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Liens entre deux suites

Pondichéry • Avril 2017

Exercice 4 • 5 points • 1 h

Liens entre deux suites

Les thèmes clés

Suites • Matrices • Arithmétique

 

On définit les suites (un) et (vn) par u0 = v0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 3vn et vn+1 = 2un + vn.

On admet que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A : Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous.

matT_1704_12_01C_10

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?

2. Soit n un entier naturel. Conjecturer la valeur de PGCD(un  vn). Aucune justification n'est demandée.

3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Flore obtient les résultats suivants :

matT_1704_12_01C_11

Elle émet la conjecture : « la suite (unvn) converge ». Qu'en penser ?

Partie B : Étude arithmétique

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 2un − 3vn = (− 1)n+1.

2. Soit n un entier naturel.

Déduire de la question précédente la valeur de PGCD(un  vn).

Partie C : Étude matricielle

Pour tout entier naturel n, on définit :

la matrice colonne Xn=(unvn),

les matrices carrées P=(1312) et Qn=((1)n3×22n(1)n+122n+1).

1. a) Montrer que la matrice 15(2311) est l'inverse de P.

b) On admet que, pour tout entier naturel n, on a Xn=QnP1X0.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : {un=(1)n+1+3×22n+15vn=(1)n+22n+25.

2. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, on a unvn=(1)n+122n+1+3(1)n22n+1+2.

b) En déduire la limite de la suite (unvn).

Les clés du sujet

Partie C

1. a) Vérifiez que le produit de la matrice fournie par la matrice P donne la matrice identité d'ordre 2 et concluez.

Corrigé

partie A : Conjectures

▶ 1. Déterminer des formules pour les cellules d'un tableur

Pour tout entier naturel n, nous avons la relation un+1=2un+3vn. Le contenu de la cellule B3 sera donc obtenu à l'aide du contenu des cellules B2 et C2 avec la formule : =2*B2+3*C2, recopiée vers le bas pour obtenir les termes de la suite.

Pour tout entier naturel n, nous avons la relation vn+1=2un+vn. Le contenu de la cellule C3 sera donc obtenu à l'aide du contenu des cellules B2 et C2 avec la formule : =2*B2+C2, recopiée vers le bas pour obtenir les termes de la suite.

2. Émettre une conjecture sur la valeur d'un PGCD

Pour chaque rang n affiché dans la feuille de tableur, les termes un et vn affichés semblent être premiers entre eux. On peut donc conjecturer que PGCD(unvn)=1.

3. Étudier une conjecture sur la limite d'une suite

u10v10=12582918388611,49999940395

u11v11=503316533554431,50000014901

u12v12=20132659134217731,49999996275

u13v13=80530637536870911,50000000931

La conjecture de Flore semble cohérente. La suite (unvn) semble converger vers 1,5.

partie B : Étude arithmétique

1. Démontrer une égalité par récurrence  E1 

Soit P(n) la propriété : 2un3vn=(1)n+1.

Initialisation : 2u03v0=2×13×1=1=(1)0+1 donc P(0) est vérifiée.

Hérédité : on suppose que P(k) est vraie pour un entier naturel k :

2uk3vk=(1)k+1 (hypothèse de récurrence).

On démontre alors que P(k+1) est aussi vérifiée :

2uk+13vk+1=2×(2uk+3vk)3×(2uk+vk)=2uk+3vk=(2uk3vk)=(1)k+1hypothèse de récurrence=(1)k+2.

Conclusion : la propriété P(n) étant initialisée et héréditaire, elle est vraie : pour tout entier naturel n, 2un3vn=(1)n+1.

2. Déterminer la valeur d'un PGCD

notez bien

Soit a, b et c des entiers relatifs avec c0. Si c divise a et b, alors c divise au+bvu et v sont des entiers relatifs.

D'après la question précédente, pour tout entier naturel n : 2un3vn=(1)n+1. Les termes des suites (un) et (un) sont des entiers naturels d'après l'énoncé  par conséquent, puisque PGCD(unvn) divise un et vn, il divise 2un3vn et donc (1)n+1.

On en déduit que, pour tout entier naturel n, PGCD(unvn)=1.

partie C : Étude matricielle

1. a) Identifier l'inverse d'une matrice  C5a • C5b 

gagnez des points !

Pensez à vérifier vos résultats à la calculatrice.

15×(2311)×P=15×(2311)×(1312)=15×(2×1+(3)×(1)2×3+(3)×21×1+1×(1)1×3+1×2)=15×(5005)=(1001).

Par conséquent, P est inversible et P1=15(2311).

b) Déterminer les formules explicites de deux suites  C5a • C5b 

gagnez des points !

Pensez à vérifier vos résultats à la calculatrice.

P1×X0=15×(2311)×(11)=15×(2×1+(3)×11×1+1×1)=15×(12)=(1/52/5).

Pour tout entier naturel n :

Xn=QnP1X0=((1)n3×22n(1)n+122n+1)×(1/52/5)=((1)n×(1)+3×22n×25(1)n+1×(1)+22n+1×25)=((1)n+1+3×22n+15(1)n×(1)2+22n+25)=((1)n+1+3×22n+15(1)n+22n+25).

Or Xn=(unvn). Finalement, par identification, pour tout entier naturel n, un=(1)n+1+3×22n+15 et vn=(1)n+22n+25.

2. a) Vérifier une égalité

Pour tout entier naturel n :

unvn=(1)n+1+3×22n+15(1)n+22n+25=(1)n+1+3×22n+1(1)n+22n+2=22n+1×[(1)n+122n+1+3]22n+1×[(1)n22n+1+2]=(1)n+122n+1+3(1)n22n+1+2.

b) Déterminer la limite d'une suite  E2c • E4d 

notez bien

Si 1q1, alors limn+qn=0.

On reprend l'expression de unvn de la question précédente.

Pour tout entier naturel n, (1)n+122n+1=(1)n+12n+1×12n=(12)n+1×(12)n.

Or 1121 et 1121 donc limn+(12)n+1=0 et limn+(12)n=0.

Par produit et somme, limn+(1)n+122n+1+3=3.

Pour tout entier naturel n, (1)n22n+1=(1)n×(1)222n+1=(1)n+122n+1. Par conséquent, à l'aide du point précédent, nous obtenons, par produit et somme, limn+(1)n22n+1+2=2.

Finalement, par quotient, limn+unvn=32=1,5.

La limite de (unvn) est 1,5.

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