Liens entre sites Internet et transmission d'un virus

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry

 

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Pondichéry • Avril 2015

Exercice 2 • 5 points

Liens entre sites Internet et transmission d’un virus

Les sites internet A, B, C ont des liens entre eux. Un internaute connecté sur un de ces trois sites peut, à toutes les minutes, soit y rester, soit utiliser un lien vers un des deux autres sites.

Pour un internaute connecté sur le site A, la probabilité d’utiliser le lien vers B est de 0,2 et celle d’utiliser le lien vers C est de 0,2.

Pour un internaute connecté sur le site B, la probabilité d’utiliser le lien vers A est de 0,1 et celle d’utiliser le lien vers C est de 0,4.

Pour un internaute connecté sur le site C, la probabilité d’utiliser le lien vers A est de 0,2, mais il n’y a pas de lien direct avec B.

L’unité de temps est la minute, et, à un instant t = 0, le nombre de visiteurs est, respectivement sur les sites A, B et C : 100, 0 et 0.

On représente la distribution des internautes sur les trois sites après t minutes par une matrice 4555019-Eqn30 ; ainsi 4555019-Eqn31.

On suppose qu’il n’y a ni déconnexion pendant l’heure (de t = 0 à t = 60) ni nouveaux internautes visiteurs.

▶ 1. Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant à la situation décrite. (0,5 point)

▶ 2. Écrire la matrice M de transition associée à ce graphe (dans l’ordre A, B, C). (0,5 point)

▶ 3. On donne :

4555019-Eqn32

Calculer 4555019-Eqn33. Interpréter le résultat obtenu. (1 point)

▶ 4. Calculer 4555019-Eqn34. Conjecturer la valeur de l’état stable et interpréter la réponse. (1,5 point)

▶ 5. Un des internautes transmet un virus à tout site qu’il visitera.

Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation.

À l’instant t = 0, le site C est donc infecté.

a) Quelle est la probabilité qu’à l’instant = 1, le site A soit infecté ? (0,5 point)

b) Quelle est la probabilité qu’à l’instant t = 2, les trois sites soient infectés ? (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Matrice • Graphe probabiliste.

Les conseils du correcteur

> 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

> 3. D’après le cours, pour tout entier naturel non nul 4555019-Eqn65, 4555019-Eqn66.

> 4. L’état probabiliste stable est associé à l’unique matrice ligne 4555019-Eqn67 dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que 4555019-Eqn68.