Matrices et applications

Ens. de spécialité

matT_1704_12_12C

Pondichéry • Avril 2017

Exercice 4 • 5 points • ⏱ 1 h

Liens entre deux suites

Les thèmes clés

Suites • Matrices • Arithmétique

On définit les suites (un) et (vn) par u0 = v0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 3vn et vn+1 = 2un + vn.

On admet que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A : Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous.

matT_1704_12_01C_10

▶ 1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?

▶ 2. Soit n un entier naturel. Conjecturer la valeur de PGCD(un vn). Aucune justification n'est demandée.

▶ 3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Flore obtient les résultats suivants :

matT_1704_12_01C_11

Elle émet la conjecture : « la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ converge ». Qu'en penser ?

Partie B : Étude arithmétique

▶ 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 2un − 3vn = (− 1)n+1.

▶ 2. Soit n un entier naturel.

Déduire de la question précédente la valeur de PGCD(un vn).

Partie C : Étude matricielle

Pour tout entier naturel n, on définit :

la matrice colonne $X_{n} = (\begin{matrix} u_{n} \\ v_{n} \end{matrix})$ ,

les matrices carrées $P = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{matrix})$ et $Q_{n} = (\begin{matrix} {(- 1)}^{n} & 3 \times 2^{2 n} \\ {(- 1)}^{n + 1} & 2^{2 n + 1} \end{matrix})$ .

▶ 1. a) Montrer que la matrice $\frac{1}{5} (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ est l'inverse de P.

b) On admet que, pour tout entier naturel n, on a $X_{n} = Q_{n} P^{- 1} X_{0}$ .

Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : ${\begin{cases} u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1} + 3 \times 2^{2 n + 1}}{5} \\ v_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} + 2^{2 n + 2}}{5} . \end{cases}$

▶ 2. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, on a $\frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{2 n + 1}} + 3}{\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{2 n + 1}} + 2}$ .

b) En déduire la limite de la suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ .

Les clés du sujet

Partie C

▶ 1. a) Vérifiez que le produit de la matrice fournie par la matrice P donne la matrice identité d'ordre 2 et concluez.

Corrigé

partie A : Conjectures

▶ 1. Déterminer des formules pour les cellules d'un tableur

Pour tout entier naturel $n$ , nous avons la relation $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3 v_{n}$ . Le contenu de la cellule B3 sera donc obtenu à l'aide du contenu des cellules B2 et C2 avec la formule : =2*B2+3*C2, recopiée vers le bas pour obtenir les termes de la suite.

Pour tout entier naturel $n$ , nous avons la relation $v_{n + 1} = 2 u_{n} + v_{n}$ . Le contenu de la cellule C3 sera donc obtenu à l'aide du contenu des cellules B2 et C2 avec la formule : =2*B2+C2, recopiée vers le bas pour obtenir les termes de la suite.

▶ 2. Émettre une conjecture sur la valeur d'un PGCD

Pour chaque rang $n$ affiché dans la feuille de tableur, les termes $u_{n}$ et $v_{n}$ affichés semblent être premiers entre eux. On peut donc conjecturer que $PGCD (u_{n} v_{n}) = 1$ .

▶ 3. Étudier une conjecture sur la limite d'une suite

$\frac{u_{10}}{v_{10}} = \frac{1 258 291}{838 861} \approx 1,499 999 403 95$

$\frac{u_{11}}{v_{11}} = \frac{5 033 165}{3 355 443} \approx 1,500 000 149 01$

$\frac{u_{12}}{v_{12}} = \frac{20 132 659}{13 421 773} \approx 1,499 999 962 75$

$\frac{u_{13}}{v_{13}} = \frac{80 530 637}{53 687 091} \approx 1,500 000 009 31$

La conjecture de Flore semble cohérente. La suite $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ semble converger vers 1,5.

partie B : Étude arithmétique

▶ 1. Démontrer une égalité par récurrence E1

Soit $P (n)$ la propriété : $2 u_{n} - 3 v_{n} = {(- 1)}^{n + 1}$ .

Initialisation : $2 u_{0} - 3 v_{0} = 2 \times 1 - 3 \times 1 = - 1 = {(- 1)}^{0 + 1}$ donc $P (0)$ est vérifiée.

Hérédité : on suppose que $P (k)$ est vraie pour un entier naturel $k$ :

$2 u_{k} - 3 v_{k} = {(- 1)}^{k + 1}$ (hypothèse de récurrence).

On démontre alors que $P (k + 1)$ est aussi vérifiée :

$\begin{matrix} 2 u_{k + 1} - 3 v_{k + 1} = 2 \times (2 u_{k} + 3 v_{k}) - 3 \times (2 u_{k} + v_{k}) \\ = - 2 u_{k} + 3 v_{k} \\ = \underset{hypothèse de récurrence}{\underset{︸}{- (2 u_{k} - 3 v_{k}) = - {(- 1)}^{k + 1}}} = {(- 1)}_{k + 2} . \end{matrix}$

Conclusion : la propriété $P (n)$ étant initialisée et héréditaire, elle est vraie : pour tout entier naturel $n$ , $2 u_{n} - 3 v_{n} = {(- 1)}^{n + 1}$ .

▶ 2. Déterminer la valeur d'un PGCD

notez bien

Soit $a$ , $b$ et $c$ des entiers relatifs avec $c \neq 0$ . Si $c$ divise $a$ et $b$ , alors $c$ divise $a u + b v$ où $u$ et $v$ sont des entiers relatifs.

D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ : $2 u_{n} - 3 v_{n} = {(- 1)}^{n + 1}$ . Les termes des suites $(u_{n})$ et $(u_{n})$ sont des entiers naturels d'après l'énoncé par conséquent, puisque $PGCD (u_{n} v_{n})$ divise $u_{n}$ et $v_{n}$ , il divise $2 u_{n} - 3 v_{n}$ et donc ${(- 1)}^{n + 1}$ .

On en déduit que, pour tout entier naturel n, $PGCD (u_{n} v_{n}) = 1$ .

partie C : Étude matricielle

▶ 1. a) Identifier l'inverse d'une matrice C5a • C5b

gagnez des points !

Pensez à vérifier vos résultats à la calculatrice.

$\begin{matrix} \frac{1}{5} \times (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \times P = \frac{1}{5} \times (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{5} \times (\begin{matrix} 2 \times 1 + (- 3) \times (- 1) & 2 \times 3 + (- 3) \times 2 \\ 1 \times 1 + 1 \times (- 1) & 1 \times 3 + 1 \times 2 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{5} \times (\begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) . \end{matrix}$

Par conséquent, $P$ est inversible et $P^{- 1} = \frac{1}{5} (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ .

b) Déterminer les formules explicites de deux suites C5a • C5b

gagnez des points !

Pensez à vérifier vos résultats à la calculatrice.

$\begin{matrix} P^{- 1} \times X_{0} = \frac{1}{5} \times (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{5} \times (\begin{matrix} 2 \times 1 + (- 3) \times 1 \\ 1 \times 1 + 1 \times 1 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{5} \times (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 / 5 \\ 2 / 5 \end{matrix}) . \end{matrix}$

Pour tout entier naturel $n$ :

$\begin{matrix} X_{n} = Q_{n} P^{- 1} X_{0} = (\begin{matrix} {(- 1)}^{n} & 3 \times 2^{2 n} \\ {(- 1)}^{n + 1} & 2^{2 n + 1} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 1 / 5 \\ 2 / 5 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} \frac{{(- 1)}^{n} \times (- 1) + 3 \times 2^{2 n} \times 2}{5} \\ \frac{{(- 1)}^{n + 1} \times (- 1) + 2^{2 n + 1} \times 2}{5} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} \frac{{(- 1)}^{n + 1} + 3 \times 2^{2 n + 1}}{5} \\ \frac{{(- 1)}^{n} \times {(- 1)}^{2} + 2^{2 n + 2}}{5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{{(- 1)}^{n + 1} + 3 \times 2^{2 n + 1}}{5} \\ \frac{{(- 1)}^{n} + 2^{2 n + 2}}{5} \end{matrix}) . \end{matrix}$

Or $X_{n} = (\begin{matrix} u_{n} \\ v_{n} \end{matrix})$ . Finalement, par identification, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1} + 3 \times 2^{2 n + 1}}{5}$ et $v_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} + 2^{2 n + 2}}{5} .$

▶ 2. a) Vérifier une égalité

Pour tout entier naturel $n$ :

$\begin{matrix} \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{\frac{{(- 1)}^{n + 1} + 3 \times 2^{2 n + 1}}{5}}{\frac{{(- 1)}^{n} + 2^{2 n + 2}}{5}} = \frac{{(- 1)}^{n + 1} + 3 \times 2^{2 n + 1}}{{(- 1)}^{n} + 2^{2 n + 2}} \\ = \frac{2^{2 n + 1} \times [\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{2 n + 1}} + 3]}{2^{2 n + 1} \times [\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{2 n + 1}} + 2]} = \frac{\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{2 n + 1}} + 3}{\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{2 n + 1}} + 2} . \end{matrix}$

b) Déterminer la limite d'une suite E2c • E4d

notez bien

Si $- 1 q1$ , alors $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$ .

On reprend l'expression de $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ de la question précédente.

Pour tout entier naturel $n$ , $\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{2 n + 1}} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{n + 1}} \times \frac{1}{2^{n}} = {(- \frac{1}{2})}^{n + 1} \times {(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Or $- 1 -\frac{1}{2}1$ et $- 1 \frac{1}{2}1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {(- \frac{1}{2})}^{n + 1} = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} {(\frac{1}{2})}^{n} = 0$ .

Par produit et somme, $\lim_{n \to + \infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{2 n + 1}} + 3 = 3$ .

Pour tout entier naturel $n$ , $\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{2 n + 1}} = \frac{{(- 1)}^{n} \times {(- 1)}^{2}}{2^{2 n + 1}} = - \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{2 n + 1}}$ . Par conséquent, à l'aide du point précédent, nous obtenons, par produit et somme, $\lim_{n \to + \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{2 n + 1}} + 2 = 2$ .

Finalement, par quotient, $\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{3}{2} = 1,5$ .

La limite de $(\frac{u_{n}}{v_{n}})$ est 1,5.