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Pondichéry • Avril 2015
Exercice 3 • 6 points
Mathématiques et électroménager
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Partie A : Étude de la durée de vie d'un appareil électroménager
Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d'un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire X suivant une loi normale N(µ, σ2) de moyenne µ = 84 et d'écart type σ. De plus, on a P(X ≤ 64) = 0,16. La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci-dessous.
▶ 1. a) En exploitant le graphique, déterminer P(64 ≤ X ≤ 104).
b) Quelle valeur approchée entière de σ peut-on proposer ?
▶ 2. On note Z la variable aléatoire définie par 
.
a) Quelle est la loi de probabilité suivie par Z ?
b) Justifier que P(X ≤ 64) = 
.
c) En déduire la valeur de σ, arrondie à 10−3.
▶ 3. Dans cette question, on considère que σ = 20,1.
Les probabilités demandées seront arrondies à 10−3.
a) Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans.
b) Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.
Partie B : Étude de l'extension de garantie d'El'Ectro
Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années. L'entreprise El'Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires. Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l'extension de garantie montrent que 11,5 % d'entre eux font jouer l'extension de garantie.
▶ 1. On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l'extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).
a) Quelle est la probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à 10−3.
b) Quelle est la probabilité qu'au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à 10−3.
▶ 2. L'offre d'extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El'Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable.
On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l'extension de garantie, et on note Y la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l'entreprise El'Ectro, grâce à l'extension de garantie.
a) Justifier que Y prend les valeurs 65 et − 334 puis donner la loi de probabilité de Y.
b) Cette offre d'extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l'entreprise ? Justifier.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Loi normale • Loi binomiale • Généralités sur les variables aléatoires discrètes.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Loi normale E40e → Partie A
Loi binomiale E39 → Partie B, 1. a) et b)
Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète E38b → Partie B, 2. a)
Espérance d'une variable aléatoire discrète E38c → Partie B, 2. b)
Calculatrice
Probabilités avec une loi normale C3 → Partie A, 3. a) et b)
Probabilités avec une loi binomiale C2 → Partie B, 1. a) et b)
Nos coups de pouce
Partie B
▶ 1. a) Pensez à bien définir la variable aléatoire utilisée et à bien rédiger les justifications permettant d'identifier la loi suivie par cette variable aléatoire.
▶ 2. b) Pensez à exploiter l'espérance de la variable aléatoire 
qui est l'espérance de gain de l'entreprise.
Corrigé
Partie A
▶ 1. a) Déterminer une probabilité par exploitation d'un graphique
La courbe représentative de la densité associée à la loi normale d'espérance 
et d'écart type 
est symétrique, dans un repère orthogonal du plan, par rapport à la droite d'équation 
.
Par conséquent, nous avons ici :
.
Nous en déduisons que :
b) Estimer la valeur d'un écart type
Si une variable aléatoire 
suit la loi normale d'espérance 
et d'écart type 
, nous avons le résultat suivant :
.
Or, d'après la question précédente, nous avons ici :
Par comparaison, nous en déduisons : 
.
▶ 2. a) Identifier la loi suivie par une variable aléatoire
Si une variable aléatoire 
suit la loi normale d'espérance 
et d'écart type 
alors, par définition, la variable aléatoire 
suit la loi normale centrée réduite.
Comme 
, nous en déduisons que 
suit la loi normale centrée réduite.
b) Justifier une égalité
Nous avons :
c) Déterminer la valeur d'un écart type
Nous savons d'après l'énoncé que 
. D'après la question précédente, cela revient à écrire :
.
Résolvons alors l'équation 
où 
est un réel à déterminer et où 
suit la loi normale centrée réduite.
Notez bien
Syntaxe pour la TI 83 Plus.fr :
FracNormale (
, 
, 
) où 
et 
Syntaxe pour la CASIO GRAPH 75 :
InvNormCD (
, 
, 
) où 
et 
À l'aide de la calculatrice, nous avons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
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Ainsi 
.
Par identification nous pouvons maintenant écrire que 
soit 
.
La valeur de 
, arrondie à 
, est 
.
▶ 3. a) Calculer une probabilité avec une loi normale
La durée proposée dans l'énoncé est exprimée en mois.
Nous devons calculer 
.
Attention !
Prenez garde aux unités et n'oubliez pas de convertir !
2 ans correspondent à 24 mois et 5 ans à 60 mois.
À l'aide de la calculatrice, nous avons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
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La probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans est environ 0,115.
b) Calculer une probabilité avec une loi normale
10 ans correspondent à 120 mois. Nous devons donc calculer 
.
.
À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
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La probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans est environ 0,037.
Partie B
▶ 1. a) Calculer une probabilité avec une loi binomiale
Notons 
la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 12 clients ayant pris l'extension de garantie, associe le nombre de clients faisant jouer cette extension.
Choisir au hasard un client ayant pris l'extension de garantie est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le client a fait jouer l'extension de garantie » de probabilité 
et l'échec est « le client n'a pas fait jouer l'extension de garantie » de probabilité 
.
On répète 20 fois cette épreuve, les épreuves étant indépendantes et identiques. On a donc un schéma de Bernoulli d'ordre 12. 
compte le nombre de succès dans ce schéma.
suit donc la loi binomiale de paramètres 
et 
.
La probabilité demandée est 
. À la calculatrice, nous obtenons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
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La probabilité qu'exactement 3 des ces clients fassent jouer cette extension de garantie est environ 0,111.
b) Calculer une probabilité avec une loi binomiale
On reprend la variable aléatoire 
de la question précédente.
La probabilité demandée est 
.
À la calculatrice, nous obtenons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
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La probabilité qu'au moins 6 des ces clients fassent jouer cette extension de garantie est environ 0,001.
▶ 2. a) Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète
Si le client prend l'extension de garantie mais ne fait pas jouer celle-ci durant la période de 3 ans supplémentaires, l'entreprise réalise un gain algébrique de 65 euros et la variable aléatoire 
prend la valeur 65.
Si le client prend l'extension de garantie et fait jouer celle-ci durant la période de 3 ans supplémentaires, l'entreprise encaisse 65 euros mais débourse aussi 399 euros.
Le gain algébrique est donc égal à 
.
La variable aléatoire 
prend donc la valeur 
.
D'après l'énoncé, 11,5 % des clients qui prennent l'extension de garantie font jouer cette extension.
Nous avons donc 
.
Ensuite, comme nous avons 
, nous pouvons en déduire que :
.
Finalement :
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b) Interpréter l'espérance d'une variable aléatoire
Calculons l'espérance de gain de l'entreprise, c'est-à-dire 
.
Si l'on considère un grand nombre de clients, l'entreprise peut espérer faire en moyenne un gain de 19,12 euros environ par client. Cette offre d'extension de garantie semble donc financièrement avantageuse pour l'entreprise.