Liens entre sites Internet et transmission d'un virus

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry

 

35

Pondichéry • Avril 2015

Exercice 2 • 5 points

Liens entre sites Internet et transmission d’un virus

Les sites internet A, B, C ont des liens entre eux. Un internaute connecté sur un de ces trois sites peut, à toutes les minutes, soit y rester, soit utiliser un lien vers un des deux autres sites.

Pour un internaute connecté sur le site A, la probabilité d’utiliser le lien vers B est de 0,2 et celle d’utiliser le lien vers C est de 0,2.

Pour un internaute connecté sur le site B, la probabilité d’utiliser le lien vers A est de 0,1 et celle d’utiliser le lien vers C est de 0,4.

Pour un internaute connecté sur le site C, la probabilité d’utiliser le lien vers A est de 0,2, mais il n’y a pas de lien direct avec B.

L’unité de temps est la minute, et, à un instant t = 0, le nombre de visiteurs est, respectivement sur les sites A, B et C : 100, 0 et 0.

On représente la distribution des internautes sur les trois sites après t minutes par une matrice 4555019-Eqn30 ; ainsi 4555019-Eqn31.

On suppose qu’il n’y a ni déconnexion pendant l’heure (de t = 0 à t = 60) ni nouveaux internautes visiteurs.

▶ 1. Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant à la situation décrite. (0,5 point)

▶ 2. Écrire la matrice M de transition associée à ce graphe (dans l’ordre A, B, C). (0,5 point)

▶ 3. On donne :

4555019-Eqn32

Calculer 4555019-Eqn33. Interpréter le résultat obtenu. (1 point)

▶ 4. Calculer 4555019-Eqn34. Conjecturer la valeur de l’état stable et interpréter la réponse. (1,5 point)

▶ 5. Un des internautes transmet un virus à tout site qu’il visitera.

Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation.

À l’instant t = 0, le site C est donc infecté.

a) Quelle est la probabilité qu’à l’instant = 1, le site A soit infecté ? (0,5 point)

b) Quelle est la probabilité qu’à l’instant t = 2, les trois sites soient infectés ? (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Matrice • Graphe probabiliste.

Les conseils du correcteur

> 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

> 3. D’après le cours, pour tout entier naturel non nul 4555019-Eqn65, 4555019-Eqn66.

> 4. L’état probabiliste stable est associé à l’unique matrice ligne 4555019-Eqn67 dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que 4555019-Eqn68.

Corrigé

Corrigé

▶ 1. Représenter une situation donnée par un graphe probabiliste

La situation décrite peut être représentée par le graphe suivant :

matT_1504_12_00C_03

▶ 2. Donner la matrice de transition associée à un graphe probabiliste

Notez bien

Lorsqu’un état probabiliste est représenté par une matrice ligne, la matrice de transition associée à un graphe probabiliste est une matrice carrée dont la somme des coefficients d’une ligne est égale à 1.

La matrice M de transition associée au graphe précédent, avec les sommets dans l’ordre A, B, C, est :

4555019-Eqn152

▶ 3. Déterminer une répartition d’une population à un instant donné

4555019-Eqn153 et 4555019-Eqn154, donc :

4555019-Eqn155

4555019-Eqn156

4555019-Eqn157

On en déduit que, après 2 minutes, il y a 42 internautes sur le site A, 22 internautes sur le site B et 36 sur le site C.

▶ 4. Conjecturer et interpréter un état stable

Notez bien

On peut vérifier que 4555019-Eqn158 et que la somme des coefficients de 4555019-Eqn159 est égale à 100.

4555019-Eqn160

4555019-Eqn161.

On conjecture que l’état stable est donné par la matrice 4555019-Eqn162.

Cela signifie qu’à long terme, 31,25 % des internautes seront sur le site A, 12,5 % sur le site B et 56,25 % sur le site C.

▶ 5. a) Déterminer la probabilité d’un événement

Le site A est infecté à l’instant = 1 si et seulement si l’internaute, initialement connecté sur le site C, utilise le lien vers A. D’après l’énoncé, la probabilité de cet événement est 0,2.

b) Expliciter un événement et calculer sa probabilité

Les trois sites sont infectés à l’instant t = 2 si et seulement si l’internaute, initialement connecté sur le site C, a ensuite visité successivement les deux autres sites aux instants 4555019-Eqn163 et 4555019-Eqn164.

Comme il n’existe pas de lien direct du site C vers le site B, l’internaute a d’abord utilisé le lien de C vers A, puis le lien de A vers B.

D’après l’énoncé, la probabilité de cet événement est 4555019-Eqn165, c’est-à-dire 0,04.