Masses de différents types de foies gras

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Masses de différents types de foies gras

Lois de probabilité à densité

Corrigé

38

Ens. spécifique

matT_1200_00_67C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

PARTIE A

Utiliser la calculatrice dans le cadre de la loi normale

Le mulard est une espèce de canard hybride. Il est très utilisé dans la fabrication du foie gras. On suppose que la masse d’un foie gras de canard mulard, exprimée en grammes, est une variable aléatoire suivant la loi normale N (607,1132).

Dans cette partie, on arrondira les probabilités au millième.

>1. Calculer, à l’aide de la calculatrice, . (0,5 point)

>2.a) Donner la valeur de . (0,5 point)

b) En déduire, à l’aide de la calculatrice, la probabilité qu’un foie gras de canard mulard pèse moins de 700 grammes. (0,5 point)

>3. Calculer, à l’aide de la calculatrice, la valeur de , arrondie à l’unité, telle que . Interpréter ce résultat. (0,75 point)

PARTIE B

Déterminer les valeurs de µ et de σ

D’autres espèces de canard sont utilisées pour la fabrication du foie gras : le canard de Barbarie et le canard hinny. On suppose que la masse d’un foie gras de canard de Barbarie, respectivement d’un canard hinny, exprimée en grammes, est une variable aléatoire , respectivement , suivant la loi normale N, respectivement N. Selon les normes européennes, le foie gras de canard, quelle que soit son espèce, doit peser plus de 300 grammes pour être commercialisé.

>1. 0,74 % des foies gras de canard de Barbarie ne peuvent être commercialisés.

a) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, la valeur de , arrondie au millième, telle que : . (0,5 point)

b) En déduire la valeur de arrondie à l’unité. (0,75 point)

>2. La probabilité qu’un foie gras de canard hinny ne puisse pas être commercialisé est 0,0078 et la probabilité que sa masse soit comprise entre 300 et 550 grammes est 0,477.

a) On admet que :

et .

Montrer que et vérifient le système suivant : . (1 point)

b) En déduire les valeurs de et de arrondies à l’unité. (0,5 point)

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes en jeu

Probabilités • Loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Utilisez la calculatrice.

>  2. a) Notez que suit la loi normale d’espérance 607.

b) Utilisez la propriété de la densité.

>  3. Utilisez à nouveau votre calculatrice.

Partie B

>  1. a) Remarquez que la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite.

b) Faites le lien entre l’énoncé et les probabilités données. Partez de et définissez ainsi l’évenement «  ». → fiche  C52 

>  2. b) Démontrez dans un premier temps que le système étudié est équivalent à .

Résolvez-le !

Corrigé

PARTIE A

>1. Utiliser la calculatrice

La probabilité que la variable aléatoire X prenne ses valeurs dans l’intervalle [500 ; 650] est l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe de la densité associée à la variable aléatoire X et les droites d’équations et .


À l’aide d’une calculatrice, .

La probabilité que la masse d’un foie gras de canard mulard soit comprise entre 500 g et 650 g est environ 0,476.

>2. Utiliser une propriété de la loi normale

a) La probabilité que la variable aléatoire prenne des valeurs strictement inférieures à 607 est l’aire du domaine  : ensemble des points du plan qui se situent dans la partie du plan délimité par l’axe des abscisses, la courbe de la densité associée à la variable aléatoire X et qui ont une abscisse strictement inférieure à 607.


Par définition d’une densité et par symétrie de la densité associée à la variable aléatoire X (par rapport à la droite d’équation ), on a :

La probabilité que la masse d’un foie gras de canard mulard soit strictement inférieure à 607 g est 0,5.

b) La probabilité que la masse d’un foie gras de canard mulard soit inférieure ou égal à 700 g est l’aire du domaine D : ensemble des points du plan qui se situent dans la partie du plan délimité par l’axe des abscisses, la courbe de la densité associée à la variable aléatoire X et qui ont une abscisse inférieure ou égale à 700.


Pensez aux propriétés de la densité (loi normale).

.

Or par la question précédente, et à l’aide d’une calculatrice, .

Ainsi La probabilité que la masse d’un foie gras de canard mulard soit inférieure ou égale à 700 g est environ 0,795.

>3. Utiliser la calculatrice

À l’aide de la calculatrice, la valeur de , arrondie à l’unité, telle que : est 724.

Un foie gras de canard mulard a une probabilité d’environ 0,85 de peser moins de 724 g.

PARTIE B

>1. Déterminer l’espérance d’une loi normale

a) Par définition, la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite. À l’aide de la calculatrice, la valeur de , arrondie au millième, telle que : est – 2,437.

b) 0,74 % des foies gras de canard de Barbarie ne peuvent être commercialisés, donc : .

Or .

On en déduit que : et par identification, . D’après a), d’où : , puis : et finalement : .

>2. Déterminer l’espérance et l’écart type d’une loi normale

a) La probabilité qu’un foie gras de canard hinny ne puisse être commercialisé est 0,0078, ce qui signifie que : .

Or . Ainsi : . Or,

Par identification,  [1].

La probabilité que la masse d’un foie gras de canard hinny soit comprise entre 300 et 550 grammes est 0,477, donc : .

Par les même calculs que précédemment :

.

Or ,

donc [2].

[1] et [2] donnent le système :

que l’on notera (S).

b) On résout le système (S) :

(S) .

Ainsi et en remplaçant : .