Loi normale et loi exponentielle en boulangerie

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Nord
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Loi normale et loi exponentielle en boulangerie
 
 

Lois de probabilité à densité

Corrigé

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Ens. spécifique

matT_1305_02_10C

 

Amérique du Nord • Mai 2013

Exercice 3 • 5 points

Les parties A. B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.

Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.

La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance μ = 400 et d’écart type σ = 11.

Partie A

On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.

 

x

380

385

390

395

400

405

410

415

420

P(X≤ x)

0,035

0,086

0,182

0,325

0,5

0,675

0,818

0,914

0,965

 

>1. Calculer P(390 X  410).

>2. Calculer la probabilité p qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.

>3. Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de σ sans modifier celle de μ.

Pour quelle valeur de σ la probabilité qu’un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 % ? On arrondira le résultat au dixième.

On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 0 et d’écart type 1, on a P(Z − 1,751) ≈ 0,040.

Partie B

Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d’obtenir 96 % de pains commercialisables.

Afin d’évaluer l’efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués.

>1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300.

>2. Parmi les 300 pains de l’échantillon, 283 sont commercialisables.

Au regard de l’intervalle de fluctuation obtenu à la question 1., peut-on décider que l’objectif a été atteint ?

Partie C

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.

>1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de 0,913. En déduire la valeur de λ arrondie au millième.

Dans toute la suite on prendra λ = 0,003.

>2. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu’elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?

>3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu’il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Loi normale • Loi exponentielle • Intervalle de fluctuation asymptotique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Variable aléatoire continue et loi normale  E40d • E40e  → Partie A, 1., 2. et 3.
  • Prise de décision et intervalle de fluctuation  E43 Partie B, 1. et 2.
  • Variable aléatoire continue et loi exponentielle  E40c • E42 Partie C, 1., 2. et 3.
  • Fonction exponentielle et fonction logarithme népérien  E11c • E9a  → Partie C, 1. et 3.

Calculatrice

  • Calcul d’une probabilité associée à une loi normale  C3 Partie A, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

>3. Traduisez la condition imposée sur l’écart type en termes d’événements.

Utilisez le fait que la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite.

Partie B

>2. Appliquez la règle de décision en vérifiant si la fréquence observée du caractère étudié dans l’échantillon est dans l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 ou non.

Partie C

>3. Calculez la probabilité Interprétez cette probabilité. Déterminez tel que

Corrigé

Partie A

>1. Calculer une probabilité avec une loi normale

La probabilité que la masse d’un pain choisi au hasard et fabriqué par cette machine soit compris entre 390 g et 410 g est : 0,636 (valeur arrondie au millième).

>2. Calculer une probabilité avec une loi normale

Un pain est commercialisable si sa masse est supérieure ou égale à 385 g. La probabilité qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable est donc la probabilité de l’événement dont l’événement contraire est . En utilisant le tableau, il en découle que :

Une valeur arrondie au millième de p est 0,914.

>3. Déterminer l’écart type d’une loi normale

La variable aléatoire X suit désormais une loi normale d’espérance 400 et d’écart type σ. L’écart type σ doit être tel que la probabilité que la masse d’un pain choisi au hasard dans cette production soit commercialisable, soit égale à 0,96. Ce qui s’écrit à l’aide de la variable aléatoire X :.

Or .

Par définition, X suit une loi normale d’espérance 400 et d’écart type σ si la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite. La condition imposée sur σ peut ainsi s’écrire de la manière suivante :

ou encore .

En utilisant le résultat donné dans l’énoncé, nous en déduisons que :

et donc .

Une valeur approchée de σ au dixième est 8,6.

Partie B

>1. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique

La proportion de pains commercialisables dans toute la production est supposée être égale à p= 0,96. La taille de l’échantillon est n= 300. Par suite, nous avons : , et .

Les conditions sur n et p étant vérifiées, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est donc défini par :

>2. Vérifier qu’un objectif est atteint

La fréquence de pains commercialisables dans l’échantillon de 300 pains considéré est : .

Comme cette fréquence appartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 déterminé à la question précédente, nous ne pouvons pas remettre en cause le fait que la proportion de pains commercialisables dans toute la production soit égale à 0,96. À partir de cet échantillon, l’objectif fixé semble donc atteint.

Partie C

>1. Résoudre une équation

La probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est la probabilité de l’événement .

Or

Cette probabilité étant égale à 0,913 (énoncé), nous devons alors résoudre l’équation pour déterminer le paramètre

La valeur arrondie au millième de est 0,003.

>2. Calculer une probabilité avec la loi exponentielle

La probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours sachant qu’elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours est : .

Comme la loi exponentielle vérifie la propriété dite de durée sans vieillissement, il en découle que : .

>3. Calculer une probabilité avec la loi exponentielle

La probabilité que cette balance ne se dérègle pas avant un an est strictement inférieure à 0,5. Le vendeur n’a pas raison. Pour déterminer le nombre de jours pour lequel son affirmation est avérée, nous devons déterminer le nombre réel t qui vérifie .

Il y a environ une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant 231 jours.