Utiliser la divisibilité et les nombres premiers
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exercice 4
Des élèves organisent, pour leur classe, un jeu au cours duquel il est possible de gagner des lots. Pour cela, ils placent dans une urne trois boules noires numérotées de 1 à 3, et quatre boules rouges numérotées de 1 à 4, toutes indiscernables au toucher.
Partie A • Étude de jeu
▶ 1. On pioche au hasard une boule dans l’urne.
a) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
b) Quelle est la probabilité de tirer une boule dont le numéro est un nombre pair ?
▶ 2. Le jeu consiste à piocher, dans l’urne, une première boule, la remettre dans l’urne puis en piocher une seconde. Pour chacune des boules tirées, on note la couleur ainsi que le numéro.
Pour gagner un lot, il faut tirer la boule rouge numérotée 1 et une boule noire.
Quelle est la probabilité de gagner ?
Partie B • Constitution des lots
Pour constituer les lots, on dispose de 195 figurines et 234 autocollants. Chaque lot sera composé de figurines ainsi que d’autocollants. Tous les lots sont identiques. Toutes les figurines et tous les autocollants doivent être utilisés.
▶ 1. Peut-on faire 3 lots ?
▶ 2. Décomposer 195 en produit de facteurs premiers.
▶ 3. Sachant que la décomposition en produit de facteurs premiers de 234 est 2 × 32 × 13 :
a) Combien de lots peut-on constituer au maximum ?
b) De combien de figurines et d’autocollants sera alors composé chaque lot ?
Les clés du sujet
L’intérêt du sujet
Cet exercice permet de travailler l’arithmétique et les probabilités.
Nos coups de pouce, question par question
Partie A ▶ 1. Calculer une probabilité | Dans une situation d’équiprobabilité : p (« événement ») = |
▶ 2. Utiliser un tableau à double entrée | Répertorie toutes les issues à l’aide d’un tableau à double entrée. |
Partie B ▶ 1. Utiliser la notion de diviseur | Regarde si 3 divise 195 et 234. |
▶ 3. a) Calculer un PGCD | Calcule le PGCD en cherchant tous les facteurs communs aux deux décompositions. |
b) Effectuer une division | Divise chaque nombre par le nombre de lots possibles. |
Partie A
▶ 1. a) p(« boule rouge »)
b) p(« nombre pair »)
▶ 2. On construit un tableau à double entrée des deux tirages :
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Noire1 |
Noire2 |
Noire3 |
Rouge1 |
Rouge2 |
Rouge3 |
Rouge4 |
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Noire1 |
✓ |
||||||
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Noire2 |
✓ |
||||||
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Noire3 |
✓ |
||||||
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Rouge1 |
✓ |
✓ |
✓ |
||||
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Rouge2 |
|||||||
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Rouge3 |
|||||||
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Rouge4 |
Il y a 6 cas favorables sur 49 donc p(« gagner ») = .
Partie B
▶ 1. Regardons si 3 divise à la fois 195 et 234.
195 ÷ 3 = 65 et 234 ÷ 3 = 78.
Donc on peut faire 3 lots.
▶ 2.
Donc 195 = 3 × 5 × 13.
▶ 3. a) On a 234 = 2 × 32 × 13 et 195 = 3 × 5 × 13.
Donc leur plus grand diviseur commun est 3 × 13 = 39.
Donc on peut constituer 39 lots identiques au maximum.
b) Les 195 figurines sont réparties équitablement en 39 lots.
195 ÷ 39 = 5
Il y a donc 5 figurines par lot.
De même, 234 ÷ 39 = 6, il y a donc 6 autocollants par lot.