Arithmétique
matT_1406_13_03C
Ens. de spécialité
35
CORRIGE
Polynésie française • Juin 2014
Exercice 2 • 5 points
Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance, le rang de ce jour dans le mois, et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans l'année. Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et le numéro du mois de naissance est 5.
Partie A
Lors d'une représentation, un magicien demande aux spectateurs d'effectuer le programme de calcul (A) suivant :
« Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire ».
Un spectateur annonce 308 et en quelques secondes, le magicien déclare : « Votre anniversaire tombe le 1er août ! »
Exprimer z en fonction de j et de m et démontrer que z et m sont congrus modulo 12.
Partie B
Lors d'une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul pour le programme (B) suivant.
Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est j et le numéro du mois de naissance est m, le magicien demande de calculer le nombre z défini par z
Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d'anniversaire du spectateur.
On considère l'algorithme suivant :
Variables | j et m sont des entiers naturels | ||
Traitement | Pour m allant de 1 à 12 faire : | ||
|
| Pour j allant de 1 à 31 faire : | |
|
|
| z prend la valeur 12j + 31m |
|
|
| Afficher z |
|
| Fin Pour | |
| Fin Pour |
Modifier cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs de j et de m telles que 12 j
. En déduire la date d'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec le programme de calcul (B).
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Congruences • Algorithmique.
Nos coups de pouce
Partie B
partie a
> 1. Exécuter un programme de calcul
La personne est née le 1er août : le numéro de son jour de naissance est donc le 1, le numéro de son mois de naissance est le 8.
En multipliant le numéro du jour de naissance par 12, celui du mois de naissance par 37 et en ajoutant le tout, on obtient :
> 2. a) Établir une relation de congruence
Pour un spectateur donné, si on note le numéro de son jour de naissance et
le numéro de son mois de naissance, en appliquant le programme de calcul (A), on obtient :
Comme , nous en déduisons que
or
. Nous obtenons donc au final :
b) Remonter à la source dans un programme de calcul
En reprenant la notation de l'énoncé, nous avons .
Comme , nous en déduisons que
.
Or, d'après la question précédente, et
sont congrus modulo 12.
Comme représente un mois de naissance, nous avons évidemment
.
En combinant les deux informations précédentes, nous en déduisons que
partie b
> 1. Modifier un algorithme
> 2 a) Établir une relation de congruence
Dire que et
ont le même reste dans la division euclidienne par 12 équivaut à dire que
et
sont congrus modulo 12.
Or . Comme
, nous en déduisons que
or
. Nous obtenons donc au final :
Ainsi :
b) Déterminer le reste dans une division euclidienne
c) Remonter à la source dans un programme de calcul
En reprenant la notation de l'énoncé, nous avons . Or,
donc
.
Comme d'après la question , nous pouvons en déduire que
.
D'après le tableau de la question précédente, la relation de congruence précédente a lieu si, et seulement si, .
> 3. a) Identifier une solution particulière d'une équation
b) Établir une égalité
Supposons qu'un couple d'entiers relatifs soit solution de l'équation
.
Comme, d'après la question précédente, nous avons :
nous obtenons par soustraction des deux égalités :
c) Déterminer tous les couples solutions d'une équation
Comme 12 et 31 sont premiers entre eux, il découle donc de l'égalité précédente, d'après le théorème de Gauss, que divise
.
Il existe donc un entier relatif tel que
comme
, nous en déduisons que
soit encore
.
Il existe donc un entier relatif tel que
et
.
• Réciproquement s'il existe un entier relatif tel que
et
, alors :
d) Remonter à la source dans un programme de calcul
Soit un couple d'entiers relatifs solution de l'équation
, avec
.
Nous savons, d'après la question précédente, qu'il existe un entier relatif tel que
Sachant que cela équivaut à
soit encore
.
étant un entier relatif, nous obtenons
et par suite
et
.