Matrice en puissance

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Polynésie française


Polynésie française • Juin 2015

Exercice 5 • 5 points

Matrice en puissance

On considère la matrice 2045389-Eqn16.

1. On appelle I la matrice identité d’ordre 2.

Vérifier que A2 = A + 2I.

2. En déduire une expression de A3 et une expression de A4 sous la forme αA + βI où α et β sont des réels.

3. On considère les suites (rn) et (sn) définies par r0 = 0 et s0 = 1 et, pour tout entier naturel n non nul,

2045389-Eqn17

Démontrer que, pour tout entier naturel n, An = rnA + snI.

4. Démontrer que la suite (kn) définie pour tout entier naturel n non nul par kn = rnsn est géométrique de raison –1. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de kn en fonction de n.

5. On admet que la suite (tn) définie pour tout entier naturel n non nul par 2045389-Eqn18 est géométrique de raison 2. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de tn en fonction de n.

6. Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de rn et sn en fonction de n.

7. En déduire alors, pour tout entier naturel n non nul, une expression des coefficients de la matrice An.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence  E1 3.

Suites géométriques  E4a • E4b 4. et 5.

Calculatrice

Calcul matriciel  C5 1. et 2.

Nos coups de pouce

3. Raisonnez par récurrence pour établir cette égalité matricielle.

6. Déterminez une expression explicite de 2045389-Eqn30 en fonction de 2045389-Eqn31 en utilisant la question 5. Déduisez-en une expression explicite de 2045389-Eqn32 en fonction de 2045389-Eqn33 en utilisant également la question 4.