Mathématiques et électroménager

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry

 

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Pondichéry • Avril 2015

Exercice 3 • 6 points

Mathématiques et électroménager

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A : Étude de la durée de vie d’un appareil électroménager

Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire X suivant une loi normale N(µ, σ2) de moyenne µ = 84 et d’écart type σ. De plus, on a P(X  64) = 0,16. La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci-dessous.

matT_1504_12_01C_02

 1. a) En exploitant le graphique, déterminer P(64 X  104).

b) Quelle valeur approchée entière de σ peut-on proposer ?

 2. On note Z la variable aléatoire définie par 239002-Eqn9.

a) Quelle est la loi de probabilité suivie par Z ?

b) Justifier que P(X  64) = 239002-Eqn10.

c) En déduire la valeur de σ, arrondie à 10−3.

 3. Dans cette question, on considère que σ = 20,1.

Les probabilités demandées seront arrondies à 10−3.

a) Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit ­comprise entre 2 et 5 ans.

b) Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.

Partie B : Étude de l’extension de garantie d’El’Ectro

Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années. L’entreprise El’Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires. Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l’extension de garantie montrent que 11,5 % d’entre eux font jouer l’extension de garantie.

 1. On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l’extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).

a) Quelle est la probabilité qu’exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à 10−3.

b) Quelle est la probabilité qu’au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à 10−3.

 2. L’offre d’extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El’Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable.

On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l’extension de garantie, et on note Y la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l’entreprise El’Ectro, grâce à l’extension de garantie.

a) Justifier que Y prend les valeurs 65 et − 334 puis donner la loi de probabilité de Y.

b) Cette offre d’extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l’entreprise ? Justifier.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Loi normale • Loi binomiale • Généralités sur les variables aléatoires discrètes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Loi normale E40e Partie A

Loi binomiale E39 Partie B, 1. a) et b)

Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète E38b Partie B, 2. a)

Espérance d’une variable aléatoire discrète E38c Partie B, 2. b)

Calculatrice

Probabilités avec une loi normale C3 Partie A, 3. a) et b)

Probabilités avec une loi binomiale C2 Partie B, 1. a) et b)

Nos coups de pouce

Partie B

 1. a) Pensez à bien définir la variable aléatoire utilisée et à bien rédiger les justifications permettant d’identifier la loi suivie par cette variable aléatoire.

 2. b) Pensez à exploiter l’espérance de la variable aléatoire 239002-Eqn25 qui est l’espérance de gain de l’entreprise.

Corrigé

Corrigé

Partie A

 1. a) Déterminer une probabilité par exploitation d’un graphique

matT_1504_12_01C_13

La courbe représentative de la densité associée à la loi normale d’espérance 239002-Eqn183 et d’écart type 239002-Eqn184 est symétrique, dans un repère orthogonal du plan, par rapport à la droite d’équation 239002-Eqn185.

Par conséquent, nous avons ici :

239002-Eqn186.

Nous en déduisons que :

239002-Eqn187

b) Estimer la valeur d’un écart type

Si une variable aléatoire 239002-Eqn188 suit la loi normale d’espérance 239002-Eqn189 et d’écart type 239002-Eqn190, nous avons le résultat suivant :

239002-Eqn191.

Or, d’après la question précédente, nous avons ici :

239002-Eqn192

Par comparaison, nous en déduisons : 239002-Eqn193.

 2. a) Identifier la loi suivie par une variable aléatoire

Si une variable aléatoire 239002-Eqn194 suit la loi normale d’espérance 239002-Eqn195 et d’écart type 239002-Eqn196 alors, par définition, la variable aléatoire 239002-Eqn197 suit la loi normale centrée réduite.

Comme 239002-Eqn198, nous en déduisons que 239002-Eqn199suit la loi normale centrée réduite.

b) Justifier une égalité

Nous avons :

239002-Eqn200

c) Déterminer la valeur d’un écart type

Nous savons d’après l’énoncé que 239002-Eqn201. D’après la question précédente, cela revient à écrire :

239002-Eqn202.

Résolvons alors l’équation 239002-Eqn203239002-Eqn204 est un réel à déterminer et où 239002-Eqn205 suit la loi normale centrée réduite.

Notez bien

Syntaxe pour la TI 83 Plus.fr :

FracNormale (239002-Eqn206, 239002-Eqn207, 239002-Eqn208) où 239002-Eqn209 et 239002-Eqn210

Syntaxe pour la CASIO GRAPH 75 :

InvNormCD (239002-Eqn211, 239002-Eqn212, 239002-Eqn213) où 239002-Eqn214 et 239002-Eqn215

À l’aide de la calculatrice, nous avons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1504_12_01C_14

matT_1504_12_01C_15

Ainsi 239002-Eqn216.

Par identification nous pouvons maintenant écrire que 239002-Eqn217 soit 239002-Eqn218.

La valeur de 239002-Eqn219, arrondie à 239002-Eqn220, est 239002-Eqn221.

 3. a) Calculer une probabilité avec une loi normale

La durée proposée dans l’énoncé est exprimée en mois.

Nous devons calculer 239002-Eqn222.

Attention !

Prenez garde aux unités et n’oubliez pas de convertir !

2 ans correspondent à 24 mois et 5 ans à 60 mois.

À l’aide de la calculatrice, nous avons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1504_12_01C_16

matT_1504_12_01C_17

La probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans est environ 0,115.

b) Calculer une probabilité avec une loi normale

10 ans correspondent à 120 mois. Nous devons donc calculer 239002-Eqn223.

matT_1504_12_01C_18

239002-Eqn224.

À l’aide de la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1504_12_01C_19

matT_1504_12_01C_20

La probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans est environ 0,037.

Partie B

 1. a) Calculer une probabilité avec une loi binomiale

Notons 239002-Eqn225 la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 12 clients ayant pris l’extension de garantie, associe le nombre de clients faisant jouer cette extension.

Choisir au hasard un client ayant pris l’extension de garantie est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le client a fait jouer l’extension de garantie » de probabilité 239002-Eqn226 et l’échec est « le client n’a pas fait jouer l’extension de garantie » de probabilité 239002-Eqn227.

On répète 20 fois cette épreuve, les épreuves étant indépendantes et identiques. On a donc un schéma de Bernoulli d’ordre 12. 239002-Eqn228 compte le nombre de succès dans ce schéma.

239002-Eqn229suit donc la loi binomiale de paramètres 239002-Eqn230 et 239002-Eqn231.

La probabilité demandée est 239002-Eqn232. À la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1504_12_01C_21

matT_1504_12_01C_22

La probabilité qu’exactement 3 des ces clients fassent jouer cette extension de garantie est environ 0,111.

b) Calculer une probabilité avec une loi binomiale

On reprend la variable aléatoire 239002-Eqn233 de la question précédente.

La probabilité demandée est 239002-Eqn234.

À la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1504_12_01C_23

matT_1504_12_01C_24

La probabilité qu’au moins 6 des ces clients fassent jouer cette extension de garantie est environ 0,001.

 2. a) Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète

Si le client prend l’extension de garantie mais ne fait pas jouer celle-ci durant la période de 3 ans supplémentaires, l’entreprise réalise un gain algébrique de 65 euros et la variable aléatoire 239002-Eqn235prend la valeur 65.

Si le client prend l’extension de garantie et fait jouer celle-ci durant la période de 3 ans supplémentaires, l’entreprise encaisse 65 euros mais débourse aussi 399 euros.

Le gain algébrique est donc égal à 239002-Eqn236.

La variable aléatoire 239002-Eqn237 prend donc la valeur 239002-Eqn238.

D’après l’énoncé, 11,5 % des clients qui prennent l’extension de garantie font jouer cette extension.

Nous avons donc 239002-Eqn239.

Ensuite, comme nous avons 239002-Eqn240, nous pouvons en déduire que :

239002-Eqn241.

Finalement :

239002-Eqn242

239002-Eqn243

239002-Eqn244

239002-Eqn245

239002-Eqn246

239002-Eqn247

b) Interpréter l’espérance d’une variable aléatoire

Calculons l’espérance de gain de l’entreprise, c’est-à-dire 239002-Eqn248.

239002-Eqn249

Si l’on considère un grand nombre de clients, l’entreprise peut espérer faire en moyenne un gain de 19,12 euros environ par client. Cette offre d’extension de garantie semble donc financièrement avantageuse pour l’entreprise.