Médiane et hauteur dans des triangles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Pondichéry
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Médiane et hauteur dans des triangles
 
 

Nombres complexes et applications

Corrigé

21

Ens. Spécifique

matT_1304_12_08C

 

Pondichéry • Avril 2013

Exercice 3 • 5 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

On note i le nombre complexe tel que i2= − 1.

On considère le point A d’affixe ZA= 1 et le point B d’affixe ZB= i.

À tout point M d’affixe ZM=x +iy, avec x et y deux réels tels que y ≠ 0, on associe le point M′ d’affixe ZM= −iZM.

On désigne par I le milieu du segment [AM].

Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point M n’appartenant pas à (OA), la médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM′ (propriété 1) et que BM′ = 2OI (propriété 2).

>1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend .

a) Déterminer la forme algébrique de ZM.

b) Montrer que . Déterminer le module et un argument de ZM.

c) Placer les points A, B, M, M′ et I dans le repère en prenant 2 cm pour unité graphique.

Tracer la droite (OI) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l’aide du graphique.

>2. On revient au cas général en prenant ZM=x +iy avec y ≠ 0.

a) Déterminer l’affixe du point I en fonction de x et y.

b) Déterminer l’affixe du point M′ en fonction de x et y.

c) Écrire les coordonnées des points I, B et M′.

d) Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM′.

e) Montrer que BM′ = 2OI.

Durée conseillée : 55 min.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Représentation géométrique et nombre complexe  E16b  → 1. c) et 2. c)
  • Module d’un nombre complexe  E18 1. b)
  • Argument d’un nombre complexe  E19 1. a) et 1. b)
  • Nombre complexe et milieu  E22 2. a)
  • Forme exponentielle  E21 1. a) et 1. b)

Nos coups de pouce

>2. d) Commencez par calculer les coordonnées des vecteurs et avant de calculer leur produit scalaire dans le repère orthonormé . Déduisez-en que les droites et sont perpendiculaires avant de conclure.

>2. e) Pour calculer la longueur d’un segment dans un repère orthonormé, appliquez la formule suivante .

Corrigé

>1.a) Donner la forme algébrique d’un nombre complexe

Le nombre complexeZMa donc pour forme algébrique.

b) Déterminer le module et un argument d’un nombre complexe

  • Par définition on a et donc .

On en déduit que

  • Par ailleurs :

 

Info

On aurait pu utiliser la forme algébrique mais ça aurait été plus long.

On en déduit queet.

c) Représenter dans un repère l’image d’un nombre complexe


 

>2.a) Déterminer l’affixe du milieu d’un segment

Le point I est par définition le milieu du segment [AM]. Ainsi, on a : .

L’affixe du point I, en fonction dex ety, est donc.

b) Déterminer l’affixe de l’image d’un point par une transformation donnée

On a, d’après l’énoncé : .

Il s’ensuit que le point Ma pour affixe le nombre complexe.

c) Déterminer les coordonnées d’un point dont on connaît l’affixe

On sait que , et .

D’où, on en déduit que, B(0 ; 1) et M(y; –x).

d) Démontrer que deux droites sont perpendiculaires

D’après les résultats établis à la question précédente, on a : et .

Calculons le produit scalaire de ces deux vecteurs dans le repère orthonormé :

Par conséquent, les vecteurs et non nuls sont donc orthogonaux. Ainsi, les droites (OI) et (BM′) sont perpendiculaires. La droite (OI), médiane du triangle OAM, est bien la hauteur du triangle OBMissue du sommet O.

e) Calculer la norme d’un vecteur

Des coordonnées et dans le repère orthonormé , on en déduit les calculs suivants :

  • .
 

Conseil

Élever les longueurs au carré permet de simplifier ici les écritures.

Par conséquent, on aet ainsiBM= 2OI (car BM′ et 2OI sont deux nombres positifs).