Lois de probabilité à densité
Corrigé
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Ens. spécifique
matT_1305_02_10C
Amérique du Nord • Mai 2013
Exercice 3 • 5 points
Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.
La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d'espérance μ
Partie A
On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.
| x | 380 | 385 | 390 | 395 | 400 | 405 | 410 | 415 | 420 |
| P(X≤ x) | 0,035 | 0,086 | 0,182 | 0,325 | 0,5 | 0,675 | 0,818 | 0,914 | 0,965 |
Pour quelle valeur de σ la probabilité qu'un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 % ? On arrondira le résultat au dixième.
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 0 et d'écart type 1, on a P(Z
Partie B
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96 % de pains commercialisables.
Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués.
Au regard de l'intervalle de fluctuation obtenu à la question
Partie C
Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
Dans toute la suite on prendra λ
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Loi normale • Loi exponentielle • Intervalle de fluctuation asymptotique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Variable aléatoire continue et loi normale
E40 d • E40 e → Partie A, 1., 2. et 3. - Prise de décision et intervalle de fluctuation
E43 → Partie B, 1. et 2. - Variable aléatoire continue et loi exponentielle
E40 c • E42 → Partie C, 1., 2. et 3. - Fonction exponentielle et fonction logarithme népérien
E11 c • E9 a → Partie C, 1. et 3.
Calculatrice
- Calcul d'une probabilité associée à une loi normale
C3 → Partie A, 1. et 2.
Nos coups de pouce
Partie A
Utilisez le fait que la variable aléatoire 
suit la loi normale centrée réduite.
Partie B
Partie C
Interprétez cette probabilité. Déterminez 
tel que 
Partie A
> 1. Calculer une probabilité avec une loi normale
La probabilité que la masse d'un pain choisi au hasard et fabriqué par cette machine soit compris entre 390 g et 410 g est :
> 2. Calculer une probabilité avec une loi normale
Un pain est commercialisable si sa masse est supérieure ou égale à 385 g. La probabilité qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable est donc la probabilité de l'événement 
dont l'événement contraire est 
. En utilisant le tableau, il en découle que :
Une valeur arrondie au millième de p est
> 3. Déterminer l'écart type d'une loi normale
La variable aléatoire X suit désormais une loi normale d'espérance 400 et d'écart type σ. L'écart type σ doit être tel que la probabilité que la masse d'un pain choisi au hasard dans cette production soit commercialisable, soit égale à 0,96. Ce qui s'écrit à l'aide de la variable aléatoire X :
.
Or 
.
Par définition, X suit une loi normale d'espérance 400 et d'écart type σ si la variable aléatoire 
suit la loi normale centrée réduite. La condition imposée sur σ peut ainsi s'écrire de la manière suivante :
ou encore 
.
En utilisant le résultat donné dans l'énoncé, nous en déduisons que :
et donc 
.
Une valeur approchée de σ au dixième est
Partie B
> 1. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique
La proportion de pains commercialisables dans toute la production est supposée être égale à p 
, 
et 
.
Les conditions sur n et p étant vérifiées, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est donc défini par :
> 2. Vérifier qu'un objectif est atteint
La fréquence de pains commercialisables dans l'échantillon de 300 pains considéré est : 
.
Comme cette fréquence appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 déterminé à la question précédente, nous ne pouvons pas remettre en cause le fait que la proportion de pains commercialisables dans toute la production soit égale à 0,96.
Partie C
> 1. Résoudre une équation
La probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est la probabilité de l'événement 
.
Or 
Cette probabilité étant égale à 0,913 (énoncé), nous devons alors résoudre l'équation 
pour déterminer le paramètre 
La valeur arrondie au millième de 
est
> 2. Calculer une probabilité avec la loi exponentielle
La probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours est : 
.
Comme la loi exponentielle vérifie la propriété dite de durée sans vieillissement, il en découle que : 
.
> 3. Calculer une probabilité avec la loi exponentielle
La probabilité que cette balance ne se dérègle pas avant un an est strictement inférieure à 0,5. Le vendeur n'a pas raison. Pour déterminer le nombre de jours pour lequel son affirmation est avérée, nous devons déterminer le nombre réel t qui vérifie 
.
Les parties A. B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.