Fonction exponentielle

ENS. SPÉCIFIQUE

matT_1609_07_01C

France métropolitaine • Septembre 2016

Exercice 4 • 5 points • ⏱ 1 h

Livraison en parachute

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Calcul intégral • Compléments sur les fonctions

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.

Partie 1

Soit v1 la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par :

$v_{1} (t) = 5 \times \frac{e^{0,3 t} - 1}{e^{0,3 t} + 1}$ .

▶ 1. Déterminer le sens de variation de la fonction v1.

▶ 2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement.

On admet que t secondes après qu’il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m · s–1) est égale, avant d’atteindre le sol, à v1(t).

On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l’arrivée n’excède pas 6 m · s–1.

Le colis risque-t-il d’être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement ? Justifier.

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.

On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m · s–1), t secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :

v2(t) = 32,7 (1 - e–0,3t).

▶ 1. Quelle est la vitesse, exprimée en m · s–1, atteinte par le colis au bout de 10 secondes ? Arrondir à 0,1 m · s–1.

▶ 2. Résoudre l’équation v2(t) = 30 m · s–1. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.

▶ 3. On sait que la chute du colis dure 20 secondes.

On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, T secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :

$d (T) = \int_{0}^{T} v_{2} (t) d t$ .

a) Montrer que, pour tout réel T de l’intervalle [0 ; 20] :

d(T) = 109(e–0,3T + 0,3T - 1).

b) Déterminer une valeur approchée à 1 m près de la distance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol.

▶ 4. Déterminer un encadrement d’amplitude 0,1 s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de 700 mètres.

Les clés du sujet

Partie 1

▶ 2. Résolvez l’inéquation $v_{1} (t) \leq 6$ .

Partie 2

▶ 4. Identifiez l’équation à résoudre et pensez à utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour localiser la solution de cette équation dans un intervalle à préciser. Déterminez avec la méthode par balayage l’encadrement demandé de la solution identifiée.

Corrigé

Partie 1

▶ 1. Déterminer le sens de variation d’une fonction E6c • E6e • E6f

Les fonctions $t \mapsto e^{0,3 t} - 1$ et $t \mapsto e^{0,3 t} + 1$ sont dérivables sur $[0; + \infty [$ comme composées et sommes de fonctions dérivables sur $[0; + \infty [$ . De plus, la fonction $t \mapsto e^{0,3 t} + 1$ ne s’annule pas sur $[0; + \infty [$ . Par conséquent, la fonction $t \mapsto \frac{e^{0,3 t} - 1}{e^{0,3 t} + 1}$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ et, par suite, la fonction $v_{1} : t \mapsto 5 \times \frac{e^{0,3 t} - 1}{e^{0,3 t} + 1}$ est également dérivable sur $[0; + \infty [$ .

À retenir

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction $e^{u}$ est dérivable sur I et $(e^{u})^{'} = u^{'} \times e^{u}$ .

Pour tout réel $t \in [0; + \infty [$ :

$\begin{matrix} {v^{'}}_{1} (t) = 5 \times \frac{0,3 e^{0,3 t} (e^{0,3 t} + 1) - (e^{0,3 t} - 1) \times 0,3 e^{0,3 t}}{{(e^{0,3 t} + 1)}^{2}} \\ = 5 \times \frac{0,6 e^{0,3 t}}{{(e^{0,3 t} + 1)}^{2}} = \frac{3 e^{0,3 t}}{{(e^{0,3 t} + 1)}^{2}} . \end{matrix}$

Comme $3 e^{0,3 t} > 0$ et ${(e^{0,3 t} + 1)}^{2} > 0$ , nous obtenons : ${v^{'}}_{1} (t) > 0$ .

La fonction $v_{1}$ est donc strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .

▶ 2. Résoudre une inéquation E8e

Pour déterminer si le colis risque d’être endommagé si le parachute s’ouvre correctement, nous devons résoudre l’inéquation $v_{1} (t) \leq 6$ .

Pour tout réel $t \in [0; + \infty [$ :

$\begin{array}{l} v_{1} (t) \leq 6 \Leftrightarrow 5 \times \frac{e^{0,3 t} - 1}{e^{0,3 t} + 1} \leq 6 \Leftrightarrow 5 \times (e^{0,3 t} - 1) \leq 6 \times (e^{0,3 t} + 1) \\ \Leftrightarrow 0 \leq e^{0,3 t} + 11 . \end{array}$

Cette dernière inégalité est vraie pour tout réel $t \in [0; + \infty [$ .

Nous pouvons donc conclure que, si le parachute s’ouvre correctement, le colis ne sera pas endommagé.

Partie 2

▶ 1. Calculer une image

Nous avons, pour $t = 10$ : $v_{2} (10) = 32,7 (1 - e^{- 0,3 \times 10}) = 32,7 (1 - e^{- 3}) \approx 31,1 m \cdot s^{- 1}$ .

La vitesse atteinte par le colis au bout de 10 secondes est d’environ $31,1 m \cdot s^{- 1}$ .

▶ 2. Résoudre une équation E9a • E9b • E9e

Nous avons :

$\begin{array}{l} v_{2} (t) = 30 \Leftrightarrow 32,7 (1 - e^{- 0,3 t}) = 30 \\ \Leftrightarrow 1 - e^{- 0,3 t} = \frac{100}{109} \Leftrightarrow \frac{9}{109} = e^{- 0,3 t} \\ \Leftrightarrow \ln (\frac{9}{109}) = \ln (e^{- 0,3 t}) \Leftrightarrow \ln (\frac{9}{109}) = - 0,3 t \\ \Leftrightarrow t = - \frac{1}{0,3} \ln (\frac{9}{109}) \Leftrightarrow t = \frac{1}{0,3} \ln (\frac{109}{9}) . \end{array}$

Comme $t = \frac{1}{0,3} \ln (\frac{109}{9}) \approx 8$ , nous pouvons conclure que, dans le cas où le parachute ne s’ouvre pas, la vitesse du colis avant qu’il n’atteigne le sol sera de $30 m \cdot s^{- 1}$ environ 8 secondes après avoir été lâché par le passager.

▶ 3. a) Calculer une intégrale E11b • E11c • E11d • E13

Pour tout réel $T \in [0; 20]$ , la fonction $v_{2}$ est continue sur $[0; T]$ comme produit de fonctions continues sur $[0; T]$ . La fonction $v_{2}$ admet donc des primitives sur $[0; T]$ .

Notez bien

Pour tout réel $a \neq 0$ , une primitive sur ℝ de la fonction $t \mapsto e^{a t}$ est la fonction $t \mapsto \frac{1}{a} e^{a t}$ .

Une primitive de $v_{2}$ sur $[0; T]$ est la fonction $t \mapsto 32,7 (t - \frac{1}{- 0,3} e^{- 0,3 t}) = 32,7 t + 109 e^{- 0,3 t}$ .

Nous pouvons donc en déduire que :

$\begin{matrix} d (T) = \int_{0}^{T} v_{2} (t) d t = [_{32,7}^{t} \\ = (32,7 T + 109 e^{- 0,3 T}) - (32,7 \times 0 + 109 e^{- 0,3 \times 0}) \\ = 32,7 T + 109 e^{- 0,3 T} - 109 \\ = 109 (e^{- 0,3 T} + 0,3 T - 1) . \end{matrix}$

Ainsi, pour tout réel $T \in [0; 20]$ , $d (T) = 109 (e^{- 0,3 T} + 0,3 T - 1) .$

b) Calculer une image

Nous avons, pour $T = 20$ : $d (20) = 109 \times (e^{- 0,3 \times 20} + 0,3 \times 20 - 1) = 109 \times (e^{- 6} + 5) \approx 545 m$ .

Lorsque le colis atteint le sol au bout de 20 secondes, il a parcouru une distance qui est approximativement de 545 mètres.

▶ 4. Déterminer un encadrement E6c • E7b • E7c • E12

Pour déterminer le temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de 700 mètres, nous devons résoudre l’équation $d (T) = 700$ .

Puisque, pour tout $T \in [0; + \infty [$ , $d (T) = \int_{0}^{T} v_{2} (t) d t$ , la fonction $d$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ et $d^{'} (T) = v_{2} (T)$ . La fonction $d$ est ainsi continue sur $[0 ; + \infty [$ .

De plus, $\begin{matrix} v_{2} (T) > 0 \Leftrightarrow 1 - e^{- 0,3 T} > 0 \Leftrightarrow 1 > e^{- 0,3 T} \Leftrightarrow \ln (1) > \ln (e^{- 0,3 T}) \\ \Leftrightarrow 0 > - 0,3 T \Leftrightarrow 0 < T . \end{matrix}$

Par conséquent, pour tout $T \in] 0; + \infty [$ , $d^{'} (T) = v_{2} (T) > 0$ .

La fonction $d$ est donc strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .

Nous avons aussi $d (0) = \int_{0}^{0} v_{2} (t) d t = 0$ et $d (30) = 109 (e^{- 0,3 \times 30} + 0,3 \times 30 - 1) \approx 872$ .

Nous constatons donc que 700 est compris entre $d (0)$ et $d (30)$ .

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous pouvons en déduire que l’équation $d (T) = 700$ admet une unique solution $α$ sur l’intervalle $[0; 30]$ .

Par balayage, nous obtenons :

$T$	$d (T)$
24	 676
25	 709
$24 < α < 25$

$T$	$d (T)$
24,7	 699
24,8	 702
$24,7 < α < 24,8$

Si on l’avait lâché d’une hauteur de 700 mètres, le colis aurait mis, pour atteindre le sol, un temps compris entre 24,7 et 24,8 secondes.

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Partie 1

Partie 2

Partie 1

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Partie 1

▶ 1. Déterminer le sens de variation d’une fonction E6c • E6e • E6f

▶ 2. Résoudre une inéquation E8e

Partie 2

▶ 1. Calculer une image

▶ 2. Résoudre une équation E9a • E9b • E9e

▶ 3. a) Calculer une intégrale E11b • E11c • E11d • E13

b) Calculer une image

▶ 4. Déterminer un encadrement E6c • E7b • E7c • E12

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