Marché des petits pots pour bébé

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
Marché des petits pots pour bébé

Matrices et suites

matT_1404_12_04C

Ens. de spécialité

40

CORRIGE

Pondichéry  • Avril 2014

Exercice 3 • 5 points

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit  n  un entier naturel.

On note  :

  • Xn l’événement « la marque X est utilisée le mois n » 
  • Yn l’événement « la marque Y est utilisée le mois n » 
  • Zn l’événement « la marque Z est utilisée le mois n ».

Les probabilités des événements Xn, Yn, Zn sont notées respectivement xn, yn et zn.

La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.

Un acheteur de la marque X le mois n, a le mois suivant  :

  • 50 % de chance de rester fidèle à cette marque 
  • 40  % de chance d’acheter la marque Y 
  • 10  % de chance d’acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Y le mois n, a le mois suivant  :

  • 30 % de chance de rester fidèle à cette marque 
  • 50  % de chance d’acheter la marque X 
  • 20  % de chance d’acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Z le mois n, a le mois suivant  :

  • 70 % de chance de rester fidèle à cette marque 
  • 10  % de chance d’acheter la marque X 
  • 20  % de chance d’acheter la marque Y.

>1. a) Exprimer xn+1 en fonction de xn, yn et zn.

On admet que  :

yn+1= 0,4 xn+ 0,3yn+ 0,2zn et zn+1= 0,1xn+ 0,2yn+ 0,7zn.

b) Exprimer zn en fonction de xn et yn. En déduire l’expression de xn+1 et yn+1 en fonction de xn et yn.

>2. On définit la suite (Un) par pour tout entier naturel n.

On admet que, pour tout entier naturel n, Un+1=A &times Un+B&emsp et&emsp .

Au début de l’étude statistique (mois de janvier 2014 : n = 0), on estime que .

On considère l’algorithme suivant  :


Variables


n et i des entiers naturels

A, B et U des matrices


Entrée et initialisation


Demander la valeur de n

i prend la valeur 0

A prend la valeur

B prend la valeur

U prend la valeur


Traitement


Tant que in

U prend la valeur A&times U + B

i prend la valeur i +1

Fin de Tant que


Sortie


Afficher U

a) Donner les résultats affichés par cet algorithme pour n = l puis pour n = 3.

b) Quelle est la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril ?

Dans la suite de l’exercice, on cherche à déterminer une expression de Un en fonction de n.

On note I la matrice et N la matrice I &minus A.

>3. On désigne par C une matrice colonne à deux lignes.

a) Démontrer que C =A &times C +B équivaut à N &times C =B.

b) On admet que N est une matrice inversible et que

. En déduire que .

>4. On note Vn la matrice telle que Vn=Un &minus C pour tout entier naturel n.

a) Montrer que, pour tout entier naturel n, Vn+1=A &times Vn.

b) On admet que Un=An &times (U0 &minus C) +C.

Quelles sont les probabilités d’utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai  ?

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 60 min.

Les thèmes clés

Matrices • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Propriétés liées à un arbre pondéré   E37  1. a) et 1. b)

Calculatrice

  • Calculs sur les matrices   C5  2. a), 3. b) et 4. b)

Nos coups de pouce

>1. a) Traduisez la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

>1. b) N’oubliez pas que les trois marques se partagent le marché.

>2. b) et 4. b) Le mois de janvier 2014 correspond à Le mois d’avril et le mois de mai correspondent ainsi respectivement à et Prenez cela en compte pour préciser les probabilités demandées.