Location de terrains de squash

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Moyen-Orient
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Location de terrains de squash
 
 

Probabilités et statistiques • Conditionnement

Corrigé

24

Ens. spécifique

matT_1305_09_04C

 

Liban • Mai 2013

Exercice 4 • 5 points

Un propriétaire d’une salle louant des terrains de squash s’interroge sur le taux d’occupation de ses terrains. Sachant que la location d’un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine).

Dans le cadre de cette répartition, 70 % des heures sont creuses.

Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s’apercevoir que :

  • lorsque l’heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés ;
  • lorsque l’heure est pleine, 90 % des terrains sont occupés.

On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les événements :

  • C « l’heure est creuse »,
  • T « le terrain est occupé ».

>1. Représenter cette situation par un arbre de probabilités. (0,75 point)

>2. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l’heure soit creuse. (0,5 point)

>3. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé. (0,75 point)

>4. Montrer que la probabilité que l’heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à . (1 point)

Dans le but d’inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d’un terrain, des tarifs différenciés :

  • 10 € pour une heure pleine,
  • 6 € pour une heure creuse.

On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d’un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, X prend 3 valeurs :

  • 10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine,
  • 6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse,
  • 0 lorsque le terrain n’est pas occupé.

>5. Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de (0,75 point)

>6. Déterminer l’espérance de X. (0,5 point)

>7. La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine. Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle. (0,75 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Variable aléatoire • Probabilité conditionnelle.

Les conseils du correcteur

>2. La probabilité demandée est la probabilité de l’intersection de deux événements, ce n’est pas une probabilité conditionnelle.

>3. Utilisez le fait que et constituent une partition de l’univers.

>4. La probabilité qui intervient dans cette question est une probabilité conditionnelle ; utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle et les réponses aux questions précédentes.

>5. Une variable aléatoire est une fonction qui, à chaque issue d’une expérience aléatoire, associe un nombre. On décrit sa loi en donnant les valeurs que peut prendre cette variable aléatoire et les probabilités correspondantes.

>7. Tenez compte du nombre de terrains et du nombre d’heures d’ouverture de la salle dans la semaine, et utilisez le résultat de la question 6.

Corrigé

>1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

 

Notez bien

D’après l’énoncé, 70 % des heures de la semaine sont creuses, donc .

La situation peut être représentée par l’arbre de probabilités suivant :


 

>2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

 

Notez bien

car, d’après l’énoncé, lorsqu’une heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés.

La probabilité que le terrain soit occupé et que l’heure soit creuse est :

.

La probabilité que le terrain soit occupé et que l’heure soit creuse est 0,14.

>3. Calculer la probabilité d’un événement

La probabilité que le terrain soit occupé est

Puisque et constituent une partition de l’univers :

Or (d’après la question précédente) et, de même,

D’où .

La probabilité que le terrain soit occupé est 0,41.

>4. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité que l’heure soit pleine sachant que le terrain est occupé est .

Par définition d’une probabilité conditionnelle, la probabilité de l’événement T étant non nulle :

>5. Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire

La loi de probabilité de est donnée par le tableau suivant :

 

x

0

6

10

P(X = x)

0,59

0,14

0,27

 
 

Notez bien

Dans le tableau donnant la loi de probabilité d’une variable aléatoire, la somme des probabilités est égale à 1.

En effet :

  • .
  • .
  • .

>6. Calculer l’espérance d’une variable aléatoire

L’espérance de la variable aléatoire est :

>7. Calculer une recette hebdomadaire moyenne

L’espérance calculée à la question précédente donne la recette moyenne par terrain et par heure d’ouverture.

La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine et .

Donc la recette hebdomadaire moyenne est 2 478 €.