Fonction exponentielle
ENS. SPÉCIFIQUE
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matT_1609_07_01C
France métropolitaine • Septembre 2016
Exercice 4 • 5 points • ⏱ 1 h
Livraison en parachute
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Calcul intégral • Compléments sur les fonctions
Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d'une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d'un parachute.
Partie 1
Soit v1 la fonction définie sur [0 + ∞[ par :
.
▶ 1. Déterminer le sens de variation de la fonction v1.
▶ 2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement.
On admet que t secondes après qu'il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m · s–1) est égale, avant d'atteindre le sol, à v1(t).
On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l'arrivée n'excède pas 6 m · s–1.
Le colis risque-t-il d'être endommagé lorsque le parachute s'ouvre correctement ? Justifier.
Partie 2
On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s'ouvre pas.
On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m · s–1), t secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :
v2(t) = 32,7 (1 - e–0,3t).
▶ 1. Quelle est la vitesse, exprimée en m · s–1, atteinte par le colis au bout de 10 secondes ? Arrondir à 0,1 m · s–1.
▶ 2. Résoudre l'équation v2(t) = 30 m · s–1. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.
▶ 3. On sait que la chute du colis dure 20 secondes.
On admet que la distance, en mètres, qui sépare l'hélicoptère du colis, T secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :
.
a) Montrer que, pour tout réel T de l'intervalle [0 20] :
d(T) = 109(e–0,3T + 0,3T - 1).
b) Déterminer une valeur approchée à 1 m près de la distance parcourue par le colis lorsqu'il atteint le sol.
▶ 4. Déterminer un encadrement d'amplitude 0,1 s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l'avait lâché d'une hauteur de 700 mètres.
Les clés du sujet
Partie 1
▶ 2. Résolvez l'inéquation .
Partie 2
▶ 4. Identifiez l'équation à résoudre et pensez à utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour localiser la solution de cette équation dans un intervalle à préciser. Déterminez avec la méthode par balayage l'encadrement demandé de la solution identifiée.
Corrigé
Partie 1
▶ 1. Déterminer le sens de variation d'une fonction E6c • E6e • E6f
Les fonctions et sont dérivables sur comme composées et sommes de fonctions dérivables sur . De plus, la fonction ne s'annule pas sur . Par conséquent, la fonction est dérivable sur et, par suite, la fonction est également dérivable sur .
À retenir
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction est dérivable sur I et .
Pour tout réel :
Comme et , nous obtenons : .
La fonction est donc strictement croissante sur .
▶ 2. Résoudre une inéquation E8e
Pour déterminer si le colis risque d'être endommagé si le parachute s'ouvre correctement, nous devons résoudre l'inéquation .
Pour tout réel :
Cette dernière inégalité est vraie pour tout réel .
Nous pouvons donc conclure que, si le parachute s'ouvre correctement, le colis ne sera pas endommagé.
Partie 2
▶ 1. Calculer une image
Nous avons, pour : .
La vitesse atteinte par le colis au bout de 10 secondes est d'environ .
▶ 2. Résoudre une équation E9a • E9b • E9e
Nous avons :
Comme , nous pouvons conclure que, dans le cas où le parachute ne s'ouvre pas, la vitesse du colis avant qu'il n'atteigne le sol sera de environ 8 secondes après avoir été lâché par le passager.
▶ 3. a) Calculer une intégrale E11b • E11c • E11d • E13
Pour tout réel , la fonction est continue sur comme produit de fonctions continues sur . La fonction admet donc des primitives sur .
Notez bien
Pour tout réel , une primitive sur ℝ de la fonction est la fonction .
Une primitive de sur est la fonction .
Nous pouvons donc en déduire que :
Ainsi, pour tout réel ,
b) Calculer une image
Nous avons, pour : .
Lorsque le colis atteint le sol au bout de 20 secondes, il a parcouru une distance qui est approximativement de 545 mètres.
▶ 4. Déterminer un encadrement E6c • E7b • E7c • E12
Pour déterminer le temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l'avait lâché d'une hauteur de 700 mètres, nous devons résoudre l'équation .
Puisque, pour tout , , la fonction est dérivable sur et . La fonction est ainsi continue sur .
De plus,
Par conséquent, pour tout , .
La fonction est donc strictement croissante sur .
Nous avons aussi et .
Nous constatons donc que 700 est compris entre et .
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous pouvons en déduire que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
Par balayage, nous obtenons :
24 | 676 |
25 | 709 |
|
24,7 | 699 |
24,8 | 702 |
|
Si on l'avait lâché d'une hauteur de 700 mètres, le colis aurait mis, pour atteindre le sol, un temps compris entre 24,7 et 24,8 secondes.