Probabilités et statistiques • Conditionnement
Corrigé
30
Ens. spécifique
matT_1200_14_04C
D'après France métropolitaine • Septembre 2011
Exercice 1 • 5 points
Pierre, le président d'un club de judo, veut acheter 60 médailles ayant la même référence. Elles sont gravées à l'effigie d'une ou d'un champion, Doullet, Rinar ou Vécosse. Il passe commande chez un grossiste qui travaille avec deux fournisseurs A et B. Le tableau suivant indique les caractéristiques du colis contenant les 60 médailles envoyées par le grossiste :
|
| Doullet | Rinar | Vécosse | Total |
|---|---|---|---|---|
| Fournisseur A | 10 | 10 | 10 | 30 |
| Fournisseur B | 5 | 10 | 15 | 30 |
| Total | 15 | 20 | 25 | 60 |
Pierre reçoit le colis et tire au hasard une médaille. Dans la suite de l'exercice, on suppose que chaque médaille a la même probabilité d'être tirée.
. (1 point)
Pierre remet la médaille dans le colis.
- Il tire au hasard une médaille
- Il note l'effigie du champion et remet la médaille dans le colis.
Quelle est la probabilité qu'au moins une des médailles soit à l'effigie de Vécosse ? (2 points)
Durée conseillée : 40 min.
Les thèmes en jeu
Probabilités conditionnelles • Loi de probabilité.
Les conseils du correcteur
> 1. a) Déterminer une probabilité simple dans une situation d'équiprobabilité
Puisque chaque médaille a la même probabilité d'être tirée, la probabilité que la médaille tirée par Pierre soit à l'effigie de Vécosse est égale au quotient du nombre de médailles à l'effigie de Vécosse par le nombre total de médailles.
Or le colis contient 60 médailles, parmi lesquelles 25 sont à l'effigie de Vécosse.
Notez bien
et 
on simplifie par 5.
On en déduit que 
, c'est-à-dire, après simplification, 
.
b) Déterminer la probabilité de l'intersection de deux événements
Le colis contient 15 médailles à l'effigie de Vécosse provenant du fournisseur B.
Notez bien
Ce résultat peut être interprété de la manière suivante : un quart des médailles du colis sont des médailles à l'effigie de Vécosse provenant du fournisseur B.
, c'est-à-dire, après simplification, 
.
c) Déterminer une probabilité conditionnelle
Notons V l'événement « la médaille tirée est à l'effigie de Vécosse » et B l'événement « la médaille tirée provient du fournisseur B ».
Notez bien
D'après la question a), 
(probabilité qu'une médaille choisie au hasard soit à l'effigie de Vécosse), 
est la probabilité qu'une médaille choisie au hasard soit à l'effigie de Vécosse et provienne du fournisseur B 
(question b)).
Dans cette question, on suppose l'événement V réalisé. On cherche la probabilité conditionnelle 
(probabilité de B sachant V).
Par définition : 
.
D'après les deux questions précédentes : 
et 
.
On a donc 
.
Attention
On utilise le résultat suivant « Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse ».
.
> 2. Déterminer une probabilité dans le cadre d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes
Notez bien
Les tirages successifs sont indépendants, car Pierre remet la médaille dans le colis avant de tirer une autre médaille.
L'expérience décrite peut être considérée comme la répétition de trois expériences identiques et indépendantes.
Appelons C l'événement « au moins une des trois médailles est à l'effigie de Vécosse ».
L'événement contraire de C est 
« aucune des trois médailles n'est à l'effigie de Vécosse ».
est l'événement « la première médaille n'est pas à l'effigie de Vécosse et la deuxième médaille n'est pas à l'effigie de Vécosse et la troisième médaille n'est pas à l'effigie de Vécosse » d'où :
, donc la probabilité qu'au moins une des trois médailles soit à l'effigie de Vécosse est :
soit :
Certaines questions ont été modifiées ou remplacées pour adapter le sujet au nouveau programme.