Partie 1. Étude de la lentille L₂

▶ 1. Construire l'image d'un objet, donnée par une lentille convergente

▶ 2. Utiliser la relation de conjugaison

Pour retrouver par le calcul la position de l'image dans le cas de la figure 1.a, on utilise la relation de conjugaison :

$\frac{1}{\overline{O{A}_2}}-\frac{1}{\overline{O{A}_1}}=\frac{1}{\overline{O{F}^{\prime }}}$

La distance que l'on cherche à calculer est $\overline{O{A}_2}$, donc on l'isole :

$\frac{1}{\overline{O{A}_2}}=\frac{1}{\overline{O{A}_1}}+\frac{1}{\overline{O{F}^{\prime }}}=\frac{\overline{O{A}_1}+\overline{O{F}^{\prime }}}{\overline{O{A}_1}\times \overline{O{F}^{\prime }}}$

d'où : $\overline{O{A}_2}$ = $\frac{\overline{O{A}_1}\times \overline{O{F}^{\prime }}}{\overline{O{A}_1}+\overline{O{F}^{\prime }}}=\frac{\left(-30\right)\times \left(+10\right)}{\left(-30\right)+\left(+10\right)}=\frac{-300}{-20}$ = 15 cm.

Étant donnée l'échelle horizontale de 1/5, on retrouve bien sur le schéma la position à 3 cm à droite du centre de la lentille L₂.

Partie 2. Étude d'un modèle de lunette astronomique

▶ 1. Identifier l'objet d'un système

A₁B₁ joue le rôle d'objet pour la lentille L₂ (alors qu'il s'agit de l'image pour la lentille L₁).

▶ 2. Identifier l'oculaire et l'objectif d'un système

L₁ est nommé « objectif » et L₂ « oculaire ».

▶ 3. Faire la construction d'une lunette astronomique

Justifications (non demandées) de la construction :

la lentille L₁ est placée à 7 cm devant L₂ (70 cm à l'échelle 1/10) ;

sa distance focale est de 6 cm (60 cm à l'échelle 1/10) ;

les rayons passant par O₁ (ou O₂) ne sont pas déviés par L₁ (ou L₂) ;

l'image A₁B₁ se trouve dans le plan focal de L₁ car les rayons arrivant de l'objet AB arrivent de l'infini et sont donc parallèles ;

A₁B₁ est dans le plan focal objet de L₂ : les rayons passant par B₁ et sortant de L₂ sont tous parallèles au rayon passant par B₁ et le centre O₂.

▶ 4. Connaître les rayons particuliers passant par une lentille convergente

A₁B₁est l'image de AB par la lentille L₁. Or A₁B₁ se situe au foyer image de cette dernière. L'objet AB se situe donc à l'infini.

L'image A₂B₂ est l'image de A₁B₁ par la lentille L₂. Or A₁B₁ est situé dans le plan focal de L₂. Par conséquent, l'image A₂B₂ est à l'infini.

▶ 5. a) Déterminer un diamètre apparent

Le diamètre apparent est l'angle sous lequel est vu un objet. Quand cet angle est très petit, sa valeur approximative est la valeur de sa tangente.

Le diamètre apparent de l'objet est égal à celui sous lequel est vu l'image A₁B₁ à partir de la lentille L₁. Donc, ici, α ≈ tan α = $\frac{\overline{A_1{B}_1}}{\overline{O_1{A}_1}}$.

De la même façon, le diamètre apparent de l'image est l'angle sous lequel on voit l'image A₁B₁ (objet de la lentille L₂) à partir de la lentille L₂. Donc α′ ≈ tan α′ = $\frac{\overline{A_1{B}_1}}{\overline{O_2{A}_1}}$.

b) Représenter un diamètre apparent

Les diamètres apparents demandés sont représentés sur la figure 2.

c) Exprimer le grossissement

Le grossissement est défini par le rapport des diamètres apparents : G = $\frac{{\text{α}}^{\prime }}{\text{α}}$. Or, d'après la question a), on peut écrire :

G = $\frac{\frac{\overline{A_1{B}_1}}{\overline{O_2{A}_1}}}{\frac{\overline{A_1{B}_1}}{\overline{O_1{A}_1}}}= \frac{\overline{O_1{A}_1}}{\overline{O_2{A}_1}}$ = $\frac{{f^{\prime }}_1}{f_2}$ $=-\frac{f_1}{f_2}=-\frac{60}{10}$ $=-6$.

d) Améliorer une lunette astronomique

D'après l'expression du grossissement de la question précédente pour l'augmenter, il faut soit augmenter la distance focale de l'objectif soit diminuer celle de l'oculaire.