Liens entre deux suites

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2017

Exercice 4 • 5 points • 1 h

Liens entre deux suites

Les thèmes clés

Suites • Matrices • Arithmétique

 

On définit les suites (un) et (vn) par u0 = v0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 3vn et vn+1 = 2un + vn.

On admet que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A : Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l’aide d’un tableur.

Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

matT_1704_12_01C_10

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?

2. Soit n un entier naturel. Conjecturer la valeur de PGCD(un ; vn). Aucune justification n’est demandée.

3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Flore obtient les résultats suivants :

matT_1704_12_01C_11

Elle émet la conjecture : « la suite (unvn) converge ». Qu’en penser ?

Partie B : Étude arithmétique

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 2un − 3vn = (− 1)n+1.

2. Soit n un entier naturel.

Déduire de la question précédente la valeur de PGCD(un ; vn).

Partie C : Étude matricielle

Pour tout entier naturel n, on définit :

la matrice colonne Xn=(unvn),

les matrices carrées P=(1312) et Qn=((1)n3×22n(1)n+122n+1).

1. a) Montrer que la matrice 15(2311) est l’inverse de P.

b) On admet que, pour tout entier naturel n, on a Xn=QnP1X0.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : {un=(1)n+1+3×22n+15vn=(1)n+22n+25.

2. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, on a unvn=(1)n+122n+1+3(1)n22n+1+2.

b) En déduire la limite de la suite (unvn).

Les clés du sujet

Partie C

1. a) Vérifiez que le produit de la matrice fournie par la matrice P donne la matrice identité d’ordre 2 et concluez.