Les sites internet A, B, C ont des liens entre eux. Un internaute connecté sur un de ces trois sites peut, à toutes les minutes, soit y rester, soit utiliser un lien vers un des deux autres sites.

Pour un internaute connecté sur le site A, la probabilité d’utiliser le lien vers B est de 0,2 et celle d’utiliser le lien vers C est de 0,2.

Pour un internaute connecté sur le site B, la probabilité d’utiliser le lien vers A est de 0,1 et celle d’utiliser le lien vers C est de 0,4.

Pour un internaute connecté sur le site C, la probabilité d’utiliser le lien vers A est de 0,2, mais il n’y a pas de lien direct avec B.

L’unité de temps est la minute, et, à un instant t = 0, le nombre de visiteurs est, respectivement sur les sites A, B et C : 100, 0 et 0.

On représente la distribution des internautes sur les trois sites après t minutes par une matrice  ; ainsi .

On suppose qu’il n’y a ni déconnexion pendant l’heure (de t = 0 à t = 60) ni nouveaux internautes visiteurs.

▶ 1. Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant à la situation décrite. (0,5 point)

▶ 2. Écrire la matrice M de transition associée à ce graphe (dans l’ordre A, B, C). (0,5 point)

▶ 3. On donne :

Calculer . Interpréter le résultat obtenu. (1 point)

▶ 4. Calculer . Conjecturer la valeur de l’état stable et interpréter la réponse. (1,5 point)

▶ 5. Un des internautes transmet un virus à tout site qu’il visitera.

Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation.

À l’instant t = 0, le site C est donc infecté.

a) Quelle est la probabilité qu’à l’instant t = 1, le site A soit infecté ? (0,5 point)

b) Quelle est la probabilité qu’à l’instant t = 2, les trois sites soient infectés ? (1 point)