Magie et mathématiques

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Polynésie française
Corpus Corpus 1
Magie et mathématiques

Arithmétique

matT_1406_13_03C

Ens. de spécialité

35

CORRIGE

Polynésie française • Juin 2014

Exercice 2 • 5 points

Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance, le rang de ce jour dans le mois, et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans l’année. Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et le numéro du mois de naissance est 5.

Partie A

Lors d’une représentation, un magicien demande aux spectateurs d’effectuer le programme de calcul (A) suivant :

« Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire ».

Un spectateur annonce 308 et en quelques secondes, le magicien déclare : « Votre anniversaire tombe le 1er août ! »

>1. Vérifier que, pour une personne née le 1er août, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre 308.

>2.a) Pour un spectateur donné, on note j le numéro de son jour de naissance, m celui de son mois de naissance et z le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A).

Exprimer z en fonction de j et de m et démontrer que z et m sont congrus modulo 12.

b) Retrouver alors la date de l’anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre 474 en appliquant le programme de calcul (A).

Partie B

Lors d’une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul pour le programme (B) suivant.

Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est j et le numéro du mois de naissance est m, le magicien demande de calculer le nombre z défini par z= 12 j + 31m.

Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d’anniversaire du spectateur.

>1.Première méthode

On considère l’algorithme suivant :

 

Variables

j et m sont des entiers naturels

Traitement

Pour m allant de 1 à 12 faire :

Pour j allant de 1 à 31 faire :

z prend la valeur 12j + 31m

Afficher z

Fin Pour

Fin Pour

 

Modifier cet algorithme afin qu’il affiche toutes les valeurs de j et de m telles que 12 j + 31m = 503.

>2.Deuxième méthode

a) Démontrer que 7m et z ont le même reste dans la division euclidienne par 12.

b) Pour m variant de 1 à 12, donner le reste de la division euclidienne de 7m par 12.

c) En déduire la date de l’anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec le programme de calcul (B).

>3.Troisième méthode

a) Démontrer que le couple (– 2 ; 17) est solution de l’équation 12x + 31y= 503.

b) En déduire que si un couple d’entiers relatifs (x ; y) est solution de l’équation 12x + 31y= 503, alors 12(x + 2) = 31(17 – y).

c) Déterminer l’ensemble de tous les couples d’entiers relatifs (x ; y), solutions de l’équation 12x + 31y= 503.

d) Démontrer qu’il existe un unique couple d’entiers relatifs (x ; y) solution de 12x + 31y = 503 tel que . En déduire la date d’anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec le programme de calcul (B).

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Congruences • Algorithmique.

Nos coups de pouce

Partie B

>2. a) Faites le lien entre reste dans la division euclidienne par 12 et relation de congruence modulo 12.

>3. c) Pensez à exploiter la question 3. b) et le théorème de Gauss. N’oubliez dans la démonstration la partie réciproque.

Corrigé
Corrigé

partie a

>1. Exécuter un programme de calcul

La personne est née le 1er août : le numéro de son jour de naissance est donc le 1, le numéro de son mois de naissance est le 8.

En multipliant le numéro du jour de naissance par 12, celui du mois de naissance par 37 et en ajoutant le tout, on obtient :

.

Pour une personne née le 1eraoût, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre 308.

>2. a) Établir une relation de congruence

Pour un spectateur donné, si on note le numéro de son jour de naissance et le numéro de son mois de naissance, en appliquant le programme de calcul (A), on obtient :

.

Comme , nous en déduisons que  ; or . Nous obtenons donc au final :

.

Ainsi  : etsont bien congrus modulo 12.

b) Remonter à la source dans un programme de calcul

En reprenant la notation de l’énoncé, nous avons .

Comme , nous en déduisons que .

Or, d’après la question précédente, et sont congrus modulo 12.

Cela implique que .

Comme représente un mois de naissance, nous avons évidemment .

En combinant les deux informations précédentes, nous en déduisons que

Comme , nous obtenons :

.

La date anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre 474 en appliquant le programme de calcul (A) est le 21 juin.

partie b

>1. Modifier un algorithme

 

Variables

et sont des entiers naturels

Traitement

Pour allant de 1 à 12 faire

Pour allant de 1 à 31 faire

prend la valeur

Si

alors afficheret

Fin Si

Fin Pour

Fin Pour

 

>2 a) Établir une relation de congruence

Dire que et ont le même reste dans la division euclidienne par 12 équivaut à dire que et sont congrus modulo 12.

Or . Comme , nous en déduisons que  ; or . Nous obtenons donc au final :

.

Ainsi  : etsont bien congrus modulo 12, ce qui signifie queetont le même reste dans la division euclidienne par 12.

b) Déterminer le reste dans une division euclidienne

Notons le reste de la division euclidienne de par .

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

77

84

7

2

9

4

11

6

1

8

3

10

5

0

 

c) Remonter à la source dans un programme de calcul

En reprenant la notation de l’énoncé, nous avons . Or, donc .

Comme d’après la question 2. a), , nous pouvons en déduire que .

D’après le tableau de la question précédente, la relation de congruence précédente a lieu si, et seulement si, .

Comme , nous en déduisons :

.

La date d’anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec le programme de calcul (B) est le 29 mai.

>3. a) Identifier une solution particulière d’une équation

.

Le coupleest donc solution de l’équation.

b) Établir une égalité

Supposons qu’un couple d’entiers relatifs soit solution de l’équation .

Comme, d’après la question précédente, nous avons :

,

nous obtenons par soustraction des deux égalités :

.

Ceci peut encore s’écrire soit finalement :

.

c) Déterminer tous les couples solutions d’une équation

  • D’après la question 3. b), si un couple d’entiers relatifs est solution de l’équation , alors

.

Notez bien

Soient , et des entiers relatifs non nuls.

Si divise

et si ,

alors divise .

Comme 12 et 31 sont premiers entre eux, il découle donc de l’égalité précédente, d’après le théorème de Gauss, que divise .

Il existe donc un entier relatif tel que  ; comme , nous en déduisons que soit encore .

Il existe donc un entier relatif tel que et .

• Réciproquement s’il existe un entier relatif tel que et , alors :

.

L’ensemble de tous les couples d’entiers relatifssolutions de l’équationest l’ensemble.

d) Remonter à la source dans un programme de calcul

Soit un couple d’entiers relatifs solution de l’équation , avec .

Nous savons, d’après la question précédente, qu’il existe un entier relatif tel que

Sachant que cela équivaut à soit encore . étant un entier relatif, nous obtenons et par suite et .

Vérifions : .

L’unique coupled’entiers relatifs solution de l’équation, avec, est. Autrement dit, la date anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec le programme de calcul (B) est le 29 mai.