un entier naturel. Conjecturer la valeur de PGCD(un vn). Aucune justification n'est demandée.
▶ 3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Flore obtient les résultats suivants :
Elle émet la conjecture : « la suite converge ». Qu'en penser ?
Partie B : Étude arithmétique
▶ 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 2un − 3vn = (− 1)n+1.
▶ 2. Soit n un entier naturel.
Déduire de la question précédente la valeur de PGCD(un vn).
Partie C : Étude matricielle
Pour tout entier naturel n, on définit :
la matrice colonne ,
les matrices carrées et .
▶ 1. a) Montrer que la matrice est l'inverse de P.
b) On admet que, pour tout entier naturel n, on a .
Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a :
▶ 2. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, on a .
b) En déduire la limite de la suite .
Les clés du sujet
Partie C
▶ 1. a) Vérifiez que le produit de la matrice fournie par la matrice P donne la matrice identité d'ordre 2 et concluez.
Corrigé
partie A : Conjectures
▶ 1. Déterminer des formules pour les cellules d'un tableur
Pour tout entier naturel , nous avons la relation . Le contenu de la cellule B3 sera donc obtenu à l'aide du contenu des cellules B2 et C2 avec la formule : =2*B2+3*C2, recopiée vers le bas pour obtenir les termes de la suite.
Pour tout entier naturel , nous avons la relation . Le contenu de la cellule C3 sera donc obtenu à l'aide du contenu des cellules B2 et C2 avec la formule : =2*B2+C2, recopiée vers le bas pour obtenir les termes de la suite.
▶ 2. Émettre une conjecture sur la valeur d'un PGCD
Pour chaque rang affiché dans la feuille de tableur, les termes et affichés semblent être premiers entre eux. On peut donc conjecturer que .
▶ 3. Étudier une conjecture sur la limite d'une suite
La conjecture de Flore semble cohérente. La suite semble converger vers 1,5.
partie B : Étude arithmétique
▶ 1. Démontrer une égalité par récurrence E1
Soit la propriété : .
Initialisation : donc est vérifiée.
Hérédité : on suppose que est vraie pour un entier naturel :
(hypothèse de récurrence).
On démontre alors que est aussi vérifiée :
Conclusion : la propriété étant initialisée et héréditaire, elle est vraie : pour tout entier naturel , .
▶ 2. Déterminer la valeur d'un PGCD
notez bien
Soit , et des entiers relatifs avec . Si divise et , alors divise où et sont des entiers relatifs.
D'après la question précédente, pour tout entier naturel : . Les termes des suites et sont des entiers naturels d'après l'énoncé par conséquent, puisque divise et , il divise et donc .
On en déduit que, pour tout entier naturel n, .
partie C : Étude matricielle
▶ 1. a) Identifier l'inverse d'une matrice C5a • C5b
gagnez des points !
Pensez à vérifier vos résultats à la calculatrice.
Par conséquent, est inversible et .
b) Déterminer les formules explicites de deux suites C5a • C5b
gagnez des points !
Pensez à vérifier vos résultats à la calculatrice.
Pour tout entier naturel :
Or . Finalement, par identification, pour tout entier naturel , et
▶ 2. a) Vérifier une égalité
Pour tout entier naturel :
b) Déterminer la limite d'une suite E2c • E4d
notez bien
Si , alors .
On reprend l'expression de de la question précédente.
Pour tout entier naturel , .
Or et donc et .
Par produit et somme, .
Pour tout entier naturel , . Par conséquent, à l'aide du point précédent, nous obtenons, par produit et somme, .
Finalement, par quotient, .
La limite de est 1,5.