Loi normale et loi exponentielle en boulangerie

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Nord
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Loi normale et loi exponentielle en boulangerie
 
 

Lois de probabilité à densité

Corrigé

32

Ens. spécifique

matT_1305_02_10C

 

Amérique du Nord • Mai 2013

Exercice 3 • 5 points

Les parties A. B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.

Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.

La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance μ = 400 et d’écart type σ = 11.

Partie A

On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.

 

x

380

385

390

395

400

405

410

415

420

P(X&le  x)

0,035

0,086

0,182

0,325

0,5

0,675

0,818

0,914

0,965

 

>1. Calculer P(390 &le X &le  410).

>2. Calculer la probabilité p qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.

>3. Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de σ sans modifier celle de μ.

Pour quelle valeur de σ la probabilité qu’un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 % ? On arrondira le résultat au dixième.

On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 0 et d’écart type 1, on a P(Z&le  &minus  1,751) &asymp 0,040.

Partie B

Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d’obtenir 96 % de pains commercialisables.

Afin d’évaluer l’efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués.

>1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300.

>2. Parmi les 300 pains de l’échantillon, 283 sont commercialisables.

Au regard de l’intervalle de fluctuation obtenu à la question 1., peut-on décider que l’objectif a été atteint ?

Partie C

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.

>1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de 0,913. En déduire la valeur de λ arrondie au millième.

Dans toute la suite on prendra λ = 0,003.

>2. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu’elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?

>3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu’il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Loi normale • Loi exponentielle • Intervalle de fluctuation asymptotique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Variable aléatoire continue et loi normale  E40d • E40e  → Partie A, 1., 2. et 3.
  • Prise de décision et intervalle de fluctuation  E43 Partie B, 1. et 2.
  • Variable aléatoire continue et loi exponentielle  E40c • E42 Partie C, 1., 2. et 3.
  • Fonction exponentielle et fonction logarithme népérien  E11c • E9a  → Partie C, 1. et 3.

Calculatrice

  • Calcul d’une probabilité associée à une loi normale  C3 Partie A, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

>3. Traduisez la condition imposée sur l’écart type en termes d’événements.

Utilisez le fait que la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite.

Partie B

>2. Appliquez la règle de décision en vérifiant si la fréquence observée du caractère étudié dans l’échantillon est dans l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 ou non.

Partie C

>3. Calculez la probabilité Interprétez cette probabilité. Déterminez tel que