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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
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Fonction exponentielle

matT_1404_12_02C

Ens. spécifique

15

CORRIGE

Pondichéry • Avril 2014

Exercice 4 • 4 points

Partie A

f est une fonction définie et dérivable sur . est la fonction dérivée de la fonction f.

Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on nomme 𝒞1 la courbe représentative de la fonction f et 𝒞2 la courbe représentative de la fonction .

Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe 𝒞1.

Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe 𝒞2.

>1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative 𝒞1 de la fonction f. Sur l’une d’entre elles, la courbe 𝒞2 de la fonction dérivée est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.

Situation 1


Situation 2 (𝒞2est une droite)


Situation 3


>2. Déterminer l’équation réduite de la droite tangente à la courbe 𝒞1 en A.

>3. On sait que pour tout réel x, f(x) = ex+ax +ba et b sont deux nombres réels.

a) Déterminer la valeur de b en utilisant les renseignements donnés par l’énoncé.

b) Prouver que a= 2.

>4. Étudier les variations de la fonction f sur .

>5. Déterminer la limite de la fonction f en .

Partie B

Soit g la fonction définie sur par g(x) =f(x) − (x + 2).

>1. a) Montrer que la fonction g admet 0 comme minimum sur .

b) En déduire la position de la courbe 𝒞1 par rapport à la droite .

La figure 1 ci-dessous représente le logo d’une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s’est servi de la courbe 𝒞1 et de la droite , comme l’indique la figure 2 ci-dessous. Afin d’estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l’aire de la partie colorée en bleu.

Figure 1


Figure 2


Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :

  • D est le point de coordonnées (− 2 ; 0) ;
  • E est le point de coordonnées (2 ; 0) ;
  • F est le point d’abscisse 2 de la courbe 𝒞1 ;
  • G est le point d’abscisse − 2 de la courbe 𝒞1.

La partie du logo colorée en bleu correspond à la surface située entre la droite , la courbe 𝒞1, la droite d’équation x= − 2 et la droite d’équation x= 2.

>2. Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du logo colorée en bleu (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10−2 du résultat).

Les clés du sujet

Durée conseillée : 70 min.

Les thèmes clés

Étude de fonctions • Fonction exponentielle • Intégration • Tangente.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Propriétés de la fonction exponentielle  E8 Partie A, 3., 4. et 5. ; Partie B, 1. a) et 2.
  • Équation d’une tangente  E6b  → Partie A, 2.
  • Dérivation et variations  E6 Partie A, 1., 3. b) et 4. ; Partie B, 1. a)
  • Calcul intégral et interprétation graphique  E11 • E13 • E14 • E15  → ­Partie B, 2.
  • Calcul de limites  E5a • E5b  → Partie A, 5.

Nos coups de pouce

Partie A

>1. Précisez par lecture graphique les variations de la fonction f. En déduire le signe de la fonction dérivée f’ et éliminez ainsi la situation 3. Précisez la valeur pour laquelle la fonction f atteint son minimum, puis établissez le lien avec la dérivée et éliminez ainsi la situation 2.

>3. b) Dérivez la fonction f puis exprimez en fonction de a.

Partie B

>1. a) Dérivez la fonction g et étudiez ses variations.

Corrigé
Corrigé

partie a

>1. Justifier une situation

  • Par lecture graphique sur la courbe représentative C1, la fonction f est décroissante sur l’intervalle ]– ∞ ; d ] et croissante sur l’intervalle [d ; + ∞[ où d est un nombre réel compris entre – 1 et 0. Ainsi, sa dérivée f est négative sur ]– ∞ ; d ] et positive sur [d ; + ∞[. Dans la situation 3, la courbe C2 est au-dessus de l’axe des abscisses. Par suite, la fonction associée à cette courbe est strictement positive sur et elle ne peut ainsi pas correspondre à la fonction dérivée recherchée : la situation 3 ne convient donc pas.
  • Par lecture graphique, la fonction f admet un minimum en d dont la valeur semblerait être proche de –  0,75 et par suite, f(d) = 0. Dans la situation 2, la courbe C2 est une droite qui coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse – 1. La fonction associée à cette courbe s’annule donc uniquement en – 1 (– 1 ≠ d ). La situation 2 ne convient donc pas.
  • Par élimination, la courbe C2 de la situation 1 est la courbe de la fonction dérivée f.

>2. Déterminer l’équation d’une tangente

  • D’après l’énoncé, le point A a pour coordonnées (0 ; 2). Comme A est un point de la courbe C1, nous avons f(0) = 2.
  • D’après l’énoncé, le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe C2. La courbe C2 étant la courbe de la fonction dérivée f, nous avons f(0) = 1.
  • Ainsi, l’équation réduite de la tangente ∆ à la courbe C1 au point A est :

.

>3. a) Déterminer la valeur d’un paramètre

  • Le point A de la courbe C1 a pour coordonnées (0 ; 2). Ainsi, f(0) = 2.
  • En remplaçant x par 0 dans l’expression donnée, nous avons :

.

Les deux points précédents nous conduisent à l’égalité et donc b = 1.

b) Déterminer la valeur d’un paramètre

  • Le point B de la courbe C2 est de coordonnées (0 ; 1). Ainsi, f(0) = 1.

Notez bien

.

  • La fonction f est dérivable sur (somme de fonctions dérivables sur ) et sa dérivée f est définie pour tout nombre réel x par :

.

En remplaçant x par 0 dans cette expression, nous avons :

.

Les deux points précédents nous conduisent à l’égalité et donc a = 2.

Remarque. En conclusion (question 3.), pour tout nombre réel x, .

>4. Étudier les variations d’une fonction

  • Étudions le signe de la fonction dérivée f afin d’établir les variations de la fonction f. Rappelons que par la question 3. b), nous avons pour tout nombre réel x, .
  • La fonction f s’annule en . En effet :

Notez bien

Pour tout réel , .

  • Pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle , nous avons :

(la fonction exponentielle est croissante sur )

Notez bien

Pour tout réel .

Comme la fonction f est positive sur , la fonctionf est donc croissante sur.

  • De même, pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle, nous avons :

  (la fonction exponentielle est croissante sur )

 

 .

Comme la fonction f est négative sur , la fonctionf est donc décroissante sur.

Remarque. Il est important de noter que ces résultats sont (naturellement) cohérents avec les variations de la fonction f obtenues par lecture graphique à la question 1.. Nous pouvons désormais affirmer que et que le minimum de la fonction f est : .

>5. Calculer une limite

Notez bien

.

D’une part, , d’autre part, .

Par somme, .

partie b

>1. a) Étudier les variations d’une fonction et interpréter

  • Pour tout nombre réel x, .
  • La fonction g est dérivable sur (somme de fonctions dérivables sur ) et sa dérivée g est définie pour tout nombre réel x par :

.

  • .

La fonction g s’annule donc en 0.

  • Pour tout nombre réel , nous avons :

La fonction g étant positive sur , la fonction g est donc croissante sur .

  • Par raisonnement analogue, nous pouvons démontrer que la fonction g est décroissante sur .

Ainsi, par étude de variations, la fonction g admet un minimum en

Remarque. , la fonction g admet donc pour minimum 0 atteint en 0.

b) Étudier la position relative de deux courbes

D’après la question précédente, pour tout nombre réel x, (minimum).

Or .

La courbe C1 est donc au-dessus de la droite dont l’équation est

>2. Calculer une intégrale et interpréter

  • D’après la question 4. de la partie A, la fonction f est positive sur donc sur [– 2 ; 2]. De plus, f est continue sur cet intervalle. Par suite, l’aire en unités d’aire de la partie délimitée par la courbe C1, l’axe des abscisses et les droites d’équations et est :

.

  • Pour tout nombre réel de l’intervalle [– 2 ; 2], . De plus, la fonction affine qui à tout nombre réel associe est continue sur donc sur [– 2 ; 2]. Par suite, l’aire en unités d’aire de la partie délimitée par la droite , par l’axe des abscisses et les droites d’équations et est : .
  • La partie du logo colorée en bleu dont l’aire est notée correspond alors à la différence entre et  :

  (par linéarité et par définition de g).

Remarque. La fonction g est définie, continue et positive sur donc sur l’intervalle [– 2 ; 2]. Par propriété, , et donc le nombre réel est bien positif…

  • Une primitive de la fonction g sur [– 2 ; 2] est donnée par :

.

Ainsi,