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Pondichéry • Avril 2015
Exercice 2 • 5 points
Liens entre sites Internet et transmission d’un virus
Les sites internet A, B, C ont des liens entre eux. Un internaute connecté sur un de ces trois sites peut, à toutes les minutes, soit y rester, soit utiliser un lien vers un des deux autres sites.
Pour un internaute connecté sur le site A, la probabilité d’utiliser le lien vers B est de 0,2 et celle d’utiliser le lien vers C est de 0,2.
Pour un internaute connecté sur le site B, la probabilité d’utiliser le lien vers A est de 0,1 et celle d’utiliser le lien vers C est de 0,4.
Pour un internaute connecté sur le site C, la probabilité d’utiliser le lien vers A est de 0,2, mais il n’y a pas de lien direct avec B.
L’unité de temps est la minute, et, à un instant t = 0, le nombre de visiteurs est, respectivement sur les sites A, B et C : 100, 0 et 0.
On représente la distribution des internautes sur les trois sites après t minutes par une matrice 
; ainsi 
.
On suppose qu’il n’y a ni déconnexion pendant l’heure (de t = 0 à t = 60) ni nouveaux internautes visiteurs.
▶ 1. Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant à la situation décrite. (0,5 point)
▶ 2. Écrire la matrice M de transition associée à ce graphe (dans l’ordre A, B, C). (0,5 point)
▶ 3. On donne :
Calculer 
. Interpréter le résultat obtenu. (1 point)
▶ 4. Calculer 
. Conjecturer la valeur de l’état stable et interpréter la réponse. (1,5 point)
▶ 5. Un des internautes transmet un virus à tout site qu’il visitera.
Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation.
À l’instant t = 0, le site C est donc infecté.
a) Quelle est la probabilité qu’à l’instant t = 1, le site A soit infecté ? (0,5 point)
b) Quelle est la probabilité qu’à l’instant t = 2, les trois sites soient infectés ? (1 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Matrice • Graphe probabiliste.
Les conseils du correcteur
> 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.
> 3. D’après le cours, pour tout entier naturel non nul 
, 
.
> 4. L’état probabiliste stable est associé à l’unique matrice ligne 
dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que 
.
Corrigé
▶ 1. Représenter une situation donnée par un graphe probabiliste
La situation décrite peut être représentée par le graphe suivant :
▶ 2. Donner la matrice de transition associée à un graphe probabiliste
Notez bien
Lorsqu’un état probabiliste est représenté par une matrice ligne, la matrice de transition associée à un graphe probabiliste est une matrice carrée dont la somme des coefficients d’une ligne est égale à 1.
La matrice M de transition associée au graphe précédent, avec les sommets dans l’ordre A, B, C, est :
▶ 3. Déterminer une répartition d’une population à un instant donné
et 
, donc :
On en déduit que, après 2 minutes, il y a 42 internautes sur le site A, 22 internautes sur le site B et 36 sur le site C.
▶ 4. Conjecturer et interpréter un état stable
Notez bien
On peut vérifier que 
et que la somme des coefficients de 
est égale à 100.
.
On conjecture que l’état stable est donné par la matrice 
.
Cela signifie qu’à long terme, 31,25 % des internautes seront sur le site A, 12,5 % sur le site B et 56,25 % sur le site C.
▶ 5. a) Déterminer la probabilité d’un événement
Le site A est infecté à l’instant t = 1 si et seulement si l’internaute, initialement connecté sur le site C, utilise le lien vers A. D’après l’énoncé, la probabilité de cet événement est 0,2.
b) Expliciter un événement et calculer sa probabilité
Les trois sites sont infectés à l’instant t = 2 si et seulement si l’internaute, initialement connecté sur le site C, a ensuite visité successivement les deux autres sites aux instants 
et 
.
Comme il n’existe pas de lien direct du site C vers le site B, l’internaute a d’abord utilisé le lien de C vers A, puis le lien de A vers B.
D’après l’énoncé, la probabilité de cet événement est 
, c’est-à-dire 0,04.