Médiane et hauteur dans des triangles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Pondichéry
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Médiane et hauteur dans des triangles
 
 

Nombres complexes et applications

Corrigé

21

Ens. Spécifique

matT_1304_12_08C

 

Pondichéry • Avril 2013

Exercice 3 • 5 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

On note i le nombre complexe tel que i2= − 1.

On considère le point A d’affixe ZA= 1 et le point B d’affixe ZB= i.

À tout point M d’affixe ZM=x +iy, avec x et y deux réels tels que y ≠ 0, on associe le point M′ d’affixe ZM= −iZM.

On désigne par I le milieu du segment [AM].

Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point M n’appartenant pas à (OA), la médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM′ (propriété 1) et que BM′ = 2OI (propriété 2).

>1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend .

a) Déterminer la forme algébrique de ZM.

b) Montrer que . Déterminer le module et un argument de ZM.

c) Placer les points A, B, M, M′ et I dans le repère en prenant 2 cm pour unité graphique.

Tracer la droite (OI) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l’aide du graphique.

>2. On revient au cas général en prenant ZM=x +iy avec y ≠ 0.

a) Déterminer l’affixe du point I en fonction de x et y.

b) Déterminer l’affixe du point M′ en fonction de x et y.

c) Écrire les coordonnées des points I, B et M′.

d) Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM′.

e) Montrer que BM′ = 2OI.

Durée conseillée : 55 min.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Représentation géométrique et nombre complexe  E16b  → 1. c) et 2. c)
  • Module d’un nombre complexe  E18 1. b)
  • Argument d’un nombre complexe  E19 1. a) et 1. b)
  • Nombre complexe et milieu  E22 2. a)
  • Forme exponentielle  E21 1. a) et 1. b)

Nos coups de pouce

>2. d) Commencez par calculer les coordonnées des vecteurs et avant de calculer leur produit scalaire dans le repère orthonormé . Déduisez-en que les droites et sont perpendiculaires avant de conclure.

>2. e) Pour calculer la longueur d’un segment dans un repère orthonormé, appliquez la formule suivante .

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