Annale corrigée Exercice

Lunette astronomique

Ondes et signaux

Lunette astronomique

1 h 05

6,5 points

Intérêt du sujet • Johannes Kepler a mis au point le principe de la lunette astronomique en modifiant la longue-vue, assez médiocre, qu'utilisait Galilée au même moment… Après avoir compris le fonctionnement de la « lunette de Kepler », saurez-vous comment l'améliorer ?

 

En 1611, Kepler propose le principe de la lunette astronomique. En n'utilisant que des lentilles convergentes pour l'oculaire et l'objectif, il améliore la lunette de Galilée… même si l'image est alors renversée, ce nouveau principe devait permettre de bien meilleures images.

Kepler n'a pas mis son idée en pratique et il faudra attendre 1617 pour que les premières lunettes astronomiques soient fabriquées selon le principe de Kepler.

On se propose de modéliser une lunette astronomique à l'aide de deux lentilles convergentes :

une lentille L1 de distance focale f1 = 60 cm,

une lentille L2 de distance focale f2 = 10 cm.

Partie 1. Étude de la lentille L2 25 min

1. Compléter les figures 1.a, 1.b et 1.c ci-dessous et en page suivante, en indiquant dans chaque cas les foyers de la lentille L2 et la construction de l'image A2B2 de l'objet A1B1. (1,5 point)

pchT_2000_00_10C_01_A

Figure 1a.

pchT_2000_00_10C_01_B

Figure 1b.

pchT_2000_00_10C_01_C

Figure 1c.

Les échelles indiquées correspondent à :

horizontalement : 1/5

verticalement : 1/1

2. Dans le cas de la figure 1.a, retrouver par le calcul la position de l'image. (0,75 point)

Partie 2. Étude d'un modèle de lunette astronomique 40 min

Pour simuler sur le banc d'optique une lunette astronomique utilisée pour observer un objet AB, on reprend la lentille L2 à laquelle on associe la lentille L1, placée devant L2.

On se place dans le cas où l'image intermédiaire A1B1 est située dans le plan focal objet de la lentille L2.

La distance entre les centres optiques des deux lentilles est fixée à 70 cm.

1. Quel rôle joue A1B1 pour la lentille L2 ? (0,25 point)

2. Comment, dans ce système optique, nomme-t-on les lentilles L1 et L2 ? (0,5 point)

3. Compléter la figure 2 ci-dessous, en traçant :

la lentille L1 et son centre optique O1,

les foyers des deux lentilles L1 et L2,

l'image intermédiaire A1B1 de hauteur 1 cm,

les deux rayons lumineux traversant les deux lentilles du système optique en passant par B1. (1 point)

pchT_2000_00_10C_02

Figure 2.

Les échelles indiquées correspondent à :

horizontalement : 1/10

verticalement : 1/1

4. D'après la construction précédente, où se trouve l'objet AB ? Où se trouve l'image définitive A2B2 ? (0,5 point)

5. Une des caractéristiques de ce système optique est son grossissement défini par le rapport du diamètre apparent de l'image à celui de l'objet : G = αα.

a) Définir le diamètre apparent α de l'objet et le diamètre apparent α'de l'image puis exprimer ces grandeurs à l'aide des données de construction de la lunette. (0,5 point)

b) Indiquer ces deux diamètres apparents sur la figure 2. (0,5 point)

c) Exprimer G en fonction des distances focales des deux lentilles, puis le calculer. (0,5 point)

d) En déduire un moyen d'augmenter le grossissement d'une lunette astronomique. (0,5 point)

 

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

pchT_2000_00_10C_03

Les conseils du correcteur

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Partie 1. Étude de la lentille L2; ▶ 1. Prenez en compte l'échelle horizontale (1/5) puis positionnez les foyers (les données de l'énoncé vous indiquent la distance focale de L2).Tracez 2 des 3 rayons suivants, qui sont des rayons « particuliers » pour les lentilles convergentes :le rayon passant par le centre optique (ici O2) ;un rayon incident parallèle à l'axe optique et émergeant par le foyer F′2 ;un rayon incident passant par le foyer F2 et émergeant parallèle à l'axe.▶ 2. Utilisez la relation de conjugaison :1OA2¯− 1OA1¯= 1OF′¯en faisant attention à mettre un signe négatif à OA1¯ car il est orienté vers la gauche du schéma.; Ligne 2 : Partie 2. Étude d'un modèle de lunette astronomique; ▶ 2. Quelle lentille est l'objectif ? Quelle lentille est l'oculaire ?▶ 3. Choisissez le rayon qui passe par le centre O1 puis celui qui passe par le centre O2 pour les rayons lumineux passant par B1 car ils ne sont pas déviés.Ensuite, souvenez-vous que A1B1 est positionné dans le plan focal de L1 et de L2.Vous en déduisez que :les rayons qui arrivent sur L1 et qui passent par B1 sont tous parallèles ;ceux qui passent par B1 et qui repartent de L2 sont aussi tous parallèles.▶ 4. Utilisez l'approximation α ≈ tan α quand les angles (diamètres apparents) sont très petits.;

Partie 1. Étude de la lentille L2

1. Construire l'image d'un objet, donnée par une lentille convergente

pchT_2000_00_10C_04_A

pchT_2000_00_10C_04_B

pchT_2000_00_10C_04_C

attention

Il s'agit des 3 cas classiques de ­schémas avec une lentille convergente. Sachez bien les refaire.

2. Utiliser la relation de conjugaison

Pour retrouver par le calcul la position de l'image dans le cas de la figure 1.a, on utilise la relation de conjugaison :

1OA2¯1OA1¯=1OF¯

La distance que l'on cherche à calculer est OA2¯, donc on l'isole :

1OA2¯=1OA1¯+1OF¯=OA1¯+OF¯OA1¯×OF¯

d'où : OA2¯ = OA1¯×OF¯OA1¯+OF¯= 30×+ 10 30++ 10= 300 20 = 15 cm.

Étant donnée l'échelle horizontale de 1/5, on retrouve bien sur le schéma la position à 3 cm à droite du centre de la lentille L2.

Partie 2. Étude d'un modèle de lunette astronomique

1. Identifier l'objet d'un système

A1B1 joue le rôle d'objet pour la lentille L2 (alors qu'il s'agit de l'image pour la lentille L1).

2. Identifier l'oculaire et l'objectif d'un système

à noter

L'objectif est toujours du côté de l'objet et l'oculaire du côté de l'œil.

L1 est nommé « objectif » et L2 « oculaire ».

3. Faire la construction d'une lunette astronomique

pchT_2000_00_10C_05

Justifications (non demandées) de la construction :

la lentille L1 est placée à 7 cm devant L2 (70 cm à l'échelle 1/10) ;

sa distance focale est de 6 cm (60 cm à l'échelle 1/10) ;

les rayons passant par O1 (ou O2) ne sont pas déviés par L1 (ou L2) ;

l'image A1B1 se trouve dans le plan focal de L1 car les rayons arrivant de l'objet AB arrivent de l'infini et sont donc parallèles ;

A1B1 est dans le plan focal objet de L2 : les rayons passant par B1 et sortant de L2 sont tous parallèles au rayon passant par B1 et le centre O2.

4. Connaître les rayons particuliers passant par une lentille convergente

A1B1est l'image de AB par la lentille L1. Or A1B1 se situe au foyer image de cette dernière. L'objet AB se situe donc à l'infini.

L'image A2B2 est l'image de A1B1 par la lentille L2. Or A1B1 est situé dans le plan focal de L2. Par conséquent, l'image A2B2 est à l'infini.

5. a) Déterminer un diamètre apparent

Le diamètre apparent est l'angle sous lequel est vu un objet. Quand cet angle est très petit, sa valeur approximative est la valeur de sa tangente.

Le diamètre apparent de l'objet est égal à celui sous lequel est vu l'image A1B1 à partir de la lentille L1. Donc, ici, α  tan α = A1B1¯O1A1¯.

attention

Ce qu'on nomme le diamètre apparent est un angle et non une longueur.

De la même façon, le diamètre apparent de l'image est l'angle sous lequel on voit l'image A1B1 (objet de la lentille L2) à partir de la lentille L2. Donc α′  tan α′ = A1B1¯O2A1¯.

b) Représenter un diamètre apparent

Les diamètres apparents demandés sont représentés sur la figure 2.

c) Exprimer le grossissement

Le grossissement est défini par le rapport des diamètres apparents : G = αα. Or, d'après la question a), on peut écrire :

= A1B1¯O2A1¯A1B1¯O1A1¯= O1A1¯O2A1¯ = f1f2 =f1f2=6010 =6.

à noter

Le grossissement d'une lunette astronomique est toujours négatif. Cela signifie que l'image est ­renversée par rapport à l'objet, mais cela n'est pas gênant quand on observe des objets célestes.

d) Améliorer une lunette astronomique

D'après l'expression du grossissement de la question précédente pour l'augmenter, il faut soit augmenter la distance focale de l'objectif soit diminuer celle de l'oculaire.

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