Matrices et suites
matT_1506_13_06C
Ens. de spécialité
39
Polynésie française • Juin 2015
Exercice 5 • 5 points
Matrice en puissance
On considère la matrice 
.
▶ 1. On appelle I la matrice identité d’ordre 2.
Vérifier que A2 = A + 2I.
▶ 2. En déduire une expression de A3 et une expression de A4 sous la forme αA + βI où α et β sont des réels.
▶ 3. On considère les suites (rn) et (sn) définies par r0 = 0 et s0 = 1 et, pour tout entier naturel n non nul,
Démontrer que, pour tout entier naturel n, An = rnA + snI.
▶ 4. Démontrer que la suite (kn) définie pour tout entier naturel n non nul par kn = rn − sn est géométrique de raison –1. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de kn en fonction de n.
▶ 5. On admet que la suite (tn) définie pour tout entier naturel n non nul par 
est géométrique de raison 2. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de tn en fonction de n.
▶ 6. Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de rn et sn en fonction de n.
▶ 7. En déduire alors, pour tout entier naturel n non nul, une expression des coefficients de la matrice An.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Matrices • Suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Propriétés et formules
Raisonnement par récurrence E1 → 3.
Suites géométriques E4a • E4b → 4. et 5.
Calculatrice
Calcul matriciel C5 → 1. et 2.
Nos coups de pouce
▶ 3. Raisonnez par récurrence pour établir cette égalité matricielle.
▶ 6. Déterminez une expression explicite de 
en fonction de 
en utilisant la question 5. Déduisez-en une expression explicite de 
en fonction de 
en utilisant également la question 4.