Fonction exponentielle
ENS. SPÉCIFIQUE
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matT_1609_07_01C
France métropolitaine • Septembre 2016
Exercice 4 • 5 points • ⏱ 1 h
Livraison en parachute
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Calcul intégral • Compléments sur les fonctions
Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.
Partie 1
Soit v1 la fonction définie sur [0 + ∞[ par :
.
▶ 1. Déterminer le sens de variation de la fonction v1.
▶ 2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement.
On admet que t secondes après qu’il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m · s–1) est égale, avant d’atteindre le sol, à v1(t).
On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l’arrivée n’excède pas 6 m · s–1.
Le colis risque-t-il d’être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement ? Justifier.
Partie 2
On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.
On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m · s–1), t secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :
v2(t) = 32,7 (1 - e–0,3t).
▶ 1. Quelle est la vitesse, exprimée en m · s–1, atteinte par le colis au bout de 10 secondes ? Arrondir à 0,1 m · s–1.
▶ 2. Résoudre l’équation v2(t) = 30 m · s–1. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.
▶ 3. On sait que la chute du colis dure 20 secondes.
On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, T secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :
.
a) Montrer que, pour tout réel T de l’intervalle [0 20] :
d(T) = 109(e–0,3T + 0,3T - 1).
b) Déterminer une valeur approchée à 1 m près de la distance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol.
▶ 4. Déterminer un encadrement d’amplitude 0,1 s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de 700 mètres.
Les clés du sujet
Partie 1
▶ 2. Résolvez l’inéquation .
Partie 2
▶ 4. Identifiez l’équation à résoudre et pensez à utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour localiser la solution de cette équation dans un intervalle à préciser. Déterminez avec la méthode par balayage l’encadrement demandé de la solution identifiée.