Marché des petits pots pour bébé

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
Marché des petits pots pour bébé

Matrices et suites

matT_1404_12_04C

Ens. de spécialité

40

CORRIGE

Pondichéry • Avril 2014

Exercice 3 • 5 points

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit n un entier naturel.

On note :

  • Xn l’événement « la marque X est utilisée le mois n » ;
  • Yn l’événement « la marque Y est utilisée le mois n » ;
  • Zn l’événement « la marque Z est utilisée le mois n ».

Les probabilités des événements Xn, Yn, Zn sont notées respectivement xn, yn et zn.

La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.

Un acheteur de la marque X le mois n, a le mois suivant :

  • 50 % de chance de rester fidèle à cette marque ;
  • 40 % de chance d’acheter la marque Y ;
  • 10 % de chance d’acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Y le mois n, a le mois suivant :

  • 30 % de chance de rester fidèle à cette marque ;
  • 50 % de chance d’acheter la marque X ;
  • 20 % de chance d’acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Z le mois n, a le mois suivant :

  • 70 % de chance de rester fidèle à cette marque ;
  • 10 % de chance d’acheter la marque X ;
  • 20 % de chance d’acheter la marque Y.

>1. a) Exprimer xn+1 en fonction de xn, yn et zn.

On admet que :

yn+1= 0,4 xn+ 0,3yn+ 0,2zn et zn+1= 0,1xn+ 0,2yn+ 0,7zn.

b) Exprimer zn en fonction de xn et yn. En déduire l’expression de xn+1 et yn+1 en fonction de xn et yn.

>2. On définit la suite (Un) par pour tout entier naturel n.

On admet que, pour tout entier naturel n, Un+1=A × Un+B et .

Au début de l’étude statistique (mois de janvier 2014 : n = 0), on estime que .

On considère l’algorithme suivant :


Variables


n et i des entiers naturels

A, B et U des matrices


Entrée et initialisation


Demander la valeur de n

i prend la valeur 0

A prend la valeur

B prend la valeur

U prend la valeur


Traitement


Tant que i< n

U prend la valeur A× U + B

i prend la valeur i +1

Fin de Tant que


Sortie


Afficher U

a) Donner les résultats affichés par cet algorithme pour n = l puis pour n = 3.

b) Quelle est la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril ?

Dans la suite de l’exercice, on cherche à déterminer une expression de Un en fonction de n.

On note I la matrice et N la matrice IA.

>3. On désigne par C une matrice colonne à deux lignes.

a) Démontrer que C =A × C +B équivaut à N × C =B.

b) On admet que N est une matrice inversible et que

. En déduire que .

>4. On note Vn la matrice telle que Vn=UnC pour tout entier naturel n.

a) Montrer que, pour tout entier naturel n, Vn+1=A × Vn.

b) On admet que Un=An × (U0C) +C.

Quelles sont les probabilités d’utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Matrices • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Propriétés liées à un arbre pondéré  E37 1. a) et 1. b)

Calculatrice

  • Calculs sur les matrices  C5 2. a), 3. b) et 4. b)

Nos coups de pouce

>1. a) Traduisez la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

>1. b) N’oubliez pas que les trois marques se partagent le marché.

>2. b) et 4. b) Le mois de janvier 2014 correspond à Le mois d’avril et le mois de mai correspondent ainsi respectivement à et Prenez cela en compte pour préciser les probabilités demandées.

Corrigé
Corrigé

>1. a) Construire et utiliser un arbre pondéré

Soit un entier naturel.

Traduisons l’énoncé en termes d’événements et de probabilités.

Si un jeune parent achète la marque X le mois , c’est-à-dire l’événement est réalisé, alors :

  • la probabilité que le mois suivant (mois ), il reste fidèle à cette marque, c’est-à-dire l’événement se réalise, est égale à 0,5 :

 ;

  • la probabilité que le mois suivant (mois ) il achète la marque Y, c’est-à-dire l’événement se réalise, est de 0,4 :  ;
  • la probabilité que le mois suivant (mois ) il achète la marque Z, c’est-à-dire l’événement se réalise, est de 0,1 : .

En raisonnant de manière analogue pour les cas où le jeune parent achète la marque Y ou Z le mois , nous obtenons :  ;  ;  ;  ;  ; .

Ce que nous pouvons résumer par l’arbre pondéré suivant :


La probabilité demandée est la probabilité que l’événement se réalise. Cet événement est associé aux trois feuilles :  ; et Par conséquent, par la formule des probabilités totales, nous avons :

b) Établir une relation

  • Les trois marques X, Y et Z se partagent le marché (premier niveau de l’arbre). Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1, nous avons : Par suite,
  • En remplaçant par dans les relations établies à la question précédente, nous avons

 

et 

 .

>2. a) Déterminer la sortie (affichage) d’un algorithme

  • Cas .

Lors de la phase d’entrée, la variable prend la valeur 1. Les variables et prennent les valeurs indiquées. Comme , , la condition est vérifiée et la boucle « Tant que » s’exécute, prend donc la valeur :

tandis que la variable prend la valeur Comme , la condition est non vérifiée et l’exécution de la boucle « Tant que » est terminée. En sortie, l’algorithme affiche : .

  • Cas .

Lors de la phase d’entrée, la variable prend la valeur 3. Les variables et prennent les valeurs indiquées.

Comme , , la condition est vérifiée et la boucle « Tant que » s’exécute, prend donc la valeur (point précédent) et prend la valeur 1.

Comme , , la condition est vérifiée et la boucle « Tant que » s’exécute, prend donc la valeur :

et prend la valeur 2.

Comme , , la condition est vérifiée et la boucle « Tant que » s’exécute encore, prend donc la valeur :

et prend la valeur 3.

Comme, la condition n’est plus vérifiée et l’exécution de la boucle « Tant que » est terminée.

En sortie, l’algorithme affiche : .

b) Comprendre le rôle d’un algorithme

Le mois de janvier correspond à (début de l’étude statistique, voir énoncé), le mois d’avril correspond alors à D’après la question précédente,

La probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril, , est donc : 0,3868.

>3. a) Démontrer une équivalence

Notez bien

Pour toute matrice d’ordre 2, .

Par équivalence, nous avons :

b) Calculer un produit matriciel

Notez bien

Pour toute matrice inversible, .

D’après la question précédente, . En multipliant cette égalité à gauche par , matrice inverse de la matrice nous avons :

Par conséquent,

>4. a) Établir une relation

Pour tout entier naturel nous avons :

(définition de )

  (définition de , question 2.)

  (énoncé, question 3. a))

 

 

 .

b) Calculer un produit matriciel et interpréter

Le mois de janvier correspond à (début de l’étude statistique, voir énoncé), le mois de mai correspond alors à . D’après la relation donnée dans l’énoncé pour  :

et à l’aide de la calculatrice, nous obtenons : .

D’après la question 1. b), pour nous avons :

La probabilité d’utiliser la marque X au mois de mai est x4= 0,3794.

La probabilité d’utiliser la marque Y au mois de mai est y4= 0,30853.

La probabilité d’utiliser la marque Z au mois de mai est z4= 0,31207.