Livraison en parachute

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Septembre 2016

Exercice 4 • 5 points • 1 h

Livraison en parachute

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Calcul intégral • Compléments sur les fonctions

 

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.

Partie 1

Soit v1 la fonction définie sur [0 ; + [ par :

v1(t)=5×e0,3t1e0,3t+1.

1. Déterminer le sens de variation de la fonction v1.

2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement.

On admet que t secondes après qu’il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m · s–1) est égale, avant d’atteindre le sol, à v1(t).

On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l’arrivée n’excède pas 6 m · s–1.

Le colis risque-t-il d’être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement ? Justifier.

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.

On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m · s–1), t secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :

v2(t= 32,7 (1 - e–0,3t).

1. Quelle est la vitesse, exprimée en m · s–1, atteinte par le colis au bout de 10 secondes ? Arrondir à 0,1 m · s–1.

2. Résoudre l’équation v2(t= 30 m · s–1. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.

3. On sait que la chute du colis dure 20 secondes.

On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, T secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par :

d(T)=0Tv2(t)dt.

a) Montrer que, pour tout réel T de l’intervalle [0 ; 20] :

d(T= 109(e–0,3T + 0,3T - 1).

b) Déterminer une valeur approchée à 1 m près de la distance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol.

4. Déterminer un encadrement d’amplitude 0,1 s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de 700 mètres.

Les clés du sujet

Partie 1

2. Résolvez l’inéquation v1(t)6.

Partie 2

4. Identifiez l’équation à résoudre et pensez à utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour localiser la solution de cette équation dans un intervalle à préciser. Déterminez avec la méthode par balayage l’encadrement demandé de la solution identifiée.

Corrigé

Corrigé

Partie 1

1. Déterminer le sens de variation d’une fonction  E6c • E6e • E6f 

Les fonctions te0,3t1 et te0,3t+1 sont dérivables sur [0;+[ comme composées et sommes de fonctions dérivables sur [0;+[. De plus, la fonction te0,3t+1 ne s’annule pas sur [0;+[. Par conséquent, la fonction te0,3t1e0,3t+1 est dérivable sur [0;+[ et, par suite, la fonction v1:t5×e0,3t1e0,3t+1 est également dérivable sur [0;+[.

À retenir

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction eu est dérivable sur I et (eu)=u×eu.

Pour tout réel t[0;+[ :

v1(t)=5×0,3e0,3t(e0,3t+1)(e0,3t1)×0,3e0,3t(e0,3t+1)2=5×0,6e0,3t(e0,3t+1)2=3e0,3t(e0,3t+1)2.

Comme 3e0,3t>0 et (e0,3t+1)2>0, nous obtenons : v1(t)>0.

La fonction v1 est donc strictement croissante sur [0;+[.

2. Résoudre une inéquation  E8e 

Pour déterminer si le colis risque d’être endommagé si le parachute s’ouvre correctement, nous devons résoudre l’inéquation v1(t)6.

Pour tout réel t[0;+[ :

v1(t)65×e0,3t1e0,3t+165×(e0,3t1)6×(e0,3t+1)0e0,3t+11.

Cette dernière inégalité est vraie pour tout réel t[0;+[.

Nous pouvons donc conclure que, si le parachute s’ouvre correctement, le colis ne sera pas endommagé.

Partie 2

1. Calculer une image

Nous avons, pour t=10 : v2(10)=32,7(1e0,3×10)=32,7(1e3)31,1ms1.

La vitesse atteinte par le colis au bout de 10 secondes est d’environ 31,1ms1.

2. Résoudre une équation  E9a • E9b • E9e 

Nous avons :

v2(t)=3032,7(1e0,3t)=301e0,3t=1001099109=e0,3tln(9109)=ln(e0,3t)ln(9109)=0,3tt=10,3ln(9109)t=10,3ln(1099).

Comme t=10,3ln(1099)8, nous pouvons conclure que, dans le cas où le parachute ne s’ouvre pas, la vitesse du colis avant qu’il n’atteigne le sol sera de 30ms1 environ 8 secondes après avoir été lâché par le passager.

3. a) Calculer une intégrale  E11b • E11c • E11d • E13 

Pour tout réel T[0;20], la fonction v2 est continue sur [0;T] comme produit de fonctions continues sur [0;T]. La fonction v2 admet donc des primitives sur [0;T].

Notez bien

Pour tout réel a0, une primitive sur de la fonction teat est la fonction t1aeat.

Une primitive de v2 sur [0;T] est la fonction t32,7(t10,3e0,3t)=32,7t+109e0,3t.

Nous pouvons donc en déduire que :

d(T)=0Tv2(t)dt=[32,7t+109e0,3t]0T=(32,7T+109e0,3T)(32,7×0+109e0,3×0)=32,7T+109e0,3T109=109(e0,3T+0,3T1).

Ainsi, pour tout réel T[0;20], d(T)=109(e0,3T+0,3T1).

b) Calculer une image

Nous avons, pour T=20 : d(20)=109×(e0,3×20+0,3×201)=109×(e6+5)545 m.

Lorsque le colis atteint le sol au bout de 20 secondes, il a parcouru une distance qui est approximativement de 545 mètres.

4. Déterminer un encadrement  E6c • E7b • E7c • E12 

Pour déterminer le temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de 700 mètres, nous devons résoudre l’équation d(T)=700.

Puisque, pour tout T[0;+[, d(T)=0Tv2(t)dt, la fonction d est dérivable sur [0;+[ et d(T)=v2(T). La fonction d est ainsi continue sur [0;+[.

De plus, v2(T)>01e0,3T>01>e0,3Tln(1)>ln(e0,3T)0>0,3T0<T.

Par conséquent, pour tout T]0;+[, d(T)=v2(T)>0.

La fonction d est donc strictement croissante sur [0;+[.

Nous avons aussi d(0)=00v2(t)dt=0 et d(30)=109(e0,3×30+0,3×301)872.

Nous constatons donc que 700 est compris entre d(0) et d(30).

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous pouvons en déduire que l’équation d(T)=700 admet une unique solution α sur l’intervalle [0;30].

Par balayage, nous obtenons :

T

d(T)

24

676

25

709

24<α<25

T

d(T)

24,7

699

24,8

702

24,7<α<24,8

Si on l’avait lâché d’une hauteur de 700 mètres, le colis aurait mis, pour atteindre le sol, un temps compris entre 24,7 et 24,8 secondes.