Matrice en puissance

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Polynésie française


Polynésie française • Juin 2015

Exercice 5 • 5 points

Matrice en puissance

On considère la matrice 2045389-Eqn16.

1. On appelle I la matrice identité d’ordre 2.

Vérifier que A2 = A + 2I.

2. En déduire une expression de A3 et une expression de A4 sous la forme αA + βI où α et β sont des réels.

3. On considère les suites (rn) et (sn) définies par r0 = 0 et s0 = 1 et, pour tout entier naturel n non nul,

2045389-Eqn17

Démontrer que, pour tout entier naturel n, An = rnA + snI.

4. Démontrer que la suite (kn) définie pour tout entier naturel n non nul par kn = rnsn est géométrique de raison –1. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de kn en fonction de n.

5. On admet que la suite (tn) définie pour tout entier naturel n non nul par 2045389-Eqn18 est géométrique de raison 2. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de tn en fonction de n.

6. Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de rn et sn en fonction de n.

7. En déduire alors, pour tout entier naturel n non nul, une expression des coefficients de la matrice An.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence  E1 3.

Suites géométriques  E4a • E4b 4. et 5.

Calculatrice

Calcul matriciel  C5 1. et 2.

Nos coups de pouce

3. Raisonnez par récurrence pour établir cette égalité matricielle.

6. Déterminez une expression explicite de 2045389-Eqn30 en fonction de 2045389-Eqn31 en utilisant la question 5. Déduisez-en une expression explicite de 2045389-Eqn32 en fonction de 2045389-Eqn33 en utilisant également la question 4.

Corrigé

Corrigé

1. Justifier une égalité matricielle

Nous avons d’une part :

Notez bien

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

2045389-Eqn371

Et d’autre part,

Notez bien

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

2045389-Eqn372

Nous avons ainsi vérifié que : 2045389-Eqn373

2. Établir des égalités matricielles

Nous avons :

Notez bien

Pour toute matrice 2045389-Eqn3742045389-Eqn375

2045389-Eqn376

La matrice 2045389-Eqn377est de la forme 2045389-Eqn378avec 2045389-Eqn379et 2045389-Eqn380

Nous avons également :

2045389-Eqn381

La matrice 2045389-Eqn382est de la forme 2045389-Eqn383avec 2045389-Eqn384et 2045389-Eqn385

3. Démontrer une égalité matricielle par récurrence

Soit 2045389-Eqn386 la propriété : 2045389-Eqn387

Démontrons par récurrence que la propriété 2045389-Eqn388 est vraie pour tout entier naturel 2045389-Eqn389

Initialisation

Pour 2045389-Eqn390 d’une part, 2045389-Eqn391 et d’autre part, r0 As0 I 2045389-Eqn392 Donc 2045389-Eqn393 est vraie. La propriété est initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété 2045389-Eqn394 soit vraie pour un entier naturel 2045389-Eqn395donné : 2045389-Eqn396

Démontrons que la propriété 2045389-Eqn397 est vraie. Nous avons :

2045389-Eqn398

Il en découle que 2045389-Eqn399 et la propriété 2045389-Eqn400 est vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel 2045389-Eqn401

4. Déterminer une expression explicite d’une suite

Pour tout entier naturel non nul 2045389-Eqn402 nous avons :

2045389-Eqn403

La suite 2045389-Eqn404est donc géométrique de raison 2045389-Eqn405

Par propriété, la formule explicite de cette suite est donnée pour tout entier naturel non nul 2045389-Eqn406 par :

2045389-Eqn407

Or, 2045389-Eqn408

Ainsi, pour tout entier naturel 2045389-Eqn409non nul, une expression explicite de 2045389-Eqn410en fonction de 2045389-Eqn411est : 2045389-Eqn412

5. Déterminer une expression explicite d’une suite

La suite 2045389-Eqn413 étant géométrique de raison 2, par propriété, la formule explicite de cette suite est donnée pour tout entier naturel non nul 2045389-Eqn414 par :

2045389-Eqn415

Or 2045389-Eqn416

Ainsi, pour tout entier naturel 2045389-Eqn417non nul, une expression explicite de 2045389-Eqn418en fonction de 2045389-Eqn419est : 2045389-Eqn420

6. Déterminer une expression explicite d’une suite

Soit 2045389-Eqn421 un entier naturel non nul.

D’après la question 5., nous avons d’une part (définition), 2045389-Eqn422 et d’autre part (expression explicite) 2045389-Eqn423 Ainsi, 2045389-Eqn424 et 2045389-Eqn425

D’après la question 4., nous avons 2045389-Eqn426 et 2045389-Eqn427 Il en découle que 2045389-Eqn428 En prenant en compte l’expression explicite de 2045389-Eqn429 en fonction de 2045389-Eqn430 nous avons :

2045389-Eqn431

Conclusion

Pour tout entier naturel 2045389-Eqn432non nul,

2045389-Eqn433et 2045389-Eqn434

7. Écrire une relation matricielle

Par la question 3., nous avons pour tout entier naturel 2045389-Eqn4352045389-Eqn436 En utilisant les expressions explicites établies à la question précédente pour 2045389-Eqn437 et 2045389-Eqn438 nous en déduisons que, pour tout entier naturel 2045389-Eqn439 non nul :

2045389-Eqn440