Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.

Partie 1

Soit v1 la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par :

$v_1(t)=5\times \frac{{\text{e}}^{\mathrm{0,3}t}-1}{{\text{e}}^{\mathrm{0,3}t}+1}$.

▶ 1. Déterminer le sens de variation de la fonction v1.

▶ 2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement.

On admet que t secondes après qu’il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m · s–1) est égale, avant d’atteindre le sol, à v1(t).

On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l’arrivée n’excède pas 6 m · s–1.

Le colis risque-t-il d’être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement ? Justifier.

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.

On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m · s–1), t secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :

v2(t) = 32,7 (1 - e–0,3t).

▶ 1. Quelle est la vitesse, exprimée en m · s–1, atteinte par le colis au bout de 10 secondes ? Arrondir à 0,1 m · s–1.

▶ 2. Résoudre l’équation v2(t) = 30 m · s–1. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.

▶ 3. On sait que la chute du colis dure 20 secondes.

On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, T secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :

$d(T)={\displaystyle {\int }_0^T{v}_2(t)\text{d}t}$.

a) Montrer que, pour tout réel T de l’intervalle [0 ; 20] :

d(T) = 109(e–0,3T + 0,3T - 1).

b) Déterminer une valeur approchée à 1 m près de la distance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol.

▶ 4. Déterminer un encadrement d’amplitude 0,1 s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de 700 mètres.