Matrices et suites
matT_1506_13_06C
Ens. de spécialité
39
Polynésie française • Juin 2015
Exercice 5 • 5 points
Matrice en puissance
On considère la matrice 
.
▶ 1. On appelle I la matrice identité d'ordre 2.
Vérifier que A2 = A + 2I.
▶ 2. En déduire une expression de A3 et une expression de A4 sous la forme αA + βI où α et β sont des réels.
▶ 3. On considère les suites (rn) et (sn) définies par r0 = 0 et s0 = 1 et, pour tout entier naturel n non nul,
Démontrer que, pour tout entier naturel n, An = rnA + snI.
▶ 4. Démontrer que la suite (kn) définie pour tout entier naturel n non nul par kn = rn − sn est géométrique de raison –1. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de kn en fonction de n.
▶ 5. On admet que la suite (tn) définie pour tout entier naturel n non nul par 
est géométrique de raison 2. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de tn en fonction de n.
▶ 6. Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de rn et sn en fonction de n.
▶ 7. En déduire alors, pour tout entier naturel n non nul, une expression des coefficients de la matrice An.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Matrices • Suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Raisonnement par récurrence E1 → 3.
Suites géométriques E4a • E4b → 4. et 5.
Calculatrice
Calcul matriciel C5 → 1. et 2.
Nos coups de pouce
▶ 3. Raisonnez par récurrence pour établir cette égalité matricielle.
▶ 6. Déterminez une expression explicite de 
en fonction de 
en utilisant la question 5. Déduisez-en une expression explicite de 
en fonction de 
en utilisant également la question 4.
Corrigé
▶ 1. Justifier une égalité matricielle
Nous avons d'une part :
Notez bien
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice C5 .
Et d'autre part,
Notez bien
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice C5 .
Nous avons ainsi vérifié que : 
▶ 2. Établir des égalités matricielles
Nous avons :
Notez bien
Pour toute matrice 
La matrice 
est de la forme 
avec 
et 
Nous avons également :
La matrice 
est de la forme 
avec 
et 
▶ 3. Démontrer une égalité matricielle par récurrence
Soit 
la propriété : 
Démontrons par récurrence que la propriété 
est vraie pour tout entier naturel 
Initialisation
Pour 
d'une part, 
et d'autre part, r0 A + s0 I 
Donc 
est vraie. La propriété est initialisée.
Hérédité
Supposons que la propriété 
soit vraie pour un entier naturel 
donné : 
Démontrons que la propriété 
est vraie. Nous avons :
Il en découle que 
et la propriété 
est vraie.
Conclusion
Pour tout entier naturel 
▶ 4. Déterminer une expression explicite d'une suite
Pour tout entier naturel non nul 
nous avons :
La suite 
est donc géométrique de raison 
Par propriété, la formule explicite de cette suite est donnée pour tout entier naturel non nul 
par :
Or, 
Ainsi, pour tout entier naturel 
non nul, une expression explicite de 
en fonction de 
est : 
▶ 5. Déterminer une expression explicite d'une suite
La suite 
étant géométrique de raison 2, par propriété, la formule explicite de cette suite est donnée pour tout entier naturel non nul 
par :
Or 
Ainsi, pour tout entier naturel 
non nul, une expression explicite de 
en fonction de 
est : 
▶ 6. Déterminer une expression explicite d'une suite
Soit 
un entier naturel non nul.
D'après la question 5., nous avons d'une part (définition), 
et d'autre part (expression explicite) 
Ainsi, 
et 
D'après la question 4., nous avons 
et 
Il en découle que 
En prenant en compte l'expression explicite de 
en fonction de 
nous avons :
Conclusion
Pour tout entier naturel 
non nul,
et 
▶ 7. Écrire une relation matricielle
Par la question 3., nous avons pour tout entier naturel 
En utilisant les expressions explicites établies à la question précédente pour 
et 
nous en déduisons que, pour tout entier naturel 
non nul :
