Terminale générale Mathématiques Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

Probabilités

Succession d'épreuves indépendantes

matT_2000_00_36C

Succession d'épreuves indépendantes

Mathématiques et électroménager

30 min

4 points

Intérêt du sujet • Très souvent, le vendeur propose une extension de garantie payante à l'achat d'un appareil électroménager. Utilisons la loi binomiale et le calcul de l'espérance pour déterminer l'intérêt d'une telle pratique.

Un lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années. L'entreprise El'Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires. Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l'extension de garantie montrent que 11,5 % d'entre eux font jouer l'extension de garantie.

▶ 1. On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l'extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).

a) Quelle est la probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à 10⁻³.

b) Quelle est la probabilité qu'au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à 10⁻³.

▶ 2. L'offre d'extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El'Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable.

On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l'extension de garantie, et on note Y la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l'entreprise El'Ectro, grâce à l'extension de garantie.

a) Justifier que Y prend les valeurs 65 et − 334 puis donner la loi de probabilité de Y.

b) Cette offre d'extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l'entreprise ? Justifier.

Les clés du sujet

▶ 1. a) Pensez à bien définir la variable aléatoire utilisée et à bien rédiger les justifications permettant d'identifier la loi suivie par cette variable aléatoire.

▶ 2. b) Pensez à exploiter l'espérance de la variable aléatoire $Y$ qui est l'espérance de gain de l'entreprise.

▶ 1. a) Calculer une probabilité avec une loi binomiale

Notons $N$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 12 clients ayant pris l'extension de garantie, associe le nombre de clients faisant jouer cette extension.

Choisir au hasard un client ayant pris l'extension de garantie est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le client a fait jouer l'extension de garantie » de probabilité $p = 0,115$ et l'échec est « le client n'a pas fait jouer l'extension de garantie » de probabilité $q = 1 - p = 0,885$ .

On répète 20 fois cette épreuve, les épreuves étant indépendantes et identiques. On a donc un schéma de Bernoulli d'ordre 12. $N$ compte le nombre de succès dans ce schéma.

$N$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 12$ et $p = 0,115$ .

La probabilité demandée est $P (N = 3)$ . À la calculatrice, nous obtenons :

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : TI 83 Plus.fr; CASIO GRAPH 75; Ligne 2 : ; ;

La probabilité qu'exactement 3 des ces clients fassent jouer cette extension de garantie est environ 0,111.

b) Calculer une probabilité avec une loi binomiale

On reprend la variable aléatoire $N$ de la question précédente.

La probabilité demandée est $P (N \geq 6) = 1 - P (N 6)=1-P(N\leq5)$ .

À la calculatrice, nous obtenons :

La probabilité qu'au moins 6 des ces clients fassent jouer cette extension de garantie est environ 0,001.

▶ 2. a) Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète

Si le client prend l'extension de garantie mais ne fait pas jouer celle-ci durant la période de 3 ans supplémentaires, l'entreprise réalise un gain algébrique de 65 euros et la variable aléatoire $Y$ prend la valeur 65.

Si le client prend l'extension de garantie et fait jouer celle-ci durant la période de 3 ans supplémentaires, l'entreprise encaisse 65 euros mais débourse aussi 399 euros.

Le gain algébrique est donc égal à $65 - 399 = - 334$ .

La variable aléatoire $Y$ prend donc la valeur $- 334$ .

D'après l'énoncé, 11,5 % des clients qui prennent l'extension de garantie font jouer cette extension.

Nous avons donc $P (Y = - 334) = 0,115$ .

Ensuite, comme nous avons $P (Y = - 334) + P (Y = 65) = 1$ , nous pouvons en déduire que :

$P (Y = 65) = 1 - P (Y = - 334) = 1 - 0,115 = 0,885$ .

Finalement :

Tableau de 2 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : yi ; −334 ; 65 ; Ligne 2 : P(Y=yi) ; 0,115; 0,885;

b) Interpréter l'espérance d'une variable aléatoire

Calculons l'espérance de gain de l'entreprise, c'est-à-dire $E (Y)$ .

$\begin{matrix} E (Y) = - 334 \times P (Y = - 334) + 65 \times P (Y = 65) \\ = - 334 \times 0,115 + 65 \times 0,885 \\ = 19,115 . \end{matrix}$

Si l'on considère un grand nombre de clients, l'entreprise peut espérer faire en moyenne un gain de 19,12 euros environ par client. Cette offre d'extension de garantie semble donc financièrement avantageuse pour l'entreprise.