Matrices et suites
matT_1506_13_06C
Ens. de spécialité
39
Polynésie française • Juin 2015
Exercice 5 • 5 points
Matrice en puissance
On considère la matrice .
▶ 1. On appelle I la matrice identité d'ordre 2.
Vérifier que A2 = A + 2I.
▶ 2. En déduire une expression de A3 et une expression de A4 sous la forme αA + βI où α et β sont des réels.
▶ 3. On considère les suites (rn) et (sn) définies par r0 = 0 et s0 = 1 et, pour tout entier naturel n non nul,
Démontrer que, pour tout entier naturel n, An = rnA + snI.
▶ 4. Démontrer que la suite (kn) définie pour tout entier naturel n non nul par kn = rn − sn est géométrique de raison –1. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de kn en fonction de n.
▶ 5. On admet que la suite (tn) définie pour tout entier naturel n non nul par est géométrique de raison 2. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de tn en fonction de n.
▶ 6. Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel n non nul, une expression explicite de rn et sn en fonction de n.
▶ 7. En déduire alors, pour tout entier naturel n non nul, une expression des coefficients de la matrice An.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Matrices • Suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Raisonnement par récurrence E1 → 3.
Suites géométriques E4a • E4b → 4. et 5.
Calculatrice
Calcul matriciel C5 → 1. et 2.
Nos coups de pouce
▶ 3. Raisonnez par récurrence pour établir cette égalité matricielle.
▶ 6. Déterminez une expression explicite de en fonction de
en utilisant la question 5. Déduisez-en une expression explicite de
en fonction de
en utilisant également la question 4.
Corrigé
▶ 1. Justifier une égalité matricielle
Nous avons d'une part :
Notez bien
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice C5 .
Et d'autre part,
Notez bien
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice C5 .
Nous avons ainsi vérifié que :
▶ 2. Établir des égalités matricielles
Nous avons :
Notez bien
Pour toute matrice
La matrice est de la forme
avec
et
Nous avons également :
La matrice est de la forme
avec
et
▶ 3. Démontrer une égalité matricielle par récurrence
Soit la propriété :
Démontrons par récurrence que la propriété est vraie pour tout entier naturel
Initialisation
Pour d'une part,
et d'autre part, r0 A + s0 I
Donc
est vraie. La propriété est initialisée.
Hérédité
Supposons que la propriété soit vraie pour un entier naturel
donné :
Démontrons que la propriété est vraie. Nous avons :
Il en découle que et la propriété
est vraie.
Conclusion
Pour tout entier naturel
▶ 4. Déterminer une expression explicite d'une suite
Pour tout entier naturel non nul nous avons :
La suite est donc géométrique de raison
Par propriété, la formule explicite de cette suite est donnée pour tout entier naturel non nul par :
Or,
Ainsi, pour tout entier naturel non nul, une expression explicite de
en fonction de
est :
▶ 5. Déterminer une expression explicite d'une suite
La suite étant géométrique de raison 2, par propriété, la formule explicite de cette suite est donnée pour tout entier naturel non nul
par :
Or
Ainsi, pour tout entier naturel non nul, une expression explicite de
en fonction de
est :
▶ 6. Déterminer une expression explicite d'une suite
Soit un entier naturel non nul.
D'après la question 5., nous avons d'une part (définition), et d'autre part (expression explicite)
Ainsi,
et
D'après la question 4., nous avons et
Il en découle que
En prenant en compte l'expression explicite de
en fonction de
nous avons :
Conclusion
Pour tout entier naturel non nul,
et
▶ 7. Écrire une relation matricielle
Par la question 3., nous avons pour tout entier naturel En utilisant les expressions explicites établies à la question précédente pour
et
nous en déduisons que, pour tout entier naturel
non nul :