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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
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Fonction exponentielle

matT_1404_12_02C

Ens. spécifique

15

CORRIGE

Pondichéry  • Avril 2014

Exercice 4 • 4 points

Partie A

f est une fonction définie et dérivable sur . est la fonction dérivée de la fonction f.

Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on nomme 1 la courbe représentative de la fonction f et 2 la courbe représentative de la fonction .

Le point A de coordonnées (0  2) appartient à la courbe 1.

Le point B de coordonnées (0  1) appartient à la courbe 2.

>1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative 1 de la fonction f. Sur l’une d’entre elles, la courbe 2 de la fonction dérivée est tracée convenablement. Laquelle  ? Expliquer le choix effectué.

Situation 1


Situation 2 (2est une droite)


Situation 3


>2. Déterminer l’équation réduite de la droite tangente à la courbe 1 en A.

>3. On sait que pour tout réel x, f(x)  = e&minus x+ax +ba et b sont deux nombres réels.

a) Déterminer la valeur de b en utilisant les renseignements donnés par l’énoncé.

b) Prouver que a= 2.

>4. &Eacute tudier les variations de la fonction f sur .

>5. Déterminer la limite de la fonction f en .

Partie B

Soit g la fonction définie sur par g(x)  =f(x) &minus (x +  2).

>1. a) Montrer que la fonction g admet 0 comme minimum sur .

b) En déduire la position de la courbe 1 par rapport à la droite .

La figure  1 ci-dessous représente le logo d’une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s’est servi de la courbe 1 et de la droite , comme l’indique la figure  2 ci-dessous. Afin d’estimer les co&ucirc ts de peinture, il souhaite déterminer l’aire de la partie colorée en bleu.

Figure  1


Figure  2


Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où  :

  • D est le point de coordonnées (&minus &thinsp 2  0) 
  • E est le point de coordonnées (2  0) 
  • F est le point d’abscisse 2 de la courbe 1
  • G est le point d’abscisse &minus &thinsp 2 de la courbe 1.

La partie du logo colorée en bleu correspond à la surface située entre la droite , la courbe 1, la droite d’équation x= &minus &thinsp 2 et la droite d’équation x= 2.

>2. Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du logo colorée en bleu (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10&minus 2 du résultat).

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 70 min.

Les thèmes clés

&Eacute tude de fonctions • Fonction exponentielle • Intégration • Tangente.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Propriétés de la fonction exponentielle   E8  Partie A, 3., 4. et 5.Partie  B, 1. a) et 2.
  • &Eacute quation d’une tangente   E6b  → Partie A, 2.
  • Dérivation et variations   E6  Partie A, 1., 3. b) et 4.Partie B, 1. a)
  • Calcul intégral et interprétation graphique   E11 • E13 • E14 • E15  →  &shy Partie B, 2.
  • Calcul de limites   E5a • E5b  → Partie A, 5.

Nos coups de pouce

Partie A

>1. Précisez par lecture graphique les variations de la fonction f. En déduire le signe de la fonction dérivée f’ et éliminez ainsi la situation 3. Précisez la valeur pour laquelle la fonction f atteint son minimum, puis établissez le lien avec la dérivée et éliminez ainsi la situation 2.

>3. b) Dérivez la fonction f puis exprimez en fonction de a.

Partie B

>1. a) Dérivez la fonction g et étudiez ses variations.