Limites de fonctions

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Limites de fonctions

Premier exercice de type Bac – Recherche de limites

On considère la fonction f définie sur l’intervalle 12,+ par f(x)=2x3+92x+1.

Soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i, j) (unités graphiques : 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée).

1. a. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f.

Montrer que, pour tout x de 12,+, f(x)=8(x+2)(x1)(2x+1)2.

b. En déduire le sens de variation de f sur 12,+.

2. a. Déterminer la limite de f en 12 et en + . Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

b. Compléter le tableau de variation en y portant ces limites.

3. a. Montrer que la droite D d’équation y = 2x – 3 est une asymptote de C.

b. Étudier la position de C par rapport à D lorsque x varie dans 12,+.

c. Précisez l’équation de l’autre asymptote de C.

4. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées éventuelles sont à arrondir à 10–2.

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_22

5. Tracer la courbe C et ses asymptotes dans le repère donné.

6. On considère l’équation f(x) = 10, où l’inconnue x appartient à 12,+.

Déterminer graphiquement le nombre et le signe des solutions de cette équation.

Corrigé

1. a. Pour tout nombre réel x de 12,+, f(x)=29×2(2x+1)2 ; f(x)=219(2x+1)2 ; f(x)=2(2x+1)232(2x+1)2 ; f(x)=2(2x2)(2x+4)(2x+1)2 ;f(x)=8(x1)(x+2)(2x+1)2.

Pour calculer f'(x), utiliser les résultats de 1re STID sur la dérivation rappelés au paragraphe du chapitre 3.

b. Pour tout x de 12,+, x+2(2x+1)2>0 ;
donc f′(x) a même signe que x – 1 sur 12,+.

Sur 12,+, x – 1 ≥ 0 est équivalent à x ≥ 1. D’où le signe de f′(x) est donné par :

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_21

11515_Math_351.

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_20

2. a. limx+2x=+ et limx+3+92x+1=3, d’où : limx+f(x)=+.

limx12(2x+1)=0 et 2x + 1 > 0 (puisque x>12) d’où limx1212x+1=+,

• On utilise le théorème 1 du paragraphe .

• On utilise le premier résultat du paragraphe .

d’où limx1292x+1=+.

De limx12(2x3)=4 et limx1292x+1=+, on déduit que : limx12f(x)=+.

On en déduit que la droite d’équation x = 12 est asymptote verticale de la courbe C.

b. On complète le tableau de variation avec les limites obtenues.

3. a. Pour tout nombre réel x de I, f(x)=2x3+92x+1 et limx+92x+1=0 ; la droite D1 d’équation y = 2x – 3 est donc une asymptote oblique de C.

b. Pour tout x de I, f(x)(2x3)=92x+1>0. Donc la courbe C est au-dessus de D1.

c. Puisque limx12f(x)=+, la droite D2 d’équation x=12 est asymptote verticale.

4. Avec la calculatrice, on remplit le tableau suivant.

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_19

5. 11515_Maths_04_08

6. Les solutions de l’équation f(x) = 10 sont, si elles existent, les abscisses des points communs à C et à la droite ∆ d’équation y = 10. Sur le graphique on lit que C et ∆ ont deux points d’intersection I1 et I2 d’abscisses α1 et α2. L’équation f(x) = 10 a donc deux solutions α1 ≈ – 0,2 < 0 et α2 ≈ 6,2 > 0.